导图社区 考研数一高数
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高数
函数
定义
类型
连续、间断
闭连函数
有界
最值定理
介值定理
零点定理
第一类间断点
第二类间断点
极限
定义
数列
函数
性质
充要条件
唯一
保号
无穷小
几个重要极限
计算方法
判断类型
重要极限、等价无穷小、有理运算、洛必达、泰勒、夹逼、单调有界、定积分
一元微分
导数
定义
性质
微分与增量关系？
公式
基初等
变限积分
n阶导
隐函数
反函数
应用
单调
极值
必要：导数存在，驻点处函数值=0
充分
第一充分
第二充分
凹凸性
必要：拐点二阶导=0
充分
最值问题
渐近线
曲率
中值定理
罗尔
拉格朗日
柯西
泰勒
零点问题
连续介值or零点
证明极值点存在，利用驻点导数=0
罗尔
至多至少个数
不等式证明
构造函数，用单调
已知一阶导，考虑拉格朗日
出现二阶导，考虑泰勒（拉格余项）
一元积分
定积分
和式的极限
存在定理
闭连 or 闭有界＋有限间断点
原函数存在定理：闭连
性质
比大小
积分中值
奇偶、周期的原函数与变限积分
华里士公式：0到Π/2上，三角函数n次方的积分
应用
微元法
面积
弧长
体积
证明
比大小
去积分号
积分中值
加积分号
不等式
比较被积函数，利用积分性质
看成变限函数，利用微分学方法
零点问题
化变限积分，看成变限函数
积分中值
不定积分
基本积分公式
方法
凑微分
有理式：拆项
换元：x=1/t、x=asint、x=atant、万能代换
分部：乘积形式or变上限去积分号
反常积分
无界、瑕点
奇偶性
敛散性
直接计算
单调有界收敛
比较判别法
两个重要反常积分 p106
向量代数与解析几何
向量运算
点积
叉积
混合积
(abc)=0 等价于 三向量共面
平面与直线
平面方程
一般式
点法式
截距式
直线方程
一般式
过直线的平面束方程
对称式
参数式
位置关系
本质可以看成法向量与方向向量的位置关系
距离公式
空间曲面、曲线
旋转面
套公式
利用到旋转轴的距离不变
柱面
定准线C
动母线L
常见二次曲面p150
椭圆抛物面
双曲抛物面（马鞍面）
二次锥面
空间曲线
曲线投影
消去某一变量，注意取值范围
多元微分
重极限
任何方式趋近
夹逼
分母消0
转成一元
无穷小 x 有界
连续
按定义求极限
偏导
按定义求极限
可微
定义
必要条件：可导、连续
充分条件：偏导数连续
复合函数偏导、微分
树形图
微分形式不变
混偏连续则相等
隐函数偏导、微分
公式
两边求偏导
两边求微分
极值、最值
定义：领域内它最大（小），考虑极限保号性
极值必要：具有一阶偏导，极值点是驻点
二元极值充分p182
条件极值：拉格朗日乘数法、可能的极值点
有界闭区域最值：D内极值、D边上最值，二者比较
方向导数
梯度
曲面切平面与法线：关键在法向量n
曲线切线与法平面：关键在切向量t=n1 x n2
泰勒p194
多元积分
重积分
二重
计算
对称性、奇偶性（积分域、被积函数、变量）
直角坐标
极坐标
性质
比较
估值
中值
有关不等式
两积分式相乘：改写成重积分
柯西积分不等式：积的积分的平方≤平方的积分的积
三重
计算
对称、奇偶
直角坐标
先一后二
先二后一
柱坐标
球坐标
性质：同二重
累次积分交换次序
二重
画积分域草图
换次序并确定上下限
三重
两两交换
曲线积分
第一类
直接法
参数、直角、极坐标，ds→dt、dx、dθ
奇偶、对称
第二类
直接法：参数方程化定积分
格林公式：P、Q连续一阶偏导、L正向
积分与路径无关
四个等价
改换简单路径
利用原函数
曲面积分
第一类
奇偶、对称
投影到某个面上，化为二重积分
第二类
直接法：化投影面上二重积分，注意正负
高斯公式
场论
梯度
通量
散度
旋度
多元积分应用
质心、转动惯量、变力做功p254
无穷级数
常数项
必要条件
敛散性
正项
比较法、比较法极限形式
有界
比值法
根植法
交错
莱布尼兹
任意
绝对收敛
两个重要级数
p级数
等比级数
幂级数
收敛区间
阿贝尔定理
分析性质
连续
逐项导
逐项积
泰勒级数
收敛的充要：余项极限=0
常用麦克劳林
傅里叶级数
an、bn公式
收敛性定理
常微分方程
一阶
可分离变量
齐次
线性
伯努利
全微分
可降阶
不显含y
不显含x
高阶线性
解的结构
二阶常系数
n阶常系数
线性常系数非齐次
欧拉方程