不定积分知识框架图

不定积分的详细知识框架，包含概念，性质，第一二类换元法和分部积分法。

不定积分

• 不定积分的概念
  • 1.定义1：在区间I上，对任一x属于I，都有f'(x)=f（x），则称函数F(x)是f（x）在区间I上的一个原函数。
  • 2.定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。记作：∫f(x)dx=F（x）+c
  • 3.定理1：原函数存在定理   如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F（x），对任一x∈I，都有：F'（x）=f(x)。所以连续函数一定存在原函数。
  • 4.定理2：设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则f（x）的所有原函数为F（x）+C。
• 不定积分的性质
  • 1.性质1：不定积分运算与求导运算互为逆运算 设f（x）存在原函数，F（x）存在导函数，则： ①[∫f（x）dx]'=f(x) —— d(∫f(x)dx)=f(x)dx ②∫f'(x)dx=F(x)+C —— ∫dF(x)=F(x)+C
  • 2.性质2：线性性质   设函数及g(x)的原函数存在，则： ①∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx ②∫kf(x)dx=k∫f(x)dx（k为非零函数）
• 不定积分表
• 第一类换元法
  • 1.定理1：凑微分法 设f(u)具有原函数，如果u=φx可导，则： ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)
  • 2.应用思路：凑微分—还原—积分—再还原
  • 3.常用基本积分公式总结
  • 4.关于三角函数的的计算方法
    • 凑微分法
    • 三角函数降幂公式
    • 积化和差公式
• 第二类换元法
  • 1.三角代换
    • 化去北极函数里面的根式
  • 2.反代法
    • 分母次数比较高时,可令x=1/t
  • 3.根式代换
    • 被积函数含有两种以上的根式，可令x=u^n（n为各艮指数的最小公倍数）
• 分部积分法
  • 1.分部公式：∫udv=uv-∫vdu
  • 2.适应类型：不同类型函数乘积的积分问题
  • 3.使用原则：v易求出，∫vdu易积分
  • 4.选u顺序：①反函数（反三角函数）②对函数 ③幂函数 ④指数函数 ⑤三角函数
  • 5.题目类型：分布简化；等待消去；循环解出；递推公式。