三角函数及生活应用

三角函数是什么？三角函数能干什么？一起来学习数学入门常识吧！下图内容包括三角函数定义、正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系等内容，值得一看！

三角函数 及生活应用 青核桃，v2.0 [e-mail]

• 角的度量
  • 转换规则：1rad = (180/π)° ≈ 57.3°
  • 弧度：rad
  • 角度：°
• 同角三角 函数关系
  • 平方和关系
    • (sinα)^2 +(cosα)^2=1
  • 积的关系
    • tanα = sinα × secα
    • sinα = tanα × cosα
    • cosα = cotα × sinα
  • 倒数关系
    • tanα × cotα = 1
    • sinα × cscα = 1
    • cosα × secα = 1
  • 商的关系
    • sinα / cosα = tanα = secα / cscα
  • 诱导公式
    • 将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
    • 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶， “变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立） “符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
      • sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）
      • sin（π+α）= －sinα
      • sin（－α）=－sinα
      • sin（π－α）= sinα
      • sin（2π-α）=－sinα
      • sin（π/2+α）=cosα
      • sin（3π/2+α）=－cosα
  • 倍角公式
    • sin2α = 2sinαcosα
    • cos2α = (cosα)^2 - (sinα)^2
    • sin3α = 3sinα - 4(sinα)^3
    • cos3α = 4(cosα)^3 - 3cosα
• 傅里叶变换与三角函数
  • 篇幅限制，不细述
• 典型应用举例
  • 光学投影测物体高度
  • 测地球半径
  • 飞行姿态
• 余弦定理
• 正弦定理 The Law of Sines
  • 在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有
• 和角/差角公式
  • sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ
  • cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα
  • tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )
• 三角函数定义 用角α来描述定义
  • 正弦：sin(α)=a/c
  • 余弦：cos(α)=b/c
  • 正切：tan(α)=a/b
  • 余切：cot(α)=b/a
  • 正割：sec(α)=c/b
  • 余割：csc(α)=c/a
• 已知三边求面积
  • 公式
  • 名称
    • 海伦公式 Heron's formula
      • 《测量仪器》和《度量数》中给出证明
    • 秦九韶公式
      • 中国宋代的数学家秦九韶在1247年提出“三斜求积术”
  • 应用
    • 测量土地的面积
• 力学的三角函数应用
• 车辆爬坡能力
  • 爬坡度角定义
    • 指车辆满载时在良好路面上用一挡所能克服的最大坡度角
  • 坡度
    • 定义
      • 以坡度起止点的高度差与其水平距离的比值（正切值）的百分数来表示
    • 度量
      • 百分比范围： 0 ~ 100
    • 公路应用
      • 普通公路最大坡度为10%
      • 高速公路最大坡度为5%
      • 标准要求： 新规范我国城市道路最大纵坡是8％，公路是9％， 重庆出了个地方标准极限值是12％
  • 物理学解释：重力沿斜面及法线方向分解，摩擦力主要克服重力分解影响
• 地球半径测量
• 飞行姿态
• 测塔高
• 示例三角形
• 弧度定义