线性代数矩阵、向量、行列式、线性方程组知识点笔记

线性代数矩阵、向量、行列式、线性方程组知识点笔记。矩阵对角化：矩阵对角化：对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使，则称矩阵A与对角阵相似（矩阵A对角化）。

线性代数矩阵、向量、行列式、线性方程组知识点笔记

• 矩阵
  • 定义
    • 由m´n个数aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 排成的m行n列的数表  
    • 同型矩阵
      • 行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵。
    • 相等矩阵
      • 
  • 特殊矩阵
    • 行矩阵
      • 
    • 列矩阵
      • 
    • 零矩阵
      • 元素全是零的矩阵叫做零矩阵，简记为Om´n
    • 方阵
      • 行数和列数相等的矩阵，称为方阵。
      • 上(下)三角形矩阵
        • 
      • 对角(线)矩阵
        • 
        • 数量矩阵
          • 
        • 单位矩阵
          • 
      • 对称矩阵
      • 反对称矩阵
  • 矩阵运算
    • 基本运算
      • 加减法
        • 定义
          • 
        • 注意事项
          • 只有同型矩阵才能相加减
        • 运算法则
          • A+B=B+A
          • (A+B)+C=A+(B+C)
          • A+O=O+A=A
        • 负矩阵
          • A+(-A)=(-A)+A=O
      • 数乘
        • 定义
          • 
        • 运算法则
          • (λμ)A=λ(μA)
          • λ(A+B)=λA+λB
          • (λ+μ)A=λA+μB
      • 乘法
        • 定义
          • 
        • 注意事项
          • 相乘前提：左矩阵的列数应与右矩阵的的行数相等
          • 乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列数与右矩阵相同。
          • 不满足消去律
            • 当AB=AC时，不能消去矩阵A
          • 不满足交换律
            • AB有意义，BA不一定有意义
            • AB与BA有意义时，两者可能不同型
            • AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等
          • 满足交换律时（AB=BA）
            • A、B为同阶方阵
          • AB=O时
            • 可能其一为零矩阵
            • 可能都不是零矩阵
        • 运算法则
          • (AB)C=A(BC)
          • λ(AB)=(λA)B
          • A(B+C)=AB+AC
          • EA=AE=A
        • 线性方程组的矩阵表示
          • 线性方程组的一般形式为   系数矩阵 未知数列矩阵 常数列矩阵 则记为 
        • 方阵的幂
          • 定义
            • 
          • 条件
            • 矩阵必须为方阵
      • 转置
        • 定义
          • 
        • 运算法则
          • 
    • 分块矩阵
      • 定义
        • 
      • 特殊的分块方法
        • 列分块
          • 
        • 行分块
          • 
      • 运算法则
        • 加减法
          • 
        • 数乘
          • 
        • 乘法
          • 
        • 转置
          • 
      • 应用
        • 矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进行实质上的矩阵运算。
        • 在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。
      • 分块(准)对角矩阵
        • 定义
          • 
        • 定理
          • 
    • 逆矩阵
      • 定义
        • 
      • 定理
        • 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的
          • 
        • 若|A|≠0，则A可逆，且
      • 性质
        • 逆矩阵的唯一存在性
        • 如果矩阵A可逆，则AB=I等价于BA=I。反之亦然
          • 
        • 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。
        • • 
      • 方阵可逆的三个充要条件
        • 1.存在一个n阶矩阵B，使AB=BA=E
        • 2.存在可逆矩阵P，使PA=E，即
        • 3.|A|≠0
      • 求逆矩阵方法
        • 1.矩阵的初等变换（行变换或列变换）
        • 2.利用行列式及伴随矩阵
    • 伴随阵
      • 定义:行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵
      • 排列规则
      • 应用
    • 共轭矩阵
      • 条件:A为复矩阵
      • 运算规律
    • 矩阵方程
      • 描述
        • 
      • 求解
        • AX=B→
        • XA=B→
        • AXB=C→
  • 初等变换与初等矩阵
    • 初等变换
      • 引入：方程组的增广矩阵
        • 
      • 三种初等变换
        • 初等行(Row)变换
          • 交换i,j两行
          • 第i行乘数k
          • 第i行乘k后加到第j行
        • 初等列(Column)变换
          • 交换i,j两列
          • 第i列乘数k
          • 第i列乘k后加到第j列
      • 运用初等行变换解方程组
    • 初等矩阵
      • 定义
        • 
      • 三种类型
        • • 
        • • 
        • • 
      • 性质
        • 初等矩阵可逆,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵
        • 矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。
      • 定理
        • 有限个初等矩阵的乘积必可逆
        • 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵E，即可逆矩阵A与单位矩阵E等价.
