九年级中考数学圆超详细

九年级数学，圆所有知识点，超详细。中考必考。在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。

圆

• 定义
  • 到定点的距离等于定长的点集 （指圆周非圆面)
  • 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
• 相关概念
  • 弧
    • 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“
    • 等弧：同圆或等圆中能够重合的两个弧
    • 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
  • 弦
    • 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中AB） 最长的弦为直径如CD（弦心距为零）
    • 弦心距：圆心到直线的距离
    • 垂径定理：垂直于弦的直径⑪ ,并且平分弦所对的两条弧
    • 垂径定理推论
      • (1) 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
      • (2)弦的⑬ 垂直平分线 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
      • (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
    • 简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立
  • 角
    • 圆周角定理及推论
      • 圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角
      • ☆圆周角定理 ：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
      • 推论1
        • 同弧或等弧所对的圆周角相等
      • 推论2
        • 半圆(或直径)所对的圆周角是⑯ 直角 ,90°的圆周角所对的弦是⑰直径
      • 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
    • ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数
    • 圆内接四边形的性质
      • ③圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形
      • ☆圆内接四边形对角互补：它的一个外角等于它相邻内角的对角
      • [拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图,∠ABE=∠D.
  • 性质
    • 圆的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆还具有旋转不变性.
    • 弧，弦，圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果有两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等
    • 三角形的内心和外心
      • ⑴：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆
      • ⑵：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的的外心
      • ⑶：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心就是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
• 计算
  • 扇形
    • 弧长：若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长
    • 面积:若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则面积
  • 圆
    • 周长：C=2兀R
    • 面积:S=兀R2
  • 圆锥的侧面积与全面积
    • (1)h是圆锥的高(2)l是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的⑥半径(3)r是底面圆半径(4)圆锥的侧面展开图是扇形,其弧长等于圆锥底面⑦圆的周长。
    • 圆锥的侧面积
      • S侧=πrl
    • 圆锥的全面积
      • S全=S侧+S底=πrl+πr2
  • 阴影部分面积的计算
    • 1.规则图形的面积,直接利用对应公式计算.
    • 2.不规则图形的面积,要将图形的面积转化为可求图形的面积的和或差,常用方法有: (1)割补法; (2)拼凑法; (3)等积转化法; (4)平移法; (5)旋转法.
• （常添辅助线）
  • 连接圆心和切点
  • 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
• 圆与正多边形
  • 关系
    • 外接
      • 正多边形只有一个外接圆
    • 内切
      • 正多边形只有一个内切圆
  • 计算
    • 内角和〓(n-2)X180
    • 半内角〓180/n
  • 四边形与圆
    • 内切
      • 两条对边相等
    • 外接
      • 对角互补
      • 外角〓内对角
  • 正多边形的相关知识
    • 中心
      • 外切圆或内切圆的圆心
    • 半径
      • 外接圆半径
    • 边心距
      • 内切圆半径
    • 对称性
      • 轴对称：n为奇数
      • 轴对称，中心对称：n为偶数
• 位置关系
  • 三角形与圆
    • 内切圆
      • 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆
      • 内心：
        • 定义：
          • 三角形三个内角的 ⑯角平分线的交点)
        • 性质
          • 三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
      • 半径：R＝2s/三边之和
      • 切线长：切线＝ab+ac-bc/2
      • 画法
        • 作三角形任意两角的平分线,其交点即为圆心O,过点O作任一边的垂线段作为半径,作☉O即可
    • 外接圆
      • 经过三角形的三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆
      • 外心〓外接圆圆心
        • 外心：三角形三条边的 ⑮ 垂直平分线 的交点
        • 锐角三角形：外心在三角形内
        • 直角三角形：外心是斜边中点
        • 钝角三角形：外心在三角形外
        • 性质
          • 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
      • 画法
        • 作三角形任意两边的垂直平分线,其交点即为圆心O,以圆心O到任一顶点的距离为半径作☉O即可
  • 直线与圆
    • 相交
      • d与r的大小关系
        • 条件：d＜r
      • 比例线段
      • 交点个数
        • 2个
    • 相切
      • d与r的大小关系
        • 条件：d＝r
      • 切线
        • 判定方法
          • (1)和圆只有⑩一个 公共点的直线是圆的切线
          • (2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑪ ,那么这条直线是圆的切线
          • 定理：(3)经过半径的外端并且⑫垂直于 这条半径的直线是圆的切线
          • 证圆的切线的技巧:
            • (1)有公共点,连半径,证垂直;
            • (2)无公共点,作垂直,证半径
        • 性质
          • 圆的切线⑦垂直于 过切点的半径
          • 推论
            • (1)经过圆心且垂直于切线的直线必过⑧ 切点
            • (2)经过切点且垂直于切线的直线必过⑨ 圆心
        • 切线长
          • 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长
          • 切线长定理
            • 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长⑬相等,这一点和圆心的连线⑭平分 两条切线的夹角
            • 如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,AB交PO于点C,则有如下结论:
            • (1)PA=PB; (2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP
      • 交点个数
        • 一个
      • 弦切角
        • 定理：弦切角〓所对圆周角
    • 相离
      • d与r的大小关系
        • 条件d＞r
      • 交点个数
        • 0
  • 圆与圆
    • 外离
      • 外切
        • 相交
          • 内切
            • 内含
  • 点与圆
    • 如果圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么
    • 点在圆内d＜r
      • 点在圆上d＝r
        • 点在圆外d＞r