考研数一（数一线代部分）

该框图为简单整理的考研数一线代的部分内容汇总，包括了行列式，矩阵，特征值，特征向量等模块，可供参考。其中部分页码标注参考李王全书内容，另外一些部分中更详尽的内容未作呈现，需自行补充。

线代

• 行列式与矩阵
  • 行列式
    • 概念
      • n行n列
      • 不同行不同列元素乘积的代数和（本质上是个数）
    • 性质
      • P318 1）经转置行列式的值不变； 2）行或列互换，行列式的值变号； 两行或列相同，行列式值为0 3）某行或列有公因子k，则可提出； （注意与 A为n阶矩阵,|kA|=k^n|A| 区分） 某行或列全为0，行列式值为0 两行或列对应成比例，行列式值为0 4）把某行或列的k倍加到另一行或列，行列式值不变； （注意与 矩阵的初等倍加变换 区分） 5）某行或列是两个元素之和，可拆成两个行列式之和
    • 解题
      • 题型
        • 代数余子式求和
          • P330
          • 代数余子式
          • 任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
          • 元素代数余子式的值与该元素的值无关
            • 替换原元素构造出新行列式
          • 用伴随矩阵定义
            • 求行列式的值、逆矩阵，求伴随矩阵
        • 行列式计算
          • 数字型
            • 变换
              • 互换、倍加
              • 每一行(列)加到第一行(列)
              • 逐行相加
              • 通常都是三角化
            • 重要公式
              • P319
              • 三角行列式（副对角线相乘时，注意符号）
              • 拉普拉斯展开式（副对角线相乘时，注意符号）
              • 范德蒙行列式
            • 展开公式
              • 注意符号！注意符号！注意符号！
              • 化1，化0，用展开公式求值
            • 递推法
              • 数学归纳法
          • 抽象型
            • n阶矩阵的行列式公式
              • P319
            • 用单位矩阵E作变换（可逆、伴随）
            • 相似，特征值
        • 特征多项式
        • 克拉默法则
          • 齐次线性方程组的系数行列式|A|=0↔有非零解
          • 齐次线性方程组的系数行列式不为0↔只有零解
        • |A|=0
          • P329
          • A不可逆
          • r(A)＜n
          • A的列(行)向量线性相关
          • Ax=0有非零解
          • 0是A的特征值
          • |A|=k|A|，k≠1
            • 如：|A|=-|A|
          • 反证法
      • 技巧
  • 矩阵
    • 运算
      • P334-335
      • 加法
      • 数乘
      • 乘法
      • 转置
      • 方阵的幂
    • 分类
      • 形式
        • m×n矩阵
          • n阶矩阵
            • 单位矩阵 E
            • 数量矩阵 kE
            • 对角矩阵
            • 三角矩阵
            • 对称矩阵
            • 反对称矩阵
          • 行阶梯矩阵
            • P338
            • 零行在底部，非零行的第一个非零元下面都是0
          • 行最简矩阵
            • P338
            • 非零行的第一个非零元都是1，且其所在列其他元素都是0
      • 性质
        • n阶矩阵
          • 伴随矩阵
            • 概念
              • 由代数余子式行列转置排布构成
            • 重要公式
              • P336
            • 求2阶伴随矩阵
          • 可逆矩阵
            • 概念
            • 运算性质
              • P336
            • 可逆的充要条件
              • P336
              • |A|≠0
              • r(A)=n
              • A的列(行)向量线性无关
              • Ax=0只有零解
              • Ax=b总有唯一解
              • A的特征值全不为0
              • 反证法
            • 求逆矩阵方法
              • P337
              • 定义
              • 公式
              • 初等行变换
                • • 左边部分先化为 ◥ ，再化为 ╲
              • 分块矩阵
          • 正交矩阵
            • |A|=-1或1
    • 初等变换
      • 左行右列
      • 定义
        • 形式
          • 倍乘
          • 互换
          • 作变换后行列式的值会改变（倍加不变）
          • 倍加
      • 初等矩阵
        • 定义
          • 单位矩阵E经 一次 初等变换得到的矩阵
        • 性质