        • A为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Pl，使A=P1P2...Pl
          • 
      • 运用初等矩阵求解逆矩阵
        • 原理
          • 
        • 初等行变换和初等列变换不能 混用
  • 矩阵的秩(Rank)
    • 定义
      • 1.由初等变换给出的定义
        • 给定一个m×n矩阵A，标准形  由数r完全确定。这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数，也就是矩阵A的秩
      • 2.矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记为R(A)
        • 子式
          • 定义:在m×n矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，不改变它们在A中所处的位置次序而得到k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式
        • 0≤R(A)≤min{m,n}
    • 性质
      • 1.可逆矩阵≡满秩矩阵 不可逆矩阵≡降秩矩阵
        • 对n阶方阵, 如果|A|≠0，则称A为满秩矩阵; 否则，称A为降秩矩阵.
        • 1)当矩阵A的秩等于它的列(行)数，这样的矩阵称为列(行)满秩矩阵
      • 2.零矩阵的秩为0
      • 3.如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式都为0，则矩阵A的秩等于r.
      • 4.矩阵的转置、初等变换不改变秩
        • 1)对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
        • 2)若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)
      • 5.max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
      • 6.R(A+B)≤R(A)+R(B)
      • 7.R(AB)≤min{R(A),R(B)}
      • 8.若Am×nBn×l=O,则R(A)+R(B)≤n
    • 求解矩阵的秩
      • 1.定义法:求矩阵的子式的行列式
      • 2.用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵求解
  • 方阵的特征值与特征向量
    • 定义：设A是n阶方阵，如果数λ与n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立 那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应特征值λ的特征向量
    • 特征方程与特征多项式
      • 特征方程
      • 特征多项式：|A-λE|是λ的n次多项式，记作f(λ)，称为矩阵A的特征多项式。
      • 性质
        • 1.A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数。
        • 2.n阶矩阵A在复数范围内有n个特征解
    • 性质与命题
      • 1.非零向量λ是n阶方阵A的特征向量≡向量Ax与向量x共线 ≡(A-λE)x=0≡|A-λE|=0
      • 2.如果x1,x2是方阵A的对应于特征值λ的特征向量， 则k1x1+k2x2也是方阵A的对应于特征值λ的特征向量。
        • 其中，
      • 3.矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
      • 4.如果n阶方阵A的全部特征值为λ1,λ2,...,λn，则 (1)λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann (2)λ1λ2...λn=|A|
      • 5.0是方阵A的特征值的充要条件是|A|=0
      • 6.矩阵A与它的转置矩阵有相同的特征值
      • 7.如果矩阵A的特征值为λ，则 (1)kA的特征值为kλ (2)A^k的特征值为λ^k (3)A的可逆矩阵的特征值为1/λ
      • 8.重要定理
        • 
      • 9.设x1,x2,...,xn是矩阵A对应的不同特征值的特征向量，则x1,x2,...,xn线性无关
    • 求解特征值与特征向量
      • 一般步骤
        • S1.求矩阵A的特征方程|A-λE|=0
        • S2.求特征方程的根，即特征值λ
        • S3.对每个特征值λ解方程组(A-λE)x=0
          • 用解齐次线性方程组解出所有非零解
      • 已知矩阵A的特征值，求 转置矩阵、逆矩阵、矩阵表达式的特征值
  • 矩阵对角化
    • 相似矩阵
      • 定义：设A和B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P使得， 则称A相似于B（A和B相似 ）。
      • 性质
        • 1.基本性质
          • 1)反身性：A相似于A。
          • 2)对称性：A相似于B，则B相似于A。
          • 3)传递性
        • 2.若n阶矩阵A与B相似，则 ①R(A)=R(B) ②|A|=|B| ③tr(A)=tr(B)（迹相等） ④|A-λE|=|B-λE|（特征多项式、特征值相等）
        • 3.(推论)如果n阶方阵A相似于对角形矩阵Λ 则λ1,λ2,...,λn是A的全部特征值
          • 推广：如果n阶方阵A相似于三角形矩阵B 则λ1,λ2,...,λn是A的全部特征值
        • 4.设f(λ)是矩阵A的特征多项式，则f(A)=O（用A与对角矩阵相似来证明）
    • 矩阵对角化：对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使 ，则称矩阵A与对角阵相似（矩阵A对角化）。
    • 定理
      • 1.矩阵A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
        • 1)推论：如果n阶方阵A有n个不同的特征值，则方阵A相似于对角矩阵。
