导图社区 矩阵
2021考研 线性代数 矩阵部分 参考李永乐线性代数辅导讲义
2021年考证政治毛中特完整版复习笔记，根据徐涛老师的课程整理。
2021徐涛考研政治史纲旧民主主义革命笔记总结。
2021年考研政治徐涛思修法基笔记整理，主要为选择题考点。
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矩阵
概念
m*n个数排成m行n列的表格 A=[aij]m*n
零矩阵、单位矩阵、方阵
运算
加减法：对应元素加减 数乘：kA——k*每个元素 乘法：AB=C，Cij=A的i行*B的j列
AB≠BA ABC=A(BC)
AB=O≠>A=O或B=O AB=AC且A≠O≠>B=C
(A+B)²=A²+AB+BA+B²≠A²+2AB+B²
分块矩阵
要分块的情形
遇到乘法，Aⁿ，A的逆等运算时，分成对角的方阵
转置=分块矩阵的转置（分块矩阵之间顺序也要转置）
n次方=分块方阵n次方（方阵在对角线上，其余为O）
逆=分块方阵的逆（若方阵在副对角线上，要交换方阵位置）
遇到向量，方程组，秩时，分成行向量或列向量
AB=O：B的列向量是AX=0的解
AB=C：C的行向量可由B的行向量线性表示 C的列向量可由A的列向量线性表示
重要结论
α转置*β=β转置*α=tr(α*β转置）
r(α*β转置)≤1，则α*β转置每两行都成比例
r(A)=1，则A=α×β的转置 秩为1的矩阵可以拆分成两个向量乘积
α转置*α≥0
α*α转置为对称矩阵
伴随矩阵A*（n×n）
定义
A*=[aji的代数余子式]
注意排列顺序
求法
用定义
用公式
公式
AA*=A*A=|A|E => A*=|A|×A的逆 |A*|=|A|^(n-1)
结论
n，r(A)=n r(A*) = 1，r(A)=n-1 0，r(A)<n-1
极其重要！
可逆矩阵（A逆n×n）
AB=BA=E
（kA)逆=(1/k)A逆 (AB)逆=B逆×A逆 (Aⁿ)逆=(A逆)ⁿ
n阶矩阵满足AB=E，则必有BA=E
<=>|A|≠0 <=>r(A)=n A可逆<=>A的行（列）向量组线性无关 <=>A=P₁P₂......Ps，P为初等矩阵 <=>A与E等价 <=>0不是A的特征值
初等变换（行或列）
非0常数×某行每个元素
互换两行元素
某行k倍加到另一行对应元素
初等矩阵
E经过1次初等变换得到的矩阵
类型
Ei(k)
i行×k
i列×k
Ei,j
互换i,j行
互换i,j列
Ei,j(k)
i行k倍加到j行
j列k倍加到i列
注意顺序
与矩阵相乘
PA
A做与P一样的行变换
AP
A做与P一样的列变换
初等矩阵的逆
Ei(k)的逆：Ei(1/k)
Ei,j的逆：Ei,j
Ei,j(k)的逆：Ei,j(-k)
等价矩阵
存在可逆矩阵P，Q使得，PAQ=B
A经过有限次初等变换得到B
初等变换后矩阵秩不变
秩
行秩=列秩=矩阵的秩
r(A)=r(A转置) r(A×A转置)=r(A)
r(A+B)≤r(A)+r(B) r(AB)≤min{r(A),r(B)}
若B可逆，则r(A)=r(AB)=r(BA)
Am×n, Bn×s，AB=O，则r(A)+r(B)≤n
重要！一定要熟练
正交矩阵
A×A转置=A转置×A=E
正交矩阵的行（列）向量均为单位向量，且两两正交
A，B为正交矩阵，则|A|+|B|=0 => |A+B|=0
矩阵题型
矩阵运算
注意区分α×β转置，α转置×β
矩阵的n次方
r(A)=1，则A=α×β转置，Aⁿ=k×α×β转置，k=β转置×α
A矩阵有如下特征：对角线及以上（下）的元素均为0， 则Aⁿ有如下特征：次数每+1，0的阶数+1 若Aⁿ只剩1阶，则唯一不为0的元素为A最长斜线上元素的乘积；再增加次数，Aⁿ=O
A=P逆×B×P，则Aⁿ=P逆×Bⁿ×P
关于伴随矩阵
关于可逆矩阵
用A*
用初等行变换：(A|E)——>(E|A逆)
关于初等矩阵
关于正交矩阵
注意利用定义，用E恒等变形
A逆=A转置 |A|=±1
每种类型都有两种读法，在进行矩阵乘法时注意区分