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人教版初中数学
干货分享！人教版初中数学目录整理与知识点大纲来啦！下图内容完整，结构清晰，涵盖了全等三角形、轴对称、勾股定理、实数、有理数、一元一次方程等内容。赶快收藏学起来吧！
编辑于2021-04-03 15:40:56
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初中数学
七年级上
有理数
正数和负数
引入正负概念
例：收支、温度、增减
符号：+、-
归纳：出现相反意义的量，可用正负数表示
注意：0是正数与负数分界，0的意义已不仅是“没有”
有理数
定义
有理数
整数和分数统称为有理数
整数
正整数、0、负整数统称为整数
分数
正分数、负分数统称为分数
注：小数可看作分数
数轴
定义
用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴
要求
任取一点表示0，此为原点
通常右/上为正方向，左/下为负方向
选取适当的长度为单位长度
作用
以它为基础，可借图形表示许多数学问题
数形结合
相反数
定义
只有符号不同的两个数
表达
a和-a互为相反数
注：0的相反数是0
注：a可以为正数、负数、0
绝对值
定义
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值
注：a可正、可负、可为0
表达
|a|
推论
正数的绝对值是它本身
a＞0，|a|＝a
负数的绝对值是它的相反数
a＜0，|a|＝-a
0的绝对值是0
a＝0，|a|=0
比较有理数大小
规定
数轴上，左边的数小于右边的数
结论
正数大于0，0大于负数，正数大于负数
两个负数，绝对值大的反而小
有理数的加减法
有理数的加法
加法法则
同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
异号相加，且绝对值不相等，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0
一个数同0相加，仍得这个数
运算律
交换律
两个数相加，交换家数的位置，和不变
a+b=b+a
结合律
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
（a+b）+c=a+（b+c）
有理数的减法
减法法则
减去一个数等于加上这个数的相反数
a-b=a+（-b）
加减混合运算
引入相反数，加减混合运算可统一为加法运算
有理数的乘除法
有理数的乘法
乘法法则
引导归纳
例：3×3，3×2，3×1...
结论
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
多数相乘，负因数的个数是偶数，积为正数；负因数的个数是偶数时，积是正数
任何数与0相乘，都得0
几个数相乘，其中有因数为0，那么积等于0
互为倒数
定义
乘积是1的两个数
求相反数
求一个数的相反数，将它乘-1
运算律
交换律
两个数相乘，交换因数位置，积相等
ab=ba
结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等
（ab）c=a（bc）
分配律
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
a（b+c）=ab+ac
有理数的除法
除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
推论
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
分数可理解为分子除以分母
乘除混合运算
引入倒数，乘除混合运算可统一为乘法运算
有理数的乘方
定义
求n个相同因数的积的运算叫乘方
乘方的结果叫幂
中，a叫底数，n叫指数
指数1通常省略不写
运算法则
正数的任何次幂数都是正数
0的任何正整次幂数都是0
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
科学计数法
近似数
按要求求近似数
有理数运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减
同级运算，从左到右进行
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
整式的加减
整式
引入
用字母表示数字，参与运算，可简明表示数量关系
用字母表示数后，同一个式子可以赋予不同含义
概念
单项式
表示为数字或字母的积这样的式子
注：单独的一个数或字母也是单项式
系数
单项式中的数字因数叫该单项式的系数
次数
单项式中，所有字母的指数的和
多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数
多项式
几个单项式的和叫做多项式
项
每个单项式叫做多项式的项
不含字母的项叫常数项
单项式和多项式统称为整式
整式的加减
同类项
概念
多项式中，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
注：常数项也是同类项
合并同类项
概念
把多项式中的同类项合并成一项
方法
分配率
交换律
结合律
规则
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变
去括号
括号外的因数为正数，去括号后括号内各项的符号与原来的符号相同
括号外的因数为负数，去括号后括号内各项的符号与原来的符号相反
运算法则
有括号先去括号，然后再合并同类项
注：多项式求值，先化简再求值更好
一元一次方程
从算式到方程
方程
概念
设字母表示未知数，再根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式
一元一次方程
概念
只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程
方程的解
概念
使方程左右两边相等的未知数的值
等式的性质
等式两边加/减同一个数/式子，结果相等
等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果相等
作用
解方程时转化的重要依据
解一元一次方程
步骤
去括号
去分母
移项
合并同类项
依据
等式的基本性质、运算律