        • 2)当A的特征方程有重根时，不一定有n个线性无关的特征值，从而不一定能对角化
        • 3)对于矩阵A有重根时，如果能对角化，则对每一个ni重特征值λi，对应ni个线性无关的特征向量（ni个基础解系）
    • 求解矩阵对角化
      • S1：解特征方程得λ1,λ2,...,λr
      • S2：求出n个线性无关的特征向量
        • 1.当r=n时
        • 2.当r<n时
      • S3：将n个特征向量按行排列成矩阵P，则有
    • 利用对角化求矩阵的乘幂
      • S1：求解出与矩阵A相似的对角阵Λ
      • S2：利用公式
  • 相似矩阵及二次型
    • 向量的内积
      • 定义式
        •  
        • 公式1
      • 向量的模 定义式
        • 公式2
        • 1.如果||a||=1,称a为单位向量
        • 2.将a方向的单位向量记作
      • 向量夹角 定义式
        •  
        • 公式3
      • 向量间的距离 表达式
        • 公式4
      • 性质
        • 1.运算率
          • ①[x,y]=[y,x]
          • ②[λx,y]=[x,λy]=λ[x,y]
          • ③[x+y,z]=[x,z]+[y,z]
        • 2.非负性：当x≠0，||a||>0;当x=0，||x||=0
        • 3.齐次性：||λa||=|λ|·||a||
        • 4.施瓦兹不等式
        • 5.三角不等式
    • 正交向量组
      • 正交向量的定义：
        • 
      • 正交向量组的定义：如果n维向量组α1,α2,...,αs中的向量两两相交就称为正交向量组，简称正交组
      • 标准正交向量组的定义：如果一个正交向量组全部由单位向量组成，就称其为标准正交向量组，简称标准正交组。
        • 
      • 正交矩阵的定义：
      • 正交变换的定义：若P是正交矩阵，则称线性变换Y=PX为正交变换
      • 性质
        • 1.零向量与任意同维向量都正交
        • 2.如果n维向量组α1,α2,...,αs是正交向量组，且不含零向量,则α1,α2,...,αs线性无关
          • 
        • 3.
          • 
        • 4.正交矩阵A是可逆的，且
        • 5.如果矩阵A是正交矩阵，则
        • 6.如果矩阵A是正交矩阵，则其逆矩阵(转置矩阵)、A的m次幂也是正交矩阵
        • 7.如果矩阵A,B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵
        • 8.矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量是标准正交向量组
        • 9.正交变换不改变向量的内积，因而不改变向量的长度、夹角及距离。
      • 施密特正交化
        • 
      • 判断矩阵是否为正交矩阵：利用性质8，判断A的列(行)向量是否构成标准正交组
    • 对称矩阵
      •  
      • 定义：若方阵A与其转置矩阵相等，则称矩阵A是对称矩阵
      • 基本性质
        • 1.对于任何方形矩阵X，X+X^T是对称矩阵
        • 2.对角矩阵都是对称矩阵
        • 3.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换
        • 4.矩阵A是对称的，则有
        • 5.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数）, 则可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和
        • 6.每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积； 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积
        • 7.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
        • 8.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零
        • 9.如果X是对称矩阵，那么 也是对称矩阵
      • 实对称矩阵的对角化：设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得P'AP=Λ， 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向量。
      • 性质
        • 1.实对称矩阵的特征值必为实数。
        • 2.实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
        • 3.设A是n阶对称矩阵，λ是A的特征方程的r重根，则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。
      • 用正交变换把对称矩阵对角化
        • S1.求矩阵A的特征值
        • S2.求特征向量
        • S3.将特征向量正交化、单位化
          • 注意：只需对重根所对应的特征向量进行施密特正交化。
        • S4.构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵
    • 二次型
      • 引入
        • 考虑平面中二次曲线的方程 其左端的函数 满足 这样的函数称为二次齐次函数
      • 定义
        • 
      • 二次型的矩阵及其秩
        • 矩阵形式
        • 矩阵与二次型的关系
        • 二次型的秩：即对应对称矩阵的秩
      • 二次型的标准形
        • 定义：如果二次型f(x)=x'Ax经过可逆线性变换x=Py 变成y的二次型(1),则称此二次型为原来二次型的标准形
        • 性质：经过可逆线性变换后，二次型的秩不变
      • 二次型化标准形
        • 法一：配方法
