万物皆数：从史前时期到人工智能， 跨越千年的数学之旅

数学是人类的发明，还是独立的存在？数学家是创造者，还是发现者？鹦鹉螺的外壳、松果的正向与逆向螺纹……数学原理是否掌控着自然选择的最优解？史前时代的制陶工匠已经发现了让花纹保持不变的全部7种几何变换。

万物皆数：从史前 时期到人工智能， 跨越千年的数学之旅

• 不自觉的数学家
  • 手斧
    • 150万年前 旧石器时代初期
    • 将头脑中的抽象概念，理解和塑造成外部世界
  • 腰线
    • 公元前 8000年 美索不达米亚平原 （今：伊拉克）
    • 陶土罐上的7种装饰腰线
• 数字的形成
  • 筹码
    • 苏美尔文明时期的乌鲁克城
    • 黏土筹码系统
      • 这个系统包括多种类型筹码，根据形状和花纹不同，每一种筹码对应一个或几个物品或者动物
    • “计算”（calcul）的来源
      • 筹码的拉丁语-calculi-意思是“小石子”
  • 黏土板
    • 公元前4世纪 “书写”的起源
  • 数字的诞生
    • 公元前3世纪 数字具有了 抽象性
      • 🐏🐏🐏→3 只羊
    • 四大文明纷纷发明书写符号
• 不习几何者不得入内
  • 几何是测量地表的学科
    • 根据几何图形测绘田地面积
    • 工具：绳索
  • 测量员
    • 古希腊-用走路来测量距离长短
    • 古埃及-用骆驼的步数
  • 柏拉图：不习几何者不得入内
    • 古希腊人认为，几何学因其严谨性和能够训练头脑而尊贵
  • 《几何原本》
    • 作者：欧几里得
    • 用几何解释算术
• 定理时代
  • 柏拉图立体
    • 由泰阿泰德第一个发现
      • 并声明“只有5种情况（多面体）”
      • 球体和圆柱体是曲面体，不属于多面体
    • 因柏拉图将其与“宇宙元素（金木水火土）”结合，而被称为柏拉图立体
      • 柏拉图：正五边形是宇宙的形状
    • 举例：
      • 色子、足球、微生物
      • 因其具有对称性和经济性
  • 泰勒斯定理
    • 定理内容
    • 啥叫“定理”
      • 古希腊人 取的名
      • 将数学真理用 简洁又概括 的方式表述出来，无论对于所包含的哪一种个别情况来说，都是成立的
    • 泰勒斯
      • 古希腊第一位诞生的伟大的数学家
      • 准确预测了日食
      • 阴影测量法（用木棍测量金字塔）
      • 学孙是毕达哥拉斯
      • 泰勒斯将几何图形赋予了抽象的数学对象的地位
  • 毕达哥拉斯定理（勾股定理）
    • 现存最早的记录是欧几里得《几何原本》
    • 毕达哥拉斯学派
      • 诞生于公元前532年
      • 不仅是数学家、科学家，还是哲学家、修道士、政治人物（也可以是邪教)
• 一点儿方法
  • ”可测长度“被推翻
    • “可测长度”
      • 毕达哥拉斯 认为，在几何学意义上，任意两个长度总是可以被测量。也就是说，能够找到一个足够小的单位，同时测量这两个长度
    • 推翻人：希帕索斯
      • 门徒 - 毕达哥拉斯学派
      • 证据：一个正方形中，边长和对角线不可同时测量
      • 常说的“化圆为方”
  • 猜想
    • 定义
      • 数学家们将那些他们认为是正确的，但是暂时还 没法得到证明 的陈述，称之为“猜想”
    • 毕达哥拉斯定理
      • 人类历史上拥有最多证明方式的定理
        • 《九章算术》
        • 达尔文
        • 美国第二十任总统 詹姆斯·艾布拉姆·加菲尔德
      • 本来是猜想，被证明后成了定理
  • 公理
    • 定义
      • 数学家们称一些 先验的显然事实 为公理
      • 特点：不需要证明过程
    • 欧几里得《几何原本》
      • 最先采用公理化方法的著作
      • 人类历史上 再版第二多 的著作
        • 第一是《圣经》
      • 书中得出5个公理
        • 1.任意两点能够定义一条直线
        • 2.一条线段能够向两端无限延申
        • 3.给定一条线段，能够画出一个以该线段的一个端点为圆心，线段长度为半径的圆
        • 4.所有的角度都可叠加
        • 5.若一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角和，那么这两条直线在各自不断地延申后，会在内角和小于两直角的一侧相交
      • 出于对“初始定义”和“公理”的绝对笃信，人们在此基础上发展出了整个几何学
      • 欧几里得论证道路：定义-公理-定理-证明
