极限题型

关于极限的一些结论、公式、题型和技巧，2021考研，参考武忠祥高数辅导讲义

极限题型

• 常用方法
  • 利用有理运算法则
  • 利用基本极限
  • 利用等价无穷小
  • 利用洛必达法则
    • 0/0, ∞/∞可以直接用洛必达法则
    • ∞-∞——转换
    • 0*∞，1^∞, ∞^0, 0^0——利用e的对数转换
  • 利用泰勒公式
  • 利用夹逼准则
  • 利用定积分定义
  • 利用单调有界准则
  • 利用拉格朗日中值定理
  • 多种方法混合使用
• 求函数极限
  • 0/0
    • 洛必达法则
    • 等价无穷小代换
    • 泰勒公式
  • ∞/∞
    • 洛必达法则
    • 分子分母除以最高阶无穷大
  • ∞-∞
    • 通分化成0/0或者∞/∞
    • 根式有理化，若有理化复杂，利用(1+x)ⁿ-1~nx等价代换
    • 提无穷因子，再用等价代换或泰勒公式
  • 0*∞
    • 先用等价代换，再将简单部分搬到分母，用洛必达法则
  • 1^∞
    • ①写成标准形式：lim(1+α)^β; ②求极限：limαβ=A; ③原式=e^A
  • ∞^0, 0^0
    • 利用e的指数，化为0*∞
• 求数列极限
  • 不定式
    • 方法与函数极限类似，但要用洛必达法则，要先转换成函数极限
  • n项和
    • 夹逼原理
      • 分母变化部分是不变部分的次量级
    • 定积分定义
      • 分母变化部分与不变部分同量级
        • 提可爱因子 1/n
  • n项乘积
    • 夹逼原理
    • 取对数，化为n项和
  • 递推关系
    • 1.单调有界，证明数列收敛 2.递推关系两边取极限，得出limxn=A
    • 1. 递推关系两边取极限得出limxn=A 2. 证明lim=A：利用递推关系，证明|xn-A|=k|xn-1-A|，其中0<k<1
    • 单调性判定
      • xn+1-xn
      • xn+1/xn，注意xn不变号
      • 递推关系为f(x)，若f(x)递减，则不单调； 若递增：x₁≤x₂——单调增；x₁≥x₂——单调减
• 无穷小量阶的比较
  • 洛必达法则/求导定阶
  • 等价无穷小代换
  • 泰勒公式
• 经典问题
  • 无界*无界≠无界，无穷大*无穷大=无穷大
  • 当求极限出现1/(n+1)的因子，n->∞时，可采用等价变换：1/(n+1)=n/(n+1)*(1/n)
• 常用结论
  • liman=a，则lim|an|=|a|，反之不成立
  • liman=0<=>lim|an|=0
  • 运算法则及推论
    • f(x),g(x)极限存在时，+，-，*，/（分母极限不为0）极限可拆开算
    • 极限非0的因子可以先求出来
    • limf(x)/g(x)存在，且limg(x)=0,则limf(x)=0
    • limf(x)/g(x)=A≠0,且limf(x)=0，则limg(x)=0
  • 极限、连续性、导数有如下性质：存在±不存在=不存在，*，/运算、不存在±不存在=不一定
  • 基本极限
    • lim(a₁ⁿ+a₂ⁿ+....+amⁿ)^1/n=max{ai}
  • 等价无穷小
    • x->0时
      • x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~e^x-1
      • (1+x)^a-1~ax
      • α(x)->0，α(x)β(x)->0，则(1+α(x))^β(x)-1~α(x)β(x)
      • 1-cosx~1/2x² a^x-1~xlna
      • x-sinx~x³/6 arcsinx-x~x³/6 x-ln(1+x)~x²/2 tanx-x~x³/3 x-arctanx~x³/3
    • f(x)~g(x) => f(x)在x0~x的积分~g(x)在x0~x的积分
    • 替换原则
      • 乘除关系可以替换
      • 减法：要求替换后α₁，β₁不等价，则α-β~α₁-β₁
      • 加法：要求替换后limα₁/β₁≠-1，则α+β~α+β₁
    • 若f(x)在0的某领域连续，当x->0，f(x)是x的m阶无穷小，ψ(x)是x的n阶无穷小， 则f(x)在0到ψ(x)的积分是x的(m+1)n阶无穷小
  • 泰勒公式
    • f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!(x-x0)²+......+fⁿ(x0)/n!(x-x0)ⁿ，常取x0=0
• ∞₁+∞₂，低阶∞可忽略 0₁+0₂，高阶0可忽略
• 出现f(a)-f(b)，f是复杂函数