八年级 初中数学 第一章节

学生党/初二/数学/章节思维导图

三角形的证明

• 等腰三角形
  • 定义：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角边等边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
  • 全等三角形的对应边相等、对应角相等。
  • 性质：
    • a. 腰相等（全等三角形对应边相等、对应角相等）
    • b.等边对等角（等腰三角形的两底角相等）：在△ABC中 因为AB＝AC 所以角C＝角B
    • c.三线合一：在△ABC中 因为AB＝AC，AB平分角BAC 所以AD垂直于DC，BD＝CD
    • d. 轴对称
  • 等腰三角形中的相等线段
  • 判定
    • a.定义
    • 等角对等边
  • 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
• 等边三角形
  • 定义
  • 性质
    • a. 三边相等，三角相等（60'）
    • b. 三线合一
    • c. 轴对称（三条）
  • 等边三角形中的线段相等
  • 判定
    • 定义
    • 等边三角形中的三个内角相等，并且每个角都等于60'
    • 有一个角等于60'的等腰三角形是等边三角形
• 反证法
  • 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
• 直角三角形
  • 定义
  • 性质
    • 直角三角形的两个锐角互余.（有两个互余的三角形是直角三角形）
    • 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 （如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.）P15
    • 在直角三角形中，如果一个锐角等于30'，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（斜边中线定理）
  • 判定
    • 定义
    • 直角三角形的两个锐角互余（有两个互余的三角形是直角三角形）
    • 勾股定理（逆定理）P15
  • 互逆定理、互逆命题
    • 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
    • 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
  • 两直角三角形全等的判定
    • SSS.ASA.AAS.SAS.HL（特殊）
    • 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
• 角平分线
  • 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
    • 几何语言：因为OC平分角ACB 点P在OC上PE垂直OA与点E PF垂直于OB于点F 所以PE＝PF（图P29）
  • 判定（逆定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
    • 几何语言：因为PE垂直OA于点E PF垂直OB于点F 且PE＝PF 所以OP平分角AOB（图P29）
  • 选址问题（P32）
• 线段的垂直平分线
  • 性质
    • 几何语言：因为CD垂直于AB 点P在CD上 所以PA＝PB
  • 判定（逆定理）
    • 几何语言：因为CA＝CB 所以点C在AB的垂直平分线上
  • 结论P24 例2
    • 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
    • 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
  • 尺规作图P25