  • 悖论
    • 定义
      • 一种似假非真、似是而非、自相矛盾的命题
    • 著名悖论
      • “我说的这句话是谎话”
        • 提出人-欧布里德
        • 说谎者悖论挑战了我们预设的想法，对于任意一句陈述，或者真，或者假，绝对没有第三种可能。在数学上成为“排中律”
      • 阿克琉斯追乌龟
        • 提出人-芝诺
        • 切割了时间间隔：每次阿克琉斯跑完了乌龟领先的一段距离，乌龟都会继续再领先一段距离……
• 从 π 到坏
  • 阿基米德与“π”
    • 阿基米德
      • 公元前287年出生
      • 发现了杠杆原理、浮力原理，发明了螺旋抽水机
      • 常常大喊：Eureka！尤里卡（希腊语：我发现了）
      • 公元前212年死亡，由于罗马帝国的铁蹄踏进了古希腊
    • 阿基米德 切圆法
      • π只能 近似，无法 精确
      • 估算除了近似值与真实值之间的差距0.03%，并不断完善，缩小差距
  • 亚历山大图书馆
    • 亚历山大大帝建的城市“亚历山大港”，但大帝从没来过
    • 亚历山大灯塔——世界七大奇迹之一
    • 托勒密一世想将亚历山大港打造成文化中心城，而命人建造“亚历山大图书馆”
    • 有这些牛人
      • 艾拉托斯特尼——第一个精确测量出地球周长
      • 欧几里得《几何原本》
      • 丢番图《丢番图方程》
      • 克洛狄斯·托勒密《天文学大成》——地心说
    • 391年关闭，因罗马帝国加速了人民对基督教的皈依，禁止异教崇拜
  • 希帕提亚
    • 最后一任亚历山大图书馆馆长的女儿
    • 比当时所有男性都更加叙事渊博的女性学者，是数学家、高产发明者
    • 发明了比重计
    • 415年💀被碎尸、焚烧，亚历山大港圣火熄灭，一片白地
• 零和负数
  • 《婆罗摩修正体系》
  • 公元632年 婆罗摩笈多 著
  • 作用
    • 第一次表述“零”及其性质
      • 任意数字减去其自身，得到的数字是零；任意一个数字加上或者减去零，结果依然是这个数字
    • 提出“负数”
      • 《九章算术》首先描述了性质与负数类似的数字
  • 婆罗摩笈多零一贡献——正数和负数的统一
    • “+”和“-”是同一种运算的两个方面
  • 古印度文明over
    • 公元711年 阿拉伯军队占领了信德地区和印度和三角洲一带
• 三角原力
  • 公元8世纪 巴格达图书馆
    • 哈里发阿布·曼苏尔 想将巴格达建成文化与科学城市
  • 《印度数字算术》
    • 公元9世纪初期 花剌子米 发表
    • 描述了来了印度的十进制技术系统，包括0在内的10个数字从此传遍阿拉伯世界，并被世界人们当成“阿拉伯数字”接受
  • 智慧之家
    • 公元832年 巴格达图书馆成立的机构
    • 旨在促进科学知识的保护和发展
  • 插曲
    • 公元751年，因为战争，纸被传入阿拉伯世界
  • 三角学
    • 希腊人是历史上第一个建立三角函数表的民族
      • 流传下来最古老的三角函数表记载于托勒密的《天文学大成》
    • 阿拉伯学者之于三角学
      • 撰写精确的 三角函数表
      • 对三角函数的应用
    • 阿尔·卡西
      • 1427年《卡西定理》：如果一个三角形不是直角三角形，那么两条较短边边长的平方和就不等于第三条边的平方
      • 1424年 计算出了π小数点后16位
    • 卡西尼家族
      • 第一批献身于测量巴黎子午线事业的研究者之一
      • 测绘了 巴黎子午线
      • 1744年 卡西尼三世 第一张建立在严谨科学考察基础上的 全法地图
      • 公制（米制）
        • 出现在法国大革命期间
        • 1米恰好等于巴黎子午线长度的四千万分之一
      • 1884年 巴黎子午线被格林尼治子午线代替
    • 三角函数的现代应用
      • GPS
      • 三角定位
      • 虚拟技术
• 面对未知
  • 花剌子米解方程
    • 著《还原与对消计算概要》
      • 哈里发“马蒙”令花剌子米撰写，要求让我的人民能解决日常问题
      • 其中包括土地测量、商业交易、遗产分配
    • 成就
      • 1.代数学 algebra
        • 独特的表达方式——剥去“现实的外衣”
        • algebra 由《还原与对消计算概要》的拉丁文书名音译而来
      • 2.方程式
        • 四则运算的方程式
        • 将数学问题由具体转变为 抽象问题
  • 解方程组
