张宇30讲——3.函数极限与连续性

与张宇30讲的大纲基本一致，课上内容也有所补充

数列极限与连续性

• 函数极限
  • 定义
    • 充要条件
      • • 分段函数求极限或求导，一定要在分段点处用定义
  • 性质
    • 唯一性
    • 局部有界性
      • 极限存在可推函数有界，函数有界不能推极限存在
    • 局部保号性
      • 脱帽法
        • 若limf(x)>0(或<0)，则f(x)>0(或<0)
      • 戴帽法
        • 如果f(x)≥0(或≤0)，则limf(x)≥0(或≤0)
          • 推广：如果f(x)≥B(或≤B)，则limf(x)≥B(或≤B)
  • 运算规则
    • • 很多题中用乘法的式子较复杂，但其中A可能是定值
  • 夹逼准则
    • • 涉及不等式条件的极限问题，通常用夹逼准则
  • 洛必达法则
    • • A存在代表着原函数二阶可导，此时才能用洛必达
  • 泰勒公式
    • 公式
      • • 偶次项的次数为0， 但无穷小括号里可以写出偶次
      • • 注意广义化狗-sin狗=
    • 展开原则
      • • “上下同幂”原则
      • • 幂次最低：将A.B分别展开到系数不相等的x的最低次幂为止
  • 归结原则 （海涅定理）
    • • 则
    • 考点
      • 在高等数学中，由于数列极限是离散的，故经常借助海 涅定理的必要条件将数列极限转化为函数极限来计算
  • 无穷小比阶
    • x®1
      • • 用于
    • 处理无穷小的和差时，低阶吸收高阶（即a+b~b）
  • 积分合式
  • 单调有限准则
    • 时
      • 函数单调增加有上界
      • 函数单调减少有下界
      • 函数极限存在
• 连续与间断
  • 连续点的定义
  • 间断点的定义与分类
    • 间断点是在邻域内下的定义具有双侧定义，因此端点处无间断
• 题型
  • 证明一个函数有界：
    • ①若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界;
  • 求极限：七种未定式的计算
    • 化简先行：无穷小替换
      • 要记得及时提出极限存在且不为0的因式
    • 用公式
      • 因式分解
      • 分子有理化
      • 中值定理
        • • 题目中有f(x)与f'(x)的关系
          • 题目中有f(x)-f(x)的式子
    • 用法则：泰勒公式、洛必达法则
    • • • 求极限，可以通过变量倒代换将“正三角形状△”改成 “倒三角形状▽”进行化简，这是一个经典思路，在后 面的积分学和微分方程各章中，我们都会再次提到
      • 根式相加减，进行有理化
        • 当x<0 时，要使用代换t=-x
    • • 如果函数中有分母,则通分,没有分母,则可以通过提取公因式, 或者作倒代换(幂上有分式)，将加减法变形为乘除法
  • 已知极限求参数
    • 有参数,不确定函数是否满足洛必达条件，因此用泰勒公式或一些通常求极限的方法
  • 已知极限求另一极限
    • 利用该公式，反解出f(x),代入欲求的极限式中
    • 将欲求极限拼凑成已知极限表达的形式
  • 含有特殊函数求极限
  • 有关函数极限的存在性
    • 具体函数型
      • 夹逼准则
    • 抽象函数型
      • 单调有限准则
  • 求间断点
    • 只需要看函数的无定义点或分段函数的分段点
      • 无定义点：若该点处有极限存在（一般此时分子分母能约分），为可去间断点
      • 分段函数的分段点：若左右极限相等，则为跳跃间断点
  • • 以-1、1为分段点