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高等数学：多元函数微分学及其应用

高等数学多元函数微分学及其应用，涵盖了多元函数的大部分知识点，从点集到极限，再到导数微分以及几何应用。

编辑于2021-01-10 23:58:36

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八、中断和异常
《微机原理》是一门专业基础课程，它的主要内容包括微型计算机体系结构、8086微处理器和指令系统、汇编语言设计以及微型计算机各个组成部分介绍等内容。参考教材为西安电子科技大学出版社的《微型计算机原理（第六版）》，此外还参考了XJTU段战胜老师的教学PPT。本导图为第八章中断和异常
二、微处理器结构及微型计算机工作原理
《微机原理》是一门专业基础课程，它的主要内容包括微型计算机体系结构、8086微处理器和指令系统、汇编语言设计以及微型计算机各个组成部分介绍等内容。参考教材为西安电子科技大学出版社的《微型计算机原理（第六版）》，此外还参考了XJTU段战胜老师的教学PPT。本导图为第二章、微处理器结构及微型计算机工作原理
六、半导体存储器
《微机原理》是一门专业基础课程，它的主要内容包括微型计算机体系结构、8086微处理器和指令系统、汇编语言设计以及微型计算机各个组成部分介绍等内容。参考教材为西安电子科技大学出版社的《微型计算机原理（第六版）》，此外还参考了XJTU段战胜老师的教学PPT。本导图为第六章半导体存储器

