极限

关于极限的理论知识，2021考研，参考武忠祥高数辅导讲义

极限

• 概念
  • 数列极限
    • 定义
      • lim an =A：对所有ε>0，存在N>0，当n>N时有 |an-A|<ε
    • 几何意义
      • 第N项后的所有点都落在(A-ε，A+ε)内，只有有限个在区间外
    • 数列极限存在与否、值为多少，与前有限项无关=>an与an+k的极限（若存在）一样
    • liman=lima2k+1=lima2k
  • 函数极限
    • x->+∞（-∞，∞）同理
      • limf(x)=A:对所有ε，存在X>0，当x>X时，|f(x)-A|<ε
      • limf(x)=A<=>x->+∞和-∞时，limf(x)=A
    • x->x0
      • limf(x)=A:对所有ε>0，存在δ(ε)>0，当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε
      • 极限与f(x0)无关，只与空心领域∪(x0,δ)内f(x)的值有关
      • limf(x)=A<=>f(x)在该点的左、右极限都=A
      • 要区分左右极限的情况
        • 分段函数的分界点
        • e^∞：e^+∞=∞, e^-∞=0
        • arctanx：arctan+∞=π/2，arctan-∞=-π/2
• 性质
  • 局部有界性
    • 若limf(x)存在，则f(x)在x0的某去心领域有界
    • 若liman存在，则an有界
  • 保号性
    • limf(x)=A
      • 若A>0，则存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，f(x)>0
      • 若当0<|x-x0|<δ时，f(x)≥0，则A≥0
        • 注意等号
  • 保序性
    • limf(x)=A>limg(x)=B=>当0<|x-x0|<δ时，f(x)>g(x)
    • 当0<|x-x0|<δ时，f(x)≥g(x)，则A≥B
      • 注意等号
• 存在准则
  • 夹逼准则
    • yn≤xn≤zn，且limyn=limzn=a，则limxn=a
  • 单调有界准则
    • 单调有界必有极限
• 无穷小
  • 定义
    • limf(x)=0(x->x0或∞)
  • 阶的比较 limα(x)=0, limβ(x)=0
    • 高阶
      • limα/β=0，记为α=o(β)
    • 同阶
      • limα/β=c≠0，当c=1时，为等价无穷小，记为α~β
    • 低阶
      • limα/β=∞，记为α=O(β)
    • k阶无穷小
      • limα/β^k=c≠0
  • 性质
    • 无穷小的有限和=无穷小
    • 无穷小的有限积=无穷小
    • 无穷小*有界量=无穷小
• 无穷大
  • 定义
    • limf(x)=∞（x->x0或∞)
  • 常用的比较
    • x->+∞
      •  <<x^β<<a^x，α>0, β>0, a>1
    • n->∞
      •  <<n^β<<a^n<<n!<<n^n, α>0, β>0, a>1
  • 无穷大量
    • 对所有M>0，存在N>0，当n>N时有|xn|>M
  • 无界变量
    • 对所有M>0，存在N>0，使|xN|>M
  • f(x)->∞=>1/f(x)->0，f(x)->0且f(x)≠0=>1/f(x)->∞
• 938D6259DE6ED1D3B66C672DD2DC9C25
• 用于有递推关系的情况
• 用于n项和的情况
• 条件在n>N时满足即可