信号与系统：卷积积分及其性质

卷积是分析数学中一种重要的运算。任何信号都可以表示成信号本身和单位冲激信号的卷积，展开就是卷积积分的形式，不同的信号都可以分解成相同的形式，那么这个过程就简化了分析。

卷积积分及其性质

• 卷积积分的基本思想
  • 将信号分解为单位冲激信号或单位阶跃信号的线性组合，借助系统的冲激响应或阶跃响应，利用LTI系统的线性与时不变性质，求取连续时间LTI系统对任意信号的零状态响应
• 连续时间LTI系统的卷积积分表示
  • • 一个连续时间LTI系统完全由它的单位冲激响应来表征
• 卷积积分的求解与计算
  • 图解法
    • 1.自变量变换
      • 首先将自变量t改写为τ，x(t)与h(t)变为x(τ);其次，h(τ)反转为h(-τ);然后h(-τ)时移为h(t-τ)。
    • 2.相乘
      • x(τ)与h(t-τ)相乘
    • 3.积分
      • x(τ)h(t-τ)积分，其中τ是积分变量，积分范围是-∞到+∞，t是参变量
  • 解析法
    • 1.积分限的确定
      • 若某段区间x(τ)与h(t-τ)两个函数之一为零，则积分值必然为零，此期间无须积分。
    • 2.积分有效范围的确定
      • 积分上线必须大于下限
• 卷积积分的性质
  • 卷积积分的代数性质
    • 交换律
      • • 输入为x(t)，单位冲激响应为h(t)的LTI系统的输出等同于输入为h(t)单位冲激响应为x(t)的LTI系统的输出
    • 分配率
      • • LTI系统的并联可以用一个单一的LTI系统来替代，而该系统的单位冲击响应等于并联中各个子系统单位冲激响应之和。
    • 结合律
      • • LTI系统的级联可以用一个单一的LTI系统来替代，而该系统的单位冲激响应等于级联中各个子系统单位冲激响应的卷积，级联顺序可以互换是LTI系统特有的。
  • 时移性质
    • • 两个LTI系统级联后总的时移量等效为两个LTI系统各自时移量之和。
  • 与冲激函数的卷积
    • • 一个函数与单位冲激信号的卷积结果依然为函数本身，一个函数经过时移的单位冲激信号卷积结果相当于对函数进行了时移。
  • 微分与积分性质
    • 两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积
    • 两个函数卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积
  • 卷积积分的宽度
    • 若x1(t)与x2(t)的持续时间有限为T1,T2。则x1(t)*x2(t)的持续时间为T1+T2
  • 指数信号ₑst通过LTI系统的响应
    • • 给定s时，对于ₑst，LTI系统的输入与输出是相同的（仅差一个常数）