          • P338
    • 等价
      • A经过有限次初等变换变成B
      • A ≌ B ↔ r(A)=r(B)
    • 相似
      • 存在可逆矩阵P，使
      • A~B
    • 分块矩阵
      • P339
    • 矩阵的秩
      • P338
      • 概念
        • A是m×n矩阵，
        • r阶子式不等于0，
        • r+1阶子式(若存在)均等于0 → 矩阵A的秩为r，记为 r(A)
      • 定理
        • 经初等变换矩阵的秩不变
          • 可以将(增广)矩阵作初等行变换为行阶梯矩阵，非零行的行数就是秩
        • 如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)
      • 公式
    • 解题
      • 题型
        • 特殊方阵的n次幂
          • P342
          • 利用分块矩阵的幂公式
          • 把A化为列矩阵×行矩阵
            • 条件：任两行、列都成比例
          • 把A化为kE+B形式，再利用二项式展开公式
            • 通常B在低次幂就开始为O
          • 相似矩阵
        • 求参数
        • 求矩阵
          • 设矩阵→求方程组
• 向量与线性方程组
  • 向量
    • n维向量
      • 运算
        • P360
        • 加法
        • 数乘
        • 内积
    • 线性组合
      • 概念
    • 线性表出
      • 概念
    • 线性相关
      • 概念
        • • 线性相关：
          • 线性无关：
      • 重要定理
        • P361
    • 向量组等价
      • 两个向量组可以互相线性表出
      • 向量组和它的极大线性无关组等价
      • 向量组的任两个极大线性无关组等价
      • 等价的向量组秩相等，但秩相等不一定等价
    • 极大线性无关组
      • 极大线性无关 + 任一 = 线性相关
    • 向量组的秩
      • 定义
        • 极大线性无关组中向量的个数
        • 只有零向量的向量组，规定其秩为0
      • 定理
    • 注意：求极大线性无关组时，只能都作行变换(或都作列变换)！！！ 求秩，则可以混用
      • 列向量作行变换 行向量作列变换
    • Schmidt正交化
      • 正交规范化方法
      • 正交矩阵
    • 向量空间
    • 解题
      • 题型
        • 注意向量有没有转置
        • 线性相关性判别
        • 向量的线性表示
          • 是否可以线性表出
          • • P367
            • β中含参数
              • • ＞，有无数解 → 表示法不唯一
            • β中不含参数
              • • ＞，有无数解 → 表示法不唯一
          • 写出线性表示
      • 定理
  • 线性方程组
    • 克拉默法则
    • 齐次 线性方程组
      • 定理
      • 解的性质
      • 基础解系
        • • 未知系数为 n-r(A) 个
      • 解
    • 非齐次 线性方程组
      • 定理
      • 解的性质
      • 通解
        • 非齐次特解η
    • 解题
      • 题型
        • 求解
          • 初等行变换不改变线性方程组的解
          • 齐次
            • 1、把系数矩阵化为行最简
            • 2、(如基础解系解向量数为2)设自由变量(即非主元)为“10、01”，其余元素为行最简矩阵中该列元素的 相反数
            • 3、通解：
          • 非齐次
            • 1、把增广矩阵化为行最简
            • 2、(如基础解系解向量数为2)设自由变量(即非主元)为“10、01”，其余元素为行最简矩阵中该列元素的 相反数
            • 3、设自由变量(即非主元)为“0、0”，其余元素为行最简矩阵中该列的元素
            • 4、通解：
              • 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
          • 或化为行最简后设自由变量解同解方程
        • 由Ax=0的基础解系反求原方程
          • P398
        • 公共解
• 特征值与特征向量
  • 特征值、特征向量
    • 定义
    • 性质
  • 特征方程
    • |λE - A|=0
  • 特征矩阵
    • λE - A
  • 相似矩阵
    • 定义
    • 性质
      • 反身性：A~A
      • 对称性：A~B → B~A
      • 传递性：A~B,B~C → A~C
    • 必要条件
  • 相似对角化
  • 实对称矩阵
    • 定义
      • 元素都是实数的对称矩阵
    • 性质
      • 必相似于对角阵
      • 不同特征值对应的特征向量互相正交
  • 解题
    • 题型
      • A相似于对角阵
        • 实对称阵一定相似于对角阵
        • 不是实对称阵时
          • 有n个互不相同的特征值
          • 有k重根的特征值，且 对应 有k个线性无关的特征向量λ → r(λE-A)=n-k
• 二次型
  • 二次型
  • 标准型
  • 规范型
  • 合同二次型、合同矩阵
  • 正定二次型、正定矩阵