实际问题与一元一次方程
步骤
设、列、解、检、答
注：用方程解决实际问题，不仅要注意解方程的过程，还要注意方程的解是否符合问题的实际意义
几何图形初步
几何图形
立体图形与平面图形
立体图形
各部分不在同一个平面内
平面图形
各部分在同一个平面内
展开图
部分立体图形可展开为平面图形，这样的平面图形称为对应立体图形的展开图
点、线、面、体
体
几何体
面
平面
曲面
线
面与面相交的地方
点
线和线相交的地方
关系
点动成线、线动成面。面动成体
直线、射线、线段
直线
基本事实
经过两点有且只有一条直线
两点确定一条直线
相交
规定
两条不同直线有一个公共交点时，称两条直线相交
两条相交直线的公共点称为交点
射线
一个端点
线段
两个端点
中点
把一条线段分成相等两份的点
基本事实
两点的所有连线中，线段最短
两点之间，线段最短
两点的距离
定义
连接两点间的线段的长度
尺规作图
角
单位
度、分、秒
60进制
注意计算类问题
测量工具
经纬仪
三角尺、量角器
角的比较与运算
重叠法
角平分线
把角分成相等的两个角的射线
余角与补角
余角
定义
两角之和为90°，则两角互为余角
性质
同角（等角）的余角相等
补角
定义
两角之和为180°，则两角互为补角
性质
同角（等角）的补角相等
设计制作长方体包装盒（课题学习）
八年级上
三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
组成
边
顶点
内角
表达
分类
依据
是否有边相等
类别
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形
组成
腰、底边、顶角、底角
与三角形有关的线段
三角形的边
结论
三角形两边的和大于第三边
三角形两边的差小于第三边
证明
两点之间，线段最短
三角形的高、中线与角平分线
高
定义
从一个顶点向对边所在直线画垂线，垂线段为该对边上的高
中线
定义
一个顶点与对边中点的连线叫做该对边的中线
应用
中线的交点为重心
角平分线
平分三角形内角的线段叫对应角的角平分线
三角形的稳定性
三角形具有稳定性
与三角形有关的角
内角
定理
三角形内角和为180°
推论
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
证明
平行线性质
外角
定义
将三角形一边延长，临边与延长线组成的角叫三角形的外角
定理
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
多边形及其内角和
多边形
定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
多边形按照组成它的线段的条数分成三角形、四边形....n边形
内角
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角
外角
多边形的边与它的临边的延长线组成的角叫多边形的外角
对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
全等三角形
全等形
定义
能够完全重合的两个图形叫做全等形
特点
平移、翻转、旋转前后的图形全等
全等三角形
定义
能够完全重合的两个三角形
组成
对应顶点
对应边
对应角
表达
性质
对应边相等，对应角相等
全等三角形的判定
判定定理
SSS
三边分别相等的两个三角形全等
判定
画图
SAS
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
判定
画图
ASA
两角和它们的夹边相等的两个三角形全等
判定
画图
AAS
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
判定
ASA
HL
斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等
判定
ASA或AAS
角的平分线的性质
性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
轴对称
轴对称
定义
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形
该直线就是它的对称轴
图形关于直线对称
定义
一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称
该直线叫对称轴
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
证明
全等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
证明
直角三角形全等
线段垂直平分线的尺规作图
画轴对称图形
前提
几何图形都可以看做由点组成
部分图形
过程
画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点
连接这些对称点，就可得到原图形的对称点
平面直角坐标系中的轴对称
规律
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）
等腰三角形
性质
等腰三角形的两个底角相等
等边对等角
证明
三角形全等
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
三线合一
证明
三角形全等
结论
等腰三角形是轴对称图形，底边上中线所在直线就是它的对称轴
判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
等角对等边
证明
三角形全等
等边三角形
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形
结论
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
证明
轴对称
三角形中，大边对大角，大角对大边
证明
轴对称
课题学习-最短路径问题
饮水问题
证明
轴对称
造桥选址问题
证明
平移
归纳
最短路径问题，通常利用轴对称、平移等变化进行转化
整式的乘法与因式分解
整式的乘法
性质
同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
运算律
单项式×单项式
把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
