导数应用

强化更新！包括极值点、中值定理 参考武忠祥2021高数辅导讲义

导数应用

• 微分中值定理
  • 罗尔定理
    • 1. f(x)在[a,b]连续 2. f(x)在(a,b)可导 3. f(a)=f(b) =>存在ζ∈(a,b)，使得f'(ζ)=0
  • 拉格朗日中值定理
    • 1. f(x)在[a,b]连续 2. f(x)在(a,b)可导 =>存在ζ∈(a,b)，使得f'(ζ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
  • 柯西中值定理
    • 1. f(x),g(x)在[a,b]连续 2. f(x),g(x)在(a,b)可导 3. g'(x)≠0 =>存在ζ∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(ζ)/g'(ζ)
  • 泰勒中值定理
    • f(x)在区间i上 (n+1) 阶可导，x0∈i，则对所有x∈i，存在ζ使得 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+......+Rn(x) Rn(x)= ζ介于x和x0之间
• 极值
  • 概念
    • 在x0的领域内有f(x)≥f(x0)（或≤）
      • 极值不在[a,b]的端点a, b取得
  • 必要条件
    • f'(x0)=0（驻点）或f'(x)不存在
  • 充分条件
    • 第一充分条件
      • f'(x0)=0或f(x)在x0连续，f'(x)在x0的左右领域异号
    • 第二充分条件
      • f'(x0)=0，f''(x0)>0（极小值）；f''(x0)<0（极大值）
    • 第三充分条件
      • f'(x0)=f''(x0)=...=0，n阶导数≠0，n为偶数，n阶导数>0，极小值；n阶导数<0，极大值
• 最值
  • 1. 找驻点和不可导的点 2.求这些点的函数值和端点函数值 3. 找最值
  • 若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)有唯一极值点，则该点是最值点
• 曲线的凹向
  • 定义
    • 凹：中点函数值小于函数值中点； 凸：中点函数值大于函数值中点
  • 判定
    • 凹：f''(x0)>0 凸：f''(x0)<0
  • 拐点
    • 必要条件
      • f''(x0)=0
    • 充分条件
      • f''(x0)在x0两侧异号
      • f'''(x0)≠0
      • f''(x0)=f'''(x0)=....=0，n阶导数≠0，n为奇数
      • 比极值点的条件高一阶
• 渐近线
  • 水平渐近线
  • 垂直渐近线
  • 斜渐近线
    • limf(x)/x=a, lim(f(x)-ax)=b
  • 单侧极限满足条件也可
• 曲率
  • k=|y''|/((1+y'²)^(3/2))
  • R=1/k
• 题型技巧
  • 单调性、极值、最值
  • 曲线的凹向、拐点、渐近线、曲率
    • 求斜渐近线时，若f(x)可以写成：ax+b+o(x)，则斜渐近线存在且为y=ax+b
    • 求渐近线时要注意 e^∞ 和 arctan∞ 的讨论
  • 方程根的存在性和个数
    • 存在性
      • 零点定理
      • 罗尔定理
        • 找原函数，两个函数值相等的点
    • 个数
      • 单调性
      • 罗尔定理推论
        • 在区间I上f(x)的n阶导≠0，则f(x)=0在I上最多有n个实根
    • 注意分离变量，避免对变量的讨论
      • 不熟练，注意！
  • 证明不等式
    • 单调性
    • 最大最小值
    • 拉格朗日中值定理
    • 泰勒公式
      • 出现2阶导及以上的信息时
    • 凹凸性
      • 出现中点值
  • 微分中值定理有关证明
    • 证明存在一个ξ∈(a,b)，使 F( ξ, f(ξ), f'(ξ) )=0
      • 改写成右端=0的方程， 构造辅助函数，用罗尔定理
        • 用规律
          • ξf'(ξ)+nf(ξ)=0，令F(x)=xⁿf(x) ξf'(ξ)-nf(ξ)=0，令F(x)=f(x)/xⁿ
          • f'(ξ)+λf(ξ)=0, 令F(x)=e^(λx)f(x) f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0, 令F(x)=
        • 还原法
        • 微分方程法
    • 证明存在ξ，η∈(a,b)，使 F( ξ, η, f(ξ), f(η), f'ξ), f'(η) )=0
      • 不要求ξ≠η
        • 同一区间上用两次中值定理
          • 一般将ξ和η分离，对f'(ξ)用拉格朗日中值定理 另一侧用柯西中值定理 再找出两个等式与要证明的等式的关系
      • 要求ξ≠η
        • 将(a,b)分为两个子区间，对两个子区间分别用拉格朗日中值定理
          • 区间分割点的选取：设为c，用两次中值定理，反推出f(c)要满足的条件，再进行证明和正向推导
    • 泰勒公式有关证明
      • 证明存在一个ξ∈(a,b)，使F( ξ, fⁿ(ξ) )≥0
        • x0选取题中提供函数值和导数值信息最多的点 若一样多，选提供导数值的点 若没有，选端点值或中点值
• 泰勒
• 罗尔
• 拉格朗日
• 柯西