行列式与矩阵

• 行列式
  • 概念
    • n行n列
    • 不同行不同列元素乘积的代数和（本质上是个数）
  • 性质
    • P318 1）经转置行列式的值不变； 2）行或列互换，行列式的值变号； 两行或列相同，行列式值为0 3）某行或列有公因子k，则可提出； （注意与 A为n阶矩阵,|kA|=k^n|A| 区分） 某行或列全为0，行列式值为0 两行或列对应成比例，行列式值为0 4）把某行或列的k倍加到另一行或列，行列式值不变； （注意与 矩阵的初等倍加变换 区分） 5）某行或列是两个元素之和，可拆成两个行列式之和
  • 解题
    • 题型
      • 代数余子式求和
        • P330
        • 代数余子式
        • 任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
        • 元素代数余子式的值与该元素的值无关
          • 替换原元素构造出新行列式
        • 用伴随矩阵定义
          • 求行列式的值、逆矩阵，求伴随矩阵
      • 行列式计算
        • 数字型
          • 变换
            • 互换、倍加
            • 每一行(列)加到第一行(列)
            • 逐行相加
            • 通常都是三角化
          • 重要公式
            • P319
            • 三角行列式（副对角线相乘时，注意符号）
            • 拉普拉斯展开式（副对角线相乘时，注意符号）
            • 范德蒙行列式
          • 展开公式
            • 注意符号！注意符号！注意符号！
            • 化1，化0，用展开公式求值
          • 递推法
            • 数学归纳法
        • 抽象型
          • n阶矩阵的行列式公式
            • P319
          • 用单位矩阵E作变换（可逆、伴随）
          • 相似，特征值
      • 特征多项式
      • 克拉默法则
        • 齐次线性方程组的系数行列式|A|=0↔有非零解
        • 齐次线性方程组的系数行列式不为0↔只有零解
      • |A|=0
        • P329
        • A不可逆
        • r(A)＜n
        • A的列(行)向量线性相关
        • Ax=0有非零解
        • 0是A的特征值
        • |A|=k|A|，k≠1
          • 如：|A|=-|A|
        • 反证法
    • 技巧
• 矩阵
  • 运算
    • P334-335
    • 加法
    • 数乘
    • 乘法
    • 转置
    • 方阵的幂
  • 分类
    • 形式
      • m×n矩阵
        • n阶矩阵
          • 单位矩阵 E
          • 数量矩阵 kE
          • 对角矩阵
          • 三角矩阵
          • 对称矩阵
          • 反对称矩阵
        • 行阶梯矩阵
          • P338
          • 零行在底部，非零行的第一个非零元下面都是0
        • 行最简矩阵
          • P338
          • 非零行的第一个非零元都是1，且其所在列其他元素都是0
    • 性质
      • n阶矩阵
        • 伴随矩阵
          • 概念
            • 由代数余子式行列转置排布构成
          • 重要公式
            • P336
          • 求2阶伴随矩阵
        • 可逆矩阵
          • 概念
          • 运算性质
            • P336
          • 可逆的充要条件
            • P336
            • |A|≠0
            • r(A)=n
            • A的列(行)向量线性无关
            • Ax=0只有零解
            • Ax=b总有唯一解
            • A的特征值全不为0
            • 反证法
          • 求逆矩阵方法
            • P337
            • 定义
            • 公式
            • 初等行变换
              • • 左边部分先化为 ◥ ，再化为 ╲
            • 分块矩阵
        • 正交矩阵
          • |A|=-1或1
  • 初等变换
    • 左行右列
    • 定义
      • 形式
        • 倍乘
        • 互换
        • 作变换后行列式的值会改变（倍加不变）
        • 倍加
    • 初等矩阵
      • 定义
        • 单位矩阵E经 一次 初等变换得到的矩阵
      • 性质
        • P338
  • 等价
    • A经过有限次初等变换变成B
    • A ≌ B ↔ r(A)=r(B)
  • 相似
    • 存在可逆矩阵P，使
    • A~B
  • 分块矩阵
    • P339
  • 矩阵的秩
    • P338
    • 概念
      • A是m×n矩阵，
      • r阶子式不等于0，
      • r+1阶子式(若存在)均等于0 → 矩阵A的秩为r，记为 r(A)
    • 定理
      • 经初等变换矩阵的秩不变
        • 可以将(增广)矩阵作初等行变换为行阶梯矩阵，非零行的行数就是秩
      • 如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)
    • 公式
  • 解题
    • 题型
      • 特殊方阵的n次幂
        • P342
        • 利用分块矩阵的幂公式
        • 把A化为列矩阵×行矩阵
          • 条件：任两行、列都成比例
        • 把A化为kE+B形式，再利用二项式展开公式
          • 通常B在低次幂就开始为O
        • 相似矩阵
      • 求参数
      • 求矩阵
        • 设矩阵→求方程组