（示例）
单项式×多项式
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
（示例）
多项式×多项式
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（示例）
整式的除法
运算法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减
特殊
任何不等于0的数的0次幂都等于1
运算律
单项式÷单项式
把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
（示例）
多项式÷单项式
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
（示例）
乘法公式
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
添括号法则
括号前面是正号，扩到括号里的各项都不变符号
括号前面是负号，扩到括号里的各项都改变符号
因式分解
定义
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
方法
提公因式法
如果多项式各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与领一个因式的乘积的形式
公式法
平方差公式逆应用
完全平方公式逆应用
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
分式
分式
定义
如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（B≠0）叫做分式
A叫做分子，B叫做分母
分式是不同于整式的另一类式子
字母可表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性
基本性质
分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
（C≠0）
约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式
通分
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的公式
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母
分式的运算
分式的乘除
乘法法则
分式乘分式，用分子的积做为积的分子，分母的积作为积的分母
除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
乘方法则
分式乘方，要把分子分母分别乘方
乘除混合运算可以统一为乘法运算
分式的加减
同分母公式
分母不变，把分子相加减
异分母公式
先通分，变为同分母的公式，再加减
整数指数幂
正整数指数幂运算性质
负整数指数幂
分式方程
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程
解法
将分式方程通过“去分母”化为整式方程
检验
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
注意方程解的实际意义
九年级上
一元二次方程
一元二次方程
定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的方程，叫做一元二次方程
根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做根
一般形式
ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项
解一元二次方程
配方法
定义
将方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法
一般形式
p＞0时，该方程有两个不等的实数根
p=0时，该方程有两个相等的实数根
p＞0时，该方程无实数根
公式法
判别式
表达
a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项
符号
求根公式
b²-4ac＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根
b²-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根
b²-4ac＜0时，一元二次方程无实数根
定义
解一个一元二次方程，把各系数直接带入求根公式，直接得出根的方法
因式分解法
定义
先将方程因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式的方法
局限
只能用于特定一元二次方程
根与系数的关系
实际问题与一元二次方程
注意方程的解的现实意义
二次函数
二次函数的图像与性质
二次函数
表达
元素
x是自变量
a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项
二次函数图像与性质
图像
抛物线
轴对称图形
一般
开口方向
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
开口大小
a的绝对值越小，开口越大
a的绝对值越大，开口越小
增减性
对称轴一侧逐渐增大，一侧逐渐减小
特殊
y=ax²
对称轴
y轴
顶点
原点（0，0）
y=a（x-h）²+k
对称轴
x=h
顶点
（h，k）
y=ax²+bx+c
对称轴
顶点
求解析式
由已知条件列出关于a，b，c的方程组
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程联系密切
函数图像与x轴交点与对应方程的解
函数图像与xx轴有两个公共点=对应方程有两个不等的实数根
函数图像与xx轴有一个公共点=对应方程有两个相等的实数根
函数图像与xx轴没有公共点=对应方程无实数根
实际问题与二次函数
注意一元二次方程的解的实际意义
旋转
图形的旋转
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度
元素
旋转中心
旋转角
对应点
性质
对应点到旋转中心的距离相等