          • S1:含有平方项时:将平方项与交叉项依次配方
          • S2:不含平方项时:先做一次变换(可逆的)，得到平方项
        • 法二：将对称矩阵正交变换(对角化)
          • S1:将矩阵正交化：
            • S1:求特征根
            • S2:求单位特征向量
            • S3:得到标准形
          • S2:对应相应二次型f=x'Ax作正交变换x=Py得
          • 例题
            •  
      • 合同矩阵
        • 定义：设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得B=C'AC，则称矩阵A与B是合同的，称矩阵C为合同变换矩阵
        • 性质：实对称矩阵一定与对角形矩阵合同
      • 惯性定律
        • 描述：对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标)
        • 1.惯性指标=非零特征值的个数=R(A) 负惯性指标=正特征值的个数;负惯性指标=负特征值的个数
        • 2.正项的个数称为正惯性指标;负项的个数称为负惯性指标
      • 二次型的规范形
        • 定义：以1或-1为系数的标准形称为二次型的规范形
        • 性质：二次型的规范形是唯一的
      • 正定二次型
        • 定义：设有二次型f(x)=x'Tx，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然f(0)=0)， 则称f为正定二次型，称对称阵A为正定的
        • 其他定义：半正定、负定、半负定、不定类似
        • 定理 (性质)
          • 1.实二次型为正定二次型的充分必要条件是二次型的标准形的n个系数都为正 即它的规范性n个系数都为1，亦即正惯性指数为n
          • 推论1.对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正
          • 推论2.存在可逆矩阵P，使得A=P'P
          • 2.(hurwitz定理)判定A正定的充要条件
            • ①二次型为正定的充要条件是各阶主子式都为正
            • ②二次型为负定的充要条件是奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正
        • 判别正定二次型的方法
          • 法一：将二次型化为标准形
          • 法二：求出二次型矩阵的特征值
          • 法三：计算二次型矩阵的顺序主子式
      • 定理.对于任意可逆矩阵C，令B=C'AC,如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B)
• 行列式
  • 二阶、三阶行列式
    • 计算:对角线法则
  • n阶行列式
    • 引入概念:排列与逆序数
      • 排列
        • 定义：由自然数1,2,...,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列
        • 奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列
      • 逆序数
        • 定义：在一个n阶排列j1j2...jn中，若两个数的位置与大小顺序相反，称这一对数构成一个逆序。该排列中逆序数总数称为逆序数，记为τ(j1,j2...jn)
        • 计算方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
          • 
    • 定义
      • 
      • n阶行列式共由n!项组成
      • 要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积
      • 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定
      • n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广
  • 展开定理
    • 余子式与代数余子式
      • 
    • 描述：n行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
    • 公式
  • 性质
    • 1.行列式转置后，其值不变
      • 证明： 记的转置行列式  即的(i,j)元为，则，按定义   故 证毕
    • 2.互换行列式的两行(列)，行列式变号
      • 2.1如果行列式D有两行(列)相同，则D=0
    • 3.行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
      • 3.1行列式中如果有一行(列)元素全为零，则此行列式为零
      • 3.2行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零
    • 4.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
    • 5.如果行列式的某一行(列)的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和
    • 6.把行列式的某一行(列)的元素都乘以同一个数后，加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变
    • 7.乘法定理:设A,B为n阶方阵，则有|AB|=|A||B|
      • 推广到m个n阶方阵
  • 运算规律
  • 计算
    • 1.用定义求解
    • 2.用行列式展开定理
    • 3.利用行列式的性质再结合展开定理
  • 特殊行列式
    • 范德蒙(Vandermonde)行列式
• 向量
  • 定义
    •   实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。
    • 同维向量:分量个数相等的向量称为同维向量。
    • 相等向量:如果向量α与β是同维向量，而且对应的分量相等，则称向量α与β相等。
    • 零向量:分量都是0的向量称为零向量，记作O。
