导图社区 03数与代数:数的运算思维导图
小学数学总复习运用知识,数与代数:数的运算思维导图,包含分数的运算、小数的运算、整数的运算等,希望对你有所帮助!
编辑于2023-11-03 11:08:57数与代数:数的运算(总图)
整数的运算
整数的加法
加法的意义
把两个数合并成一个数的运算,叫作加法。
加数、和:相加的两个数叫作加数,加得的数叫和。
加法竖式的运算规则
多位数加多位数时,相同数位对齐,从个位加起,哪一位上得数相加满十,就像前进一位。
加法的运算定律
加法交换律
两个数相加,交换加数的位置,和不变。a+b=b+a
加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加,或先把后面两个数相加,和不变。 (a+b)+c=a+(b+c)
应用
适当使用加法交换律和结合律,可以降低计算难度。
和的变化规律
和变化
如果一个加数增加(或减少)一个数,另一个加数不变,那么它们的和也增加(或减少)同一个数。a+b=c ,a+m+b=c+m, a-m+b=c-m ,(a+m)+(b-n)=c+m-n,
和不变
如果一个加数增加(或减少)一个数,另一个加数也减少(或增加)同一个数,那么它们的和不变。(a+m)+(b-m)=c
整数的减法
减法的意义
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数
减法竖式的运算法则
多位数减多位数时,要把被减数与减数的相同数位对齐,再从个位开始减,被减数哪一位上的数不够减时,要从前一位退一当十,和本位上的数加在一起再减,这叫退位,也叫错位。
减法验算:可以用加法验算和用减法验算。
减法的运算性质
连减
一个数连续减去两个数等于这个数减去这两个数的和。a-b-c=a-(b+c)
减两个数的差
一个数减去两个数的差,等于这个数先减去差里的被减数,然后加上减数。a-(b-c)=a-b+c
去括号的要求
去掉括号时,如果括号外面的是减号,那么括号内的符合要变号;如果括号外面是加号那么括号内的符号不变。
差的变化规律
差变化
如果被减数增加(或减少)一个数,减数不变,那么它们的差也增加(或减少)同一个数。若a-b=c 则 (a±m)-b=c ±m
如果被减数和减数不变,减数增加(或减少)一个数,那么它们的差就减少(或增加)同一个数。
差不变
如果被减数和减数同时增加(或减少)同一个数,它们的差不变 。
加法和减法的关系
关系
减法是加法的逆运算
加、减法各部分之间的关系
加数+加数=和,和 -加数=另一个加数。
被减数-减数=差, 被减数-差=减数,差+减数=被减数
利用上述几个关系式,可以进行加、减法的验算。
整数的乘法
整数乘法的意义
意义
求几个相同加数的和的简便运算,叫作乘法。
表达式
因数×因数=积 a ×b =c
整数乘法竖式运算规则
规律
末尾对齐,从个位乘起,用因数每一位上的数乘另一个因数;用因数哪一位上的数去乘,所得的积的末位就与那一位对齐,最后把几次相乘的积加起来。
验算
积÷其中一个因数=另一个因数;运用乘法交换律,交换两个因数的位置再算一遍。
乘法的运算定律
乘法交换律
两个数相乘,交换两个数的位置,积不变。a×b=b×a
注意:乘法交换律适用只含有乘法运算的式子。
乘法结合律
三个数相乘,先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变。(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律
定律
两个数的和与一个数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相加,所得结果不变。(a+b)×c=a×c+b×c 。该定律不仅可以正向运用,还可以逆向运用。
应用
用运算规律可以简化计算。运用结合律和交换律的原则是使得因数相乘得到整十、整百、整千的数。
积的变化规律
积变化
一个因数不变,另一个因数乘(或除以)一个不为0的数,它们的积也乘(或除以)这个数。a ×b=c, a÷m×b=c÷m , a×m×b=c×m (m≠0)
积不变
一个因数乘(或除以)一个不为0的数,另一个因数除以(或乘以)这个数,它们的积不变。a ×b=c, a×m×(b÷m)=c (m≠0)
整数的除法
整数除法的意义
意义
已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算,叫除法。除法是乘法的逆运算。
注意事项
0除以任何一个不为0的数,商都是0,即0÷a=0 a≠0
除和除以要分清。例如:9÷3可以读成9除以3,也可读成3除9 。
有余数的除法
有余数的除法
被除数÷除数=商.......余数 如 :14÷5=2.....4
在有余数的整数除法里,余数一定要比除数小。最大的余数比除数小1 。
各部分间的关系
被除数=商×除数+余数 ;除数=(被除数-余数)÷商
常用“被除数=商×除数+余数”来验算带有余数的除法算式。
整数除法的运算法则和运算性质
除法竖式的运算法则
从被除数的最高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位,如果前几位比除数小,那么就多取一位再除,除到哪一位,商就写在那一位的上面。
如果被除数的哪一位商不够1,那么就在那一位上写“0”占位。
每次除得得余数必须比除数小。
试商的方法
当除数接近整十、整百数时,通常把除数看作整十、整百的数来试商。
把被除数和除数一起看作正十数、整百数或几十数几百数来试商。
除法的运算性质
一个数连续除以两个数,等于这个数除以这两个数的积。a÷b÷c=a÷(b×c) b≠0,c ≠0.