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
旋转前后的图形全等
找旋转中心
对应点所连线段垂直平分线的交点
中心对称
定义
把某一图形绕着某一点旋转180°，如果能与另一个图形结合，那么就说两个图形关于该点对称，或中心对称
元素
对称中心
绕其旋转的点
对称点
旋转后能重合的点
性质
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
中心对称的两个图形是全等图形
中心对称图形
定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形
代表
线段、平行四边形
作用
中心对称图形通常匀称美观
中心对称图形的物体，能够在所在平面绕对称中心平稳地旋转
关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称，坐标符号相反
点A（x，y）关于原点的对称点的坐标为B（-x，-y）
课题学习——图案设计
圆
圆的有关性质
基础概念
圆
定义
在一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆
固定端点叫做圆心
该线段叫做半径
表达
（圆O）
结论
圆上各点到顶点（圆心）的距离都等于定长（半径）
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
特殊
能够重合的两个圆叫做等圆
半径相等的两个圆是等圆=等圆的半径相等
弦
定义
连接圆上任意两点的线段
特殊
经过圆心的弦叫做直径
弧
定义
圆上任意间两点的部分叫圆弧，简称弧
表达
（弧AB），一般指代劣弧
（弧ABC），一般指代优弧
特殊
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成相等的两条弧，每一条弧都叫做半圆
在等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧
圆的性质
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
证明
等腰三角形的性质
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的两条弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
弧、弦、圆心角
圆心角
定义
顶点在圆心的角叫做圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
证明
旋转
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相同，所对的弦相等
证明
等边三角形
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相同，所对的优弧、劣弧也相等
证明
等边三角形
圆周角
定义
顶点在圆上，且两边都与圆相交，这样的角叫圆周角
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明
对折
同弧所对的圆周角相等
半圆（直径）所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接多边形
定义
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形
这个圆叫做这个多边形的外接圆
性质
圆内接多边形的对角互补
点和圆、直线和圆的位置关系
反证法
点和圆
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
不在同一直线上的三个点确定一个圆
证明
垂直平分线
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫三角形的外接圆
直线和圆
位置关系
相交
直线和圆有两个公共点
该直线叫做圆的割线
相切
直线和圆只有一个公共点
该点叫做切点
相离
直线和圆没有公共点
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证明
切线定义
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径
证明
反证法
切线长定理
从圆外一点可以引两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
证明
全等三角形
外心
定义
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心
内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
正多边形和圆
基础概念
中心
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径
中心角
正多边形性每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角
边心距
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
应用
画正多边形
弧长和扇形面积
弧长公式
（R为半径，n为圆心角度数）
扇形
定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形
面积公式
（R为半径，n为圆心角度数）
（l为扇形的弧长，R为半径）
圆锥
侧面展开图为扇形
元素
母线
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段
面积公式
（r为底面半径，l为圆锥母线）
侧面积公式
（r为底面半径，l为圆锥母线）
概率初步
随机事件与概率
确定性事件
必然事件
必然会发生的事件
不可能事件
必然不会发生的事件
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
一般来说，随机事件发生的可能性有大小
大概率事件
小概率事件
概率
定义
对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率
表达
计算
在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含m种结果