    • 负向量:称向量(-a1,-a2,...,-an)为向量(a1,a2,...,an)的负向量，记作-α
    • 向量组:如果n个向量是同维向量，则称为向量组α1,α2,...,αn
  • 向量的线性运算
    • 加减法
    • 数乘
  • 向量的运算规律
    • 
  • 向量间的线性表示
    • 
    • 规律:向量α可由向量组线性表示的充要条件是对应线性方程组有解
      • 
    • 向量组的线性相关性
      • 
      • 1.含有零向量的向量组是线性相关的;单个非零向量是线性无关的。
      • 2.向量组线性相关的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解 向量组线性无关的充要条件是对应齐次线性方程组只有零解
        • 
        • 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例
      • 3.n维向量空间的单位坐标向量组
        •   
      • 4.定理
        •   
      • 5.m×n矩阵A的m个行向量线性相关性的充要条件是R(A)<m
        • 1)任意m(m>n)个n维向量线性相关(向量个数大于维数,必线性相关)
        • 2)m个n维向量线性无关的充要条件是m×n矩阵的秩为m(m≤n)
        • 3)n个n维向量线性无关（相关）的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0)
    • 求解(证明)向量组的线性相关性
      • 1.定义法:解x1,x2,...,xn
      • 2.求解由行向量组组成的矩阵的秩:若R(A)<m,则m个行向量线性相关
    • 向量组间的线性表示：设向量组β1,β2,...,βs可以由向量组α1,α2,...,αr线性表示，如果s>r，则β1,β2,...,βs线性相关
    • 向量组的等价
      • 
      • 1.两个等价的向量组的秩相等
      • 2.等价具有传递性
  • 向量组的秩
    • 定义
      • 
      • 最大无关组
        • 
    • 性质
      • 1.矩阵的秩等于它的行(列)向量组的秩
    • 求解向量组的秩(最大无关组) (最大无关组并不唯一)
      • 1.将行(列)向量组排列成矩阵并进行初等列(行)变换成最简(梯形)矩阵
        • 行初等变换不改变列向量组的相关性； 列初等变换不改变行向量组的相关性
• 线性方程组
  • 满足克拉默法则 的线性方程组
    • 含n个未知数的n个线性方程组
      • 
    • 克拉默法则
      • 定理
        • 1.如果线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组一定有解且唯一
        • 1'.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0
        • 2.如果齐次(右端常数项全为零)线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组没有非零解
        • 2'.如果齐次(右端常数项全为零)线性方程组有非零解，则系数行列式D=0
      • 判断
        • 齐次→方程组有零解
        • D≠0→方程组有唯一解
  • 齐次线性方程组
    • 
    • 定理
      • 1.当其系数矩阵的R(A)=n时，只有唯一的零解； 当R(A)<n时，有无穷多个解
        • 设R(A)=r,则在A中存在一个不为0的r阶子式D，在方程组中系数包含D的r个方程便是方程组的同解方程组。   
        • 1.当m≥n，r=n时，方程组有唯一零解
        • 2.当m≤n，r<n时，方程组有无穷多解
        • 3.当m<n时，方程组有无穷多解
        • 解向量：将齐次线性方程组的一个解构成的n维列向量称为一个解向量
        • 解空间：全部解构成的集合称为解集合,也称为解空间
      • 2.齐次线性方程组如果其系数矩阵的秩为r,则其基础解系含且仅含有n-r个线性无关的向量。
    • 定义
      • 基础解系
        • 定义：设α1,α2,...,αr是方程组的r个解向量，如果 （1）α1,α2,...,αr线性无关； （2）方程组任意一个解向量都可以由α1,α2,...,αr线性表示； 则称α1,α2,...,αr是方程组的一个基础解系
        • 1.基础解系不是唯一的，但是，每个基础解系所含向量的个数相同
      • 通解定义：设R(A)=r<n,a1,a2,...,an-r是齐次方程组的一个基础解系，则α=k1a1+k2a2+...+kn-ran-r称为齐次线性方程组的通解
    • 性质
      • 1.若α、β都是齐次线性方程组的解向量，k为常数，则α+β，kα也是齐次线性方程组的解向量
        • 
      • 2.齐次线性方程组的全部解向量构成的向量组有最大无关组
      • 3.设α1,α2,...,αr是方程组的解集合的一个极大无关组，则α1,α2,...,αr任意线性组合都是方程组的解向量； 反之，方程组的任意解向量都可以表示成α1,α2,...,αr的线性组合
    • 求解齐次线性方程组
      • 1.利用初等行变换求解线性方程组： 先把系数矩阵A变换为它的行最简型矩阵，然后再解线性方程组
    • 总结
      • 
  • 非齐次线性方程组
    •  系数矩阵  增广矩阵 
    • 定理
      • 1.线性方程组AX=b有解的充分必要条件是： 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即
        • 
        • 1.方程组有唯一解
        • 2.方程组有无穷多解
        • 3.方程组无解
    • 解的结构
      • 如果η是非齐次线性方程组的特解，ζ1,ζ2,...,ζn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系， 则非齐次线性方程组的通解可表示为X=η+k1ζ1+k2ζ2+kn-rζn-r
        • 
    • 求解非齐次线性方程组
      • S1.如果满足克拉默法则： 用克拉默法则求解[唯一解]
      • S2.列出增广矩阵A： 进行行初等变换成梯形矩阵，求解[无解/无穷多解]
    • 总结
      •