张宇线代9讲二次型相关知识总结

张宇线代9讲是张宇30讲的补充和加强版，这个导图比30讲的思维导图内容更详细，知识点更全面，帮你快速掌握二次型相关知识要点。

二次型

• 二次型的定义与表示
  • 定义
    • 二次型
      • • 二次型的矩阵一定是个对称矩阵
    • 标准型
    • 规范型
  • 转化方法
    • 配方法
      • 有平方项：将某个变量的平方项与其混合项一次配成一个完全平方， 如法炮制，直至将所有变量全部配成完全平方
        • n元要n换，缺项要补项
      • 没有平方项：作可逆线性变换
      • 常用场合
    • 正交变换法
      • • 正交化：
          • 特征值不同，则向量已正交，只需单位化
          • 特征值有重根
            • 1.特征值已经正交，只需单位化
            • 2.特征值不正交，将其正交再单位化
          • 施密特正交化
            • ①：用公式正交化
            • ②：单位化
    • 注意:
      • 二次型均能化为标准型：因为任意实对称矩阵都能与对角矩阵正交合同
      • 正交变化法一定是将二次型转化为特征值为系数的标准型，二次型不一定
  • 最值问题
  • 几何应用
  • 惯性定理
    • 无论选取什么样的可逆线性变换,将二次型化成标准形或规范形，其正项个数p，负项个数q都是不变的，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数.
      • 若二次型的秩为 r，则r=p+q，可逆线性变换不改变正、负惯性指数
• 实对称矩阵的合同
  • 定义
  • 
    • 判断等价
      • r(A)=r(B)则A、B等价
    • 判断相似
      • 矩阵A,B特征值一致，且特征值不重复，A,B一定相似
      • 矩阵A,B特征值一致，若特征值有重复，对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量）
        • 也就是求出矩阵A,B对相似于同一个对角矩阵
      • 选择题用相似的性质进行排除（即A~B则 特征值、秩、行列式、迹都相同）
    • 判断合同
      • A、B有相同的秩及相同的正(或负)惯性指数.
      • A、B有相同的秩及相同的正负惯性指数，即有相同的标准型
    • 相似必合同（不能反推）
  • 题型
• 正定二次型
  • 定义
  • 充要条件
    • • • 系数全为正
  • 必要条件
  • 判定
    • 具体型二次型
    • 抽象型二次型