时，事件为必然事件
时，事件为不可能事件
用列举法求概率
注意列举的全面性
用频率估计概率
通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率去估计它的概率
特点
不能准确计算出概率
不受各种结果出现的可能性相等的条件限制，适用范围变大
九年级下
反比例函数
反比例函数
反比例函数
表达
x是自变量，y是函数，且x能取到不为0的一切实数
反比例函数的图像和性质
图像
双曲线
结论
k＞0时
函数图像位于第一、第三象限
在每一象限内，y随x的增大而减小
k＜0时
函数图像位于第二、第四象限
在每一象限内，y随x的增大而增大
实际问题与反比例函数
相似
图形的相似
相似图形
定义
形状相同的图
相似多边形
定义
两个多边形的角相等，，边成比例，这两个多边形叫做相似多边形
相似比
定义
相似多边形对应边的比
相似三角形
判定
定义法
两个三角形对应内角相等，对应边成固定比例
平行线性质法
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形相似
边角判定
三边成比例的两个三角形相似
证明
选取平行线，证明相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
证明
同上
两角分别相等的三角形相似
证明
同上
符号
性质
相似三角形的对应线段的比等于相似比
相似三角形的面积比等于相似比的平方
生活示例
影子
位似
定义
两个图形各点相对应，并且各对应点连线都经过同一点，公共点到对应点线段长度比例相等，则两个图形为位似图形
位似中心
对应点连线所交的公共点
特点
位似图形相似且位置关系特殊
坐标系中的位似
前提
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画位似图形
相似比
k
结论
原图上的点（x，y）对应的位似图形上的点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
锐角三角函数
锐角三角函数
正弦
定义
一个锐角对边与斜边的比
表达
sinA
特殊值
余弦
定义
一个锐角临边与斜边的比
表达
cosA
特殊值
正切
定义
一个锐角对边与临边的比
表达
tanA
特殊值
解直角三角形及其应用
定义
由直角三角形中的已知元素，求出其余位置元素的过程
应用
一般过程
实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
根据条件，选择合适的锐角三角函数解解直角三角形
得到数学问题的答案
得到实际问题的答案
投影与视图
投影
定义
用光线照射某个物体，在某一平面上得到的 影子叫做物体的投影
照射光线叫做投影线
投影所在的平面叫做投影面
类别
平行投影
由平行光线形成的投影叫平行投影
中心投影
由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影
正投影
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影
当物体的某个平面平行于投影面时，该面的正投影与该面形状、大小完全相同
三视图
视图定义
从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形
角度不同，视图可能不同
三视图定义
主视图
在正面内得到的由前向后观察物体的视图
俯视图
在水平面内得到的由上而下观察物体的视图
左视图
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图
三视图关联
主视图、俯视图可表示同一个物体的长
主视图、左视图可表示同一个物体的高
左视图、俯视图可表示同一个物体的宽
注意事项
三视图位置要正确
主视图在左上边
俯视图在左下方
左视图在主视图右边
主视图与俯视图的长对正
主视图与左视图的高平齐
左视图与俯视图的宽相等
课题学习——制作立体模型
八年级下
二次根式
二次根式
定义
一般的，我们把形如的式子叫做二次根式
称为二次根号
当a＞0时，表示a的算术平方根；a＝0时，表示0的算术平方根
定理
基本运算包括：加、减、乘、除、开方和乘方
把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式
二次根式的乘除
乘法法则
除法法则
最简二次根式
被开方数不含字母
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
要求
二次根式运算，一般要化简到最简二次根式，并且分母中不含二次根式
二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
海伦-秦九韶公式（拓展）
求三角形面积
勾股定理
勾股定理
直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和
表达
证明
赵爽弦图
勾股定理的逆定理
斜边的平方等于两直角边的平方和的三角形是直角三角形
证明
三角形全等
应用
判断直角三角形的依据
常见勾股数
3，4，5
6，8，10
5，12，13
15，20，25
两个命题的题设和结论相反，这两个命题叫互逆命题
其中一个叫原命题，另一个叫做它的逆命题
一个定理的逆命题也正确，那么它也是一个定理
平行四边形
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
表达
性质
平行四边形的对边、对角相等
证明
三角形全等
两条平行线段之间的任何两条平行线断都相等
如果两条直线平行那么一条直线上的任意一点到另一条直线的，距离都相等
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离
平行四边形的对角线互相平分
证明
三角形全等
判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
证明
三角形全等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
证明
多边形内角和
对角线互相平分的四边形是平行四边形
证明
三角形全等
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半
证明
辅助线+平行四边形性质
特殊符号
平行且相等
特殊的平行四边形