    • 公元9世纪末期 阿布·卡米勒
  • 巴格达over
    • 1258年 蒙古铁骑占领巴格达
    • 阿拉伯文化传向欧洲
• 数列
  • 斐波那契
    • 1175~1250年 意大利人（但并没有一直呆在意大利）
    • 1202年 《计算之书》
      • 介绍同时期的所有数学知识
      • 提出“斐波那契数列”（数兔子来的）
        • 可用于物种演化研究
  • 数列
    • 定义
      • 一系列可以无限延长的数字序列
    • 特性
      • 无穷多个相加，结果可能是用穷的
    • π被再次精确
      • 马德哈瓦 根据无限分割理论，但是计算过程太麻烦
• 虚数的世界
  • 三次方程大混战
    • 我就是不说（第一个发现）——希皮奥内·德尔·费罗
    • 我猜你们一定不知道，我要挑战你们——安东尼奥·玛丽亚·德尔·费奥雪（德尔·费罗的学生）
    • 我拒绝告诉世界——尼科洛·塔尔塔利亚
    • 我想尽办法要知道——吉罗拉莫·卡尔达诺
      • 从塔尔塔利亚处求教，并立誓不公布
      • 1547年 发表《大术》
      • “卡当公式”：三次方程解析式
        • 负数的平方根——引起学界不解
        • 1572年《代数学》邦贝利称之为“复杂的数”
  • 虚数
    • 笛卡尔 命名
  • 代数基本定理
    • 19世纪初期 被 高斯 证明
    • 几次方程就有几个解
  • 伽罗瓦群
    • 由埃瓦里斯特·伽罗瓦提出，是一种新型代数结构
    • 21岁就死了，但因为伽罗瓦群贡献卓越
  • 代数学领域的“地震”
    • 埃米·诺特
    • 50篇数学论文，主要在“环、域、群”
    • 从此，代数进入 抽象领域
• 数学语言
  • 插曲
    • 1450年 德国人约翰内斯·谷登堡发明活字印刷术
      • （北宋的毕昇比谷登堡早400年左右）
    • 1543年 哥白尼发飙《天体运行论》日心说
  • 弗朗索瓦·韦达
    • 文艺复兴时期，法国诞生的第一位伟大的数学家
    • 1591年 《分析方法入门》
    • 发起“代数现代化”计划
      • “+-×÷”是文艺复兴时期产物
      • 用“字母”表示“运算”
  • 笛卡尔
    • 代数的独立
      • 代数有了自己的规则（字母化方程），脱离 几何学，成为一门 独立的学科
      • 元音+辅音
      • a,b,c已知，x,y,z未知
    • 笛卡尔坐标
      • 一个带有坐标轴和坐标的系统
      • 代数与几何“水乳交融”——用代数描述几何
  • 四维空间（第四维：时间）
    • 相对论
• 世界的字母表
  • 万有引力
    • 牛顿
    • 将物理问题转化为了数学问题，相当于求解代数方程
    • 两大壮举
      • 计算 哈雷彗星 周期——牛顿最引人瞩目的成功
        • 牛逼的伽利略认为“彗星是大气现象”，哈雷彗星的回归推翻了伽利略
        • 埃蒙德·哈雷 推测这颗回行会在1758年回归
          • 埃蒙德·哈雷 没能活到1758年
      • 计算出海王星
        • 仅通过计算而推算出的行星
• 无穷小
  • 牛顿和莱布尼兹为了“微积分”的著作权干起来了
  • 经过数人及一个世界的完善，微积分可以随便玩了
• 测算未来
  • 随机问题——抛硬币
  • 《猜度术》
    • 雅各布·伯努利
    • 大数定律
      • 随机问题不存在
      • 在随机试验中，重复的次数越多，结果的平均值就越明显，并且趋近于一个极限值
  • 强化概率
    • 乔治·波利亚
    • 随即系统的自我修正特性
  • 估算演化概率——测量神的旨意
• 计算器时代的到来
  • 帕斯卡计算器
    • 第一台计算器
    • 1642年 布莱兹·帕斯卡
  • 手摇计算器
  • 第一台计算机
    • 1834年 查尔斯·巴贝奇
    • 模仿纺织机的 打孔原理
  • 第一个程序员
    • 阿达·洛芙莱斯
    • 编写代码，用来计算伯努利数列
      • 从运算到打孔
  • 图灵机
    • 1936年 艾伦·图灵
    • 发表文章
      • 表示下面两种做法 有某种关联
        • 证明某定理在数学上的可能性
        • 用一台机器计算结果在信息科学上的可能性
  • 算法
  • 学习型计算机
• 未来的数学
  • 昂利·庞加莱
    • 最后一位全知全能的伟大学者
    • 其后没有数学通才，只有数学专家
  • 菲尔兹奖
    • 数学界的诺贝尔奖
  • 英语成为数学的国际通用语