商的变化规律
商不变
在除法里,被除数和除数同时(或除以)一个相同的数(0除外),商不变。(a×c)÷(b×c)=a÷b (c≠0);(a÷c)÷(b÷)=a÷b (c≠0)
在有余数的除法里,如果被除数和除数同时(或除以)一个相同的数(0除外),商不变,但它们的余数要乘(或除以)这个数。
商变化
如果被除数乘(或除以)一个不为0的数,除数不变,那么它们的商也要乘(或除以)一个相同的数。a÷b=c ,( a×n)÷b=c×n ; (a÷n)÷b=c÷n (n≠0)
如果被除数不变,除数乘(或除以)一个不为0的数,除数不变,那么它们的商反而要除以(或乘)一个相同的数。a÷b=c , a÷(b×n)=c÷n ; a÷(b÷n)=c×n (n≠0)
乘法和除法的关系
关系
除法是乘法的逆运算。
表达式
因数×因数=积, 因数=积÷因数,被除数÷除数=商,被除数÷商=除数, 被除数=商×除数。
乘、除法的验算
乘法的验算
用乘法交换律进行验算
用除法进行验算
除法的验算
用乘法验算
用除法验算:交换除数与商的位置。
有余数的除法验算:被除数=除数×商+余数。
整数的四则运算
定义
四则运算
加法、减法、乘法、除法统称为四则运算。
四则混合运算
在一个算式里,含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上的运算的称为四则 混合运算。
一、二级运算
在四则混合运算中,加法、减法被称为第一级运算,乘法和除法被称为第二级运算。
运算顺序
算式无括号
只有加、减法或只有乘、除法:按从左往右的顺序计算。
既有乘、除法,又有加减法:先乘、除法,再加减法。
算式有括号
只有小括号:先算小括号里面的,再算小括号外面的。
有小括号和中括号:先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的 。
小数的运算
小数的加法和减法
意义
小数加法、减法的意义与整数加、减法的意义相同。
运算法则
先把各数的小数点对齐(也就是把相同数位上的数对齐),再按照整数加、减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点的位置点上小数点。得数的小数部分末尾有0的,一般要把0去掉。
当被减数的数位不够时,需在它的末尾补0.
巧记:一对齐,二计算,三点点,四化简。
小数的乘法和除法
小数的乘法运算规则
计算小数乘法时,先按整数乘法的运算法则算出积,再看因数中小数一共有几位,就从积的最右边起向左依次数出几位,点上小数点。当积的小数位数不够时,要在前面补0占位。当积的末尾有0时,点上小数点后,可以把小数部分末尾的0去掉。
小数的除法运算规则
除数是整数的小数除法:按照整数除法的运算法则计算,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末位仍然有余数,那么就在被除数的末尾后面添0继续计算。
除数是小数的小数除法,先移动除数的小数点使它变成整数。根据商不变的规律,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也要向右移动几位,位数不够时在被除数的末尾用0补足,然后按除数是整数的小数除法进行计算。
举例
小数的四则运算
与整数相同
当算式中出现分数与小数时,可以根据具体情况,把分数化为小数或把小数化为分数,方便计算。
分数的运算
分数的加法和减法
意义
与整数加、减法的意义相同
运算法则
同分母分数
同分母分数相加、减,分母不变,分子相加、减
异分母分数
异分母分数相加、减,先通分化成分母分数,再按照同分母分数加、减法的法则进行运算。
通分时找到两个分母的最小公倍数作为两个分母的公分母。
结果化简
得数通常要化成最简分数。
分数的乘法
意义
分数乘整数
与整数的乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的简便计算。
一个数乘分数
就是求这个数的几分之几是多少。
运算法则
分数乘整数
用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。能约分的最好在相乘前就约分化简 。
例如:
分数乘分数
用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母,能约分的先约分,然后再计算。
例如
分数乘小数
先将分数化为小数,或将小数化为分数,再用小数乘分数,或分数乘分数。能约分的先要约分再计算。
例如:
倒数
意义
乘积是1的两个数互为倒数。ab=1,a与b互为倒数。
0没有倒数。
单独的一个数不能称为倒数。倒数是相互依存的两个数。
求倒数
找真分数、假分数的倒数
交换分子分母的位置即可。
找整数的倒数
先将整数看作分母为1的假分数,再交换分子分母的位置。
找带分数的倒数
先将带分数化成假分数,再交换分子分母位置。
找小数的倒数
先将小数转化成分数,再交换分子分母的位置。
分数的除法
意义
分数除以整数
已知一个数的几倍是多少,求这个数。
一个数除以分数
已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
运算法则
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
分数的四则运算
与整数运算相同
整数的加法和乘法的运算定律和整数和、差、积、商的变化规律对于分数同样适应。分数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算完全相同。
乐享其中
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