矩形
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
性质
矩形的四个角是直角
矩形的对角线相等
推断
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴
判定
对角线相互垂直的平行四边形是菱形
证明
等腰三角形三线合一
有一组临边相等的四边形是菱形
四条边相等或的四边形是菱形
正方形
特殊性
正方形既是菱形又是矩形
具有两者的性质
一次函数
函数
变量与函数
定义
变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量
两个变量相互联系时，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应
函数
在一个变化过程中，如果两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那我们就说x是自变量，y是x的函数
如果当x=a，y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值
函数应用
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示
解析式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方式，这种式子叫做函数的解析式
函数的图像
定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像
数形结合
一次函数
正比例函数
一般的，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
图像
一般的，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，称他为直线y=kx
画法
两点法（两点确定一条直线）
变化趋势
k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升
随着x的增大，y也增大
k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降
随着x的增大y反而减小
一次函数
定义
一般地，形如y=Kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数
反比例函数是一种特殊的一次函数
图像
一般的，一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图像也是一条直线，称它为直线y=kx+b
画法
一次函数图像可由反比例函数图像平移得到
变化趋势
y＞0时，y随x的增大而增大
y＜0时，y随x的减小而增大
待定系数法
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式
一次函数与方程、不等式
方程（组）与函数之间相互联系，从函数的角度可以把它们统一在一起
一次函数与一元一次不等式
解一元一次不等式相当于在一次函数的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围
一次函数与一元一次方程
解一元一次方程相当于在某一个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
一次函数与二元一次方程组
数
解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少
形
解二元一次方程组，相当于确定两条相应直线的交点的坐标，可借用图像得到方程的解
课题学习-选择方案
解决含有多个变量的问题，可以分析变量间的关系，从中选取一个取值能影响其余变量的值的变量作为自变量，然后根据问题建立函数，作为解决问题的模型
数据的分析
数据的集中趋势
平均数
加权平均数
根据数据权重求出的平均数
权重可人为赋予，也可以是数据出现的次数
表达
组中值
数据分组后，小组两个端点的平均数
特点
需要用到所有数据，充分利用数据提供的信息，现实中较为常用
受极端值影响较大
中位数
数据按照大小排序
数据个数是奇数
中间位置的数为中位数
数据个数是偶数
中间两个数的平均数是中位数
特点
计算量较小且不易受极端值影响
众数
一组数据中出现次数最多的数据
一组数据中，某些数据重复出现时众数往往能引起关注，且不易受极端值影响
数据的波动程度
方差
定义
各数据与平均数的差的平方的平均数
表达
为该组数据的平均数
意义
方差越大，数据的波动程度越大
方差越小，数据的波动程度越小
标准差
定义
方差的算术平方根
极差
定义
一组数据中最大值与最小值的差
特点
反映数据波动的量中最简单最便于计算，能反映数据波动范围
受极端值影响较大
平均差
定义
一组数据中每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数
课题学习-体质健康测试中的数据分析
过程
收集数据
需要确定样本与确定抽取样本方法
整理数据
描述数据
方式
条形图、扇形图、折线图、直方图...
优势
直观、清晰
分析数据
主要分析数据集中趋势与波动程度
撰写调查报告
交流
七年级下
相交线与平行线
在同一平面内，不重合的两条直线要么相交，要么平行
相交线
对顶角
概念
两个角有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角
性质
对顶角相等
特殊情况
垂直
两条直线相互垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线
两条垂直相交直线的交点叫垂足
定理
如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
垂线段最短
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度
特殊角
同位角
内错角
同旁内角
平行线及其判定
平行
定义
同一平面内两条直线不相交的情况
表达
公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角相等，两直线平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
特殊情况
命题
真命题