高等数学：多元函数微分学及其应用

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五、多元函数微分学及其应用

5.1n维欧式空间的点集

1.1点列的极限

定义

充要条件

坐标

cauchy

性质

唯一性

有界性

线性运算

子列收敛于同一个点

有界点列必有收敛子列

1.2开集与闭集

聚点

定义

充要条件

导集

闭包

孤立点

闭集

性质

空集、全空间

无限的交

有限的闭

聚点的说明

任意点集的内点、区域的边界点一定是聚点（从定义看）

有限点集没有聚点

A的聚点可以属于A，也可以不属于A

内部、外部、边界

内点、外点、边界点（区分于聚点）

开集

开集的充要条件

性质

空集、全空间

无限的并

有限的交

1.3紧集与区域

紧集

有界闭集

区域（--->闭区域）

连通开集

5.2多元函数的极限与连续性

2.1定义、两种表示方法（几何法、等值线/面）

2.2极限

任意路径

2.3函数的连续、间断

有界、闭区域、连续函数的性质

有界性

最大最小值定理

介值定理

一致连续性

5.3多元数量值函数的导数与微分

3.1偏导数

定义（要求在某邻域内有定义）、可偏导

几何意义

可偏导不一定连续，因为只保证了两个方向

3.2全微分

定义

可微、全微分

表达式

可微——必要条件/性质

连续

可偏导

！可偏导不一定可微！

可微——充分条件

某邻域内有定义，且两个偏导数在该点均连续

！可微不一定两个偏导数连续！

应用

近似计算

局部线性化

误差估计

估计绝对误差，进而相对误差

3.3方向导数与梯度

方向导数

定义

分子注意是单位向量，分母的绝对值 |t| 几何意义其实就是距离

实际上就是f沿L方向的变化率

几何意义

L方向的切线关于L方向的斜率

注意理解：沿L方向、沿-L方向的方向导数反号

计算公式

注意：可微时，该点任意方向的方向导数均存在

所乘的是方向向量

梯度

定义

变化最快的方向（思考为什么）

梯度是一个向量

计算式

几何意义——切向量

运算法则

线性运算

乘法

除法

复合

3.4高阶偏导数、高阶全微分

高阶偏导数

纯偏导

混合偏导

函数连续时，混合偏导与次序无关

高阶全微分——公式：算符表示

3.5多元复合函数的偏导数与全微分

偏导数

链式法则

极坐标变换后的复合偏导

辨析：z=f(u,x,y) z对x求偏导与f对x求偏导不同，因为固定的变量不同

全微分

一阶偏导数的形式不变性 <高阶无此性质>

运算法则

3.6一个方程确定的隐函数微分法

隐函数存在定理

！三个要求！

计算技巧：利用一阶全微分的形式不变性求隐函数的偏导数或全微分————课本P54

5.4多元函数的Taylor公式与极值

4.1多元函数的Taylor公式

条件

在某邻域内有连续的二阶偏导数

表达式

带Lagrange余项的一阶形式

带Peano余项的二阶形式

借助Hesse矩阵的表达形式

4.2无约束极值、最大值与最小值

极值

必要条件

梯度/偏导数为0

注意：不可微/偏导数不存在，也可能是极值点

充分条件

前提条件：函数二级连续，该点为驻点

Hesse矩阵正定/负定 <---- 推导来自Taylor公式

求极值的步骤，对于二级连续的函数

求所有驻点

注：这类函数没有不可微的点，所以没有考虑

求每个驻点处的Hesse矩阵

判断正定负定

最大最小值

连续函数在闭区域上必然有最大最小值

步骤

求所有的驻点、偏导数不存在的点、边界上的点对应的函数值

比较得出最后结果

4.3有约束极值、Lagrange乘数法

有约束极值/条件极值，即有约束条件的极值问题

Lagrange乘数法

求得的是有约束极值点的必要条件

引入λ，构建Lagrange函数，求得的结果就可能是函数极值点，再结合实际问题判断，从而得出结论

用极值证明不等式

令不等式的一边等于常数C，然后在约束条件下，证明另一边恒大于常数C

5.5多元向量值函数的导数与微分

5.1一元向量值函数

导数

一维向量

微分

5.2二元向量值函数

导数

无法依据传统定义得到，故重新定义

Jacobi矩阵

微分

按分量求微分

偏导数

按分量求偏导

5.3微分运算法则

求和

乘法（数量值函数去乘向量值函数）

点乘/内积

叉乘/外积

5.4向量值函数的链式法则

5.5由方程组确定的隐函数的微分法

m个方程、m个未知函数、n个自变量

条件

一级连续

该点方程等于0

Jacobi行列式 ≠ 0

计算公式

直接记忆就可，也可现推

5.6多元函数微分学在几何上的应用

6.1空间曲线的切线与法平面

曲线的参数方程（1个参数）

切线与法平面

1.曲线方程为参数方程时：对参数t求导，即得到曲线切线的方向向量，进而据此求出切线与法平面

2.当曲线由两个柱面的交线给出时：将x视为参数，结合y1与y2即得到了参数方程

3.当曲线方程为一般式（即两个一般式曲面的交线）时：

（1）利用隐函数求导法，将y1、y2视为未知函数，对x求偏导，即得到切向量

（2）利用全微分，将dx、dy、dz作为切向量

6.2弧长

参数方程的弧长计算公式

其他形式的方程的处理

1.平面曲线的直角坐标方程：z=0，将x视为参数，即化为参数方程

2.平面曲线的极坐标方程：另 x=ρ(θ)cosθ，y=ρ(θ)sinθ，然后就化为了θ的参数方程。注意改变积分的上下限。

弧微分与自然参数

弧微分

自然参数

自然参数方程

这种方程求得的切线方向向量直接就是单位向量，各个分量即为方向余弦

6.3曲面的切平面与法线

曲面的参数方程（2个参数）

曲面上曲线的表示

参数曲线网——经纬定位

切平面与法线

正则点

参数方程：通过u曲线、v曲线的切向量得出法线的方向向量，进而得到切平面

直角坐标方程：将x视为参数，结合隐函数求导法。最后法线方向向量其实就是Fx、Fy、Fz

柱面方程：其实就是特殊的直角坐标方程，直接套用上面的结果即可，Fz= -1

5.7空间曲线的曲率与挠率

7.1Frenet标架

自然参数方程 r=r(s)

1.切平面与法线

单位切向量：T = r'(s)

2.密切平面与次法线

单位次法向量：B = [ r'(s) × r''(s) ] / ||r''(s)||

3.从切平面与主法线

单位主法线：N = r''(s) / ||r''(s)||

本质是：N = B × T

一般参数方程 r=r(t)

T = r'(t) / ||r'(t)||

B = [r'(t) × r''(t)] / ||r'(t) × r''(t)||

N = B × T

7.2曲率

曲率的计算

自然参数方程

κ(s) = ||r''(s)||

一般参数方程

κ(t) = ||r'(t) × r''(t)|| / ( r''(t) )^3

平面曲线参数方程

κ(t) = |x'y'' - x''y'| / [ (x')2 + (y')2 ]^(3/2)

平面曲线直角方程

κ = |y''| / [1+(y')2]^(3/2)

其实就是把x视为参数套用上面那个方程

曲率半径、曲率圆

7.3挠率

τ(s) = - B'(s) · N(s)

注意辨析

可偏导

可微

连续

偏导数连续