向量与线性方程组

• 向量
  • n维向量
    • 运算
      • P360
      • 加法
      • 数乘
      • 内积
  • 线性组合
    • 概念
  • 线性表出
    • 概念
  • 线性相关
    • 概念
      • • 线性相关：
        • 线性无关：
    • 重要定理
      • P361
  • 向量组等价
    • 两个向量组可以互相线性表出
    • 向量组和它的极大线性无关组等价
    • 向量组的任两个极大线性无关组等价
    • 等价的向量组秩相等，但秩相等不一定等价
  • 极大线性无关组
    • 极大线性无关 + 任一 = 线性相关
  • 向量组的秩
    • 定义
      • 极大线性无关组中向量的个数
      • 只有零向量的向量组，规定其秩为0
    • 定理
  • 注意：求极大线性无关组时，只能都作行变换(或都作列变换)！！！ 求秩，则可以混用
    • 列向量作行变换 行向量作列变换
  • Schmidt正交化
    • 正交规范化方法
    • 正交矩阵
  • 向量空间
  • 解题
    • 题型
      • 注意向量有没有转置
      • 线性相关性判别
      • 向量的线性表示
        • 是否可以线性表出
        • • P367
          • β中含参数
            • • ＞，有无数解 → 表示法不唯一
          • β中不含参数
            • • ＞，有无数解 → 表示法不唯一
        • 写出线性表示
    • 定理
• 线性方程组
  • 克拉默法则
  • 齐次 线性方程组
    • 定理
    • 解的性质
    • 基础解系
      • • 未知系数为 n-r(A) 个
    • 解
  • 非齐次 线性方程组
    • 定理
    • 解的性质
    • 通解
      • 非齐次特解η
  • 解题
    • 题型
      • 求解
        • 初等行变换不改变线性方程组的解
        • 齐次
          • 1、把系数矩阵化为行最简
          • 2、(如基础解系解向量数为2)设自由变量(即非主元)为“10、01”，其余元素为行最简矩阵中该列元素的 相反数
          • 3、通解：
        • 非齐次
          • 1、把增广矩阵化为行最简
          • 2、(如基础解系解向量数为2)设自由变量(即非主元)为“10、01”，其余元素为行最简矩阵中该列元素的 相反数
          • 3、设自由变量(即非主元)为“0、0”，其余元素为行最简矩阵中该列的元素
          • 4、通解：
            • 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
        • 或化为行最简后设自由变量解同解方程
      • 由Ax=0的基础解系反求原方程
        • P398
      • 公共解

特征值与特征向量

• 特征值、特征向量
  • 定义
  • 性质
• 特征方程
  • |λE - A|=0
• 特征矩阵
  • λE - A
• 相似矩阵
  • 定义
  • 性质
    • 反身性：A~A
    • 对称性：A~B → B~A
    • 传递性：A~B,B~C → A~C
  • 必要条件
• 相似对角化
• 实对称矩阵
  • 定义
    • 元素都是实数的对称矩阵
  • 性质
    • 必相似于对角阵
    • 不同特征值对应的特征向量互相正交
• 解题
  • 题型
    • A相似于对角阵
      • 实对称阵一定相似于对角阵
      • 不是实对称阵时
        • 有n个互不相同的特征值
        • 有k重根的特征值，且 对应 有k个线性无关的特征向量λ → r(λE-A)=n-k

二次型

• 二次型
• 标准型
• 规范型
• 合同二次型、合同矩阵
• 正定二次型、正定矩阵