题设成立，结论一定成立
假命题
题设成立，结论不一定成立
举出反例即可证明该命题为假命题
定理
一些命题的正确性经过推理证实，这样的真命题叫做定理
证明
一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明
证明过程需要有以往定义、定理等内容支撑，不可想当然
平移
结论
把一个图形整体沿一个方向移动，新的图形与原图形大小和形状完全相同
新图形中的每一点，都与原图形中的点对应，连接各组对应点的线段平行且相等
平移方向不限于水平方向
实数
平方根
算术平方根
定义
（x为正数），正数x叫做a的算术平方根
表达
（a的算术平方根）
a叫被开方数
定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根
表达
开平方
求一个数a的平方根的运算
结论
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根
特殊
0的平方根是0
负数没有平方根
立方根
定义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根
表达
开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方
结论
正数的立方根是正数
负数的立方根是负数
0的立方根是0
实数
无理数
定义
无限不循环小数
分类
正无理数
负无理数
有理数
分类
正有理数
0
负有理数
分类（按正负）
正实数
0
负实数
注：实数在数轴上与点一一对应，且大小、相反数、绝对值的意义与有理数相同
注：实数运算与有理数运算的法则与性质相同
平面直角坐标系
平面直角坐标系
有序数对
引入
电影院座位/班级座位
定义
有顺序的两个数a,b组成的数对
定义
在平面内画两条线相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系
水平的数轴称为x轴或横轴，取右为正方向
竖直的数轴称为y轴或纵轴，取上为正方向
两坐标轴的原点为平面直角坐标系的原点
建立平面直角坐标系后，坐标平面被分为4个象限（坐标轴上的点不属于任何象限）
作用
可用有序数对表示平面内一点
坐标方法的简单应用
表示地理位置
选取适当的参照点为原点，确定x、y轴的正方向，建立坐标系
根据问题确定单位长度
在坐标平面内画出该点，并写出各点的坐标和各地的名称
表示平移
横坐标都加上/减去一个正数a，对应的点就向右（左）平移a个单位长度
纵坐标都加上/减去一个正数a，对应的点就向上（下）平移a个单位长度
二元一次方程组
二元一次方程组
二元一次方程
定义
含有两个未知数的方程，且每个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
二元一次方程的解
使二元一次方程组两边的值相等的两个未知数的值
定义
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫二元一次方程组
二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的公共解
消元——解二元一次方程组
消元思想
将未知数由多化少，逐一解决的思想
代入（消元）法
将一个未知数用含另一个未知数的式子表达出来，再代入另一个方程，实现消元
变形，代入，消元，解x，解y，检查
加减（消元）法
二元一次方程组中两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，可把两个方程的两边分别相加或相减，就能消去一个未知数，得到一个一元一次方程
同系，加减，消元，解x，解y，检查
实际问题与二元一次方程组
步骤
设、列、解、检、答
注：用方程解决实际问题，不仅要注意解方程的过程，还要注意方程的解是否符合问题的实际意义
三元一次方程组的解法
核心
消元
不等式与不等式组
不等式
定义
用符号＞或＜表示大小关系的式子
用≠表示不等关系的式子
不等式的解
使不等式成立的未知数的值
解集
一个含有未知数的不等式的所有的解
可用数轴表示（注意空心/实心区别）
解不等式
求不等式解集的过程
性质
一元一次不等式
定义
含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式
解法
同一元一次方程解法
解决实际问题时注意实际意义
一元一次不等式组
定义
把两个一元一次不等式组合起来，可组成一元一次不等式组
解集
解为两个不等式解集的公共部分
可结合数轴
数据的收集、整理与描述
统计调查
方式
全面调查
考察全体对象
抽样调查
调查方式
选取部分调查对象，再推测全体
概念
总体
要调查的全体对象
个体
组成总体的每一部分
样本
被抽取调查的部分个体
评价
优势
花费少、省时省力、可适用于不适合全面抽样的情况
不足
容易因随机性/样本容量问题导致调查结果偏离总体情况
简单随机抽样
抽样过程中，总体中每一个体被抽到的机会相等
数据处理
表格
统计图
条形图
扇形图
直方图
制作方法
计算极差
决定组距、组数
每个小组的两个端点之间的距离称为组距
决定组距要结合问题实际或要求
100以内的数据，一般分5-12组
列频数分布表
画频数分布直方图
表达方式
用长方形面积表示频数
用长方形高表示频数
常用
课题学习-从数据谈节水
思想方法
化归
解方程/不等式
消元
数形结合
数轴
坐标系
三角
圆
实际问题
舍尾/进一与四舍五入
实际意义
分类讨论
章节目录
七年级
七年级上
有理数
整式的加减
一元一次方程
几何图形初步
七年级下
相交线与平行线
实数
平面直角坐标系
二元一次方程组
不等式与不等式组
数据的收集、整理与描述
八年级
八年级上
三角形
全等三角形
轴对称
整式的乘法与因式分解
分式
八年级下
二次根式
勾股定理
平行四边形
一次函数
数据的分析
九年级
九年级上
一元二次方程
二次函数
旋转
圆
概率初步
九年级下
反比例函数
相似
锐角三角函数
投影与视图
知识模块
代数
数
有理数
实数
式
整式的加减
整式的乘法与因式分解
分式
二次根式
几何
几何图形初步
线
相交线与平行线
面
三角
三角形
全等三角形
勾股定理
锐角三角函数
平行四边形
圆
图形变化
旋转
相似
轴对称
体
投影与视图
方程
一元一次方程
一元二次方程
二元一次方程组
不等式与不等式组
函数
平面直角坐标系
一次函数
二次函数
反比例函数
统计
数据的收集、整理与描述
数据的分析
概率初步