必修一第一章函数及其表示

高中数学知识框架分享！下图梳理了高中数学必修一第一章函数及其表示的内容，涵盖了函数与映射的概念、函数的表达方法和函数的基本性质三大类要点。本图适用于高中数学第一轮复习，可参考书本自行修改或补充。

函数

• 函数与映射的概念
  • 函数
    • 两集合A,B
    • 对应关系f:A→B
      • f使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f(x)
    • 记法
      • y＝f(x),x∈A
  • 映射
    • f（对应关系）：A（原象）→B（象）
      • 对应f从集合A到集合B的一个映射 （映射三要素）
    • 性质
      • 确定性：映射三要素中的集合A，B与对应关系f是确定的
      • 非空性：集合AB必须是非空的
        • A,B是两个非空集合
      • 方向性：f：A→B与f：B→A是不同的
      • 集合A中的每一个元素在集合B中都有象，并且是唯一的
      • 集合A中的不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个
      • 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象
    • 一 一映射
      • 既是单射又是满射叫双射也叫一一映射
• 函数的有关概念 与表达方法
  • 三要素
    • 定义域
      • 能使函数式有意义的实数x的集合
      • 限制
        • 分母不为0
        • 0的0次方无意义 （a⁰＝a的n-n次方 ＝a的n次方/a的n次方）
        • 偶次根号的被开方数不小于0（根号≥0）
        • 对数函数x＝logaN的N必须大于0
        • 指数函数和对数函数的底数a＞0且≠1
        • 实际应用问题的限制
    • 值域
      • 由f对x在定义域内取值时相应的函数值的集合
      • 函数值的集合{f(x)|x∈A},所以值域C={f(x)|x∈A}
    • 对应法则（对应关系）
      • 自变量x可通过方法f（所谓对应法则）“变成”了因变量y。
  • 相等函数
    • 若两个函数的定义域与对应关系完全一致，则相等
  • 反函数
    • 只有一个对应的映射才能求出反函数
    • 求反函数的步骤
      • ①解关于x的方程y＝f（x），得到x＝f的-1次方（y）
      • ②把第一步得到的式子的x，y对换位置，得到y＝f的-1次方（x）
      • ③求出并说明反函数的定义域（即函数y＝f（x）的值域）
  • 区间
    • 设a，b两个实数，而且a＜b
    • x≥a[a,+∞) x＞a(a,+∞)
    • x≤b(-∞,b] x＜b(-∞,b)
    • 实数集R可以用区间表示（+∞，-∞）
  • 函数的表示法
    • ①解析法
      • 数学表达式
        • 优点：①简明，全面地概括变量间的关系。 ②可以通过解析式求出任意一个自变量x的值所对应的函数值 缺点：不够形象直观具体，不是所有函数可以用解析式表达
    • ②图像法
      • 图像
        • 优点：能够直观形象的表示出函数变化的情况 缺点：近似的求出值，误差大
    • ③列表法
      • 列出表格
        • 优点：不需要计算可直接看出自变量x的值相对应的函数值y 缺点：只能表示自变量x取较少的有限值的对应关系
  • 分段函数
    • 该函数在定义域内对于不同取值区间有着不同的对应关系
    • 虽然有几部分，但还是一个函数
    • 各段函数不能有重叠的部分
• 基本性质
  • 单调性
    • 增函数
      • 随着x0增大，f(x)也增大
    • 减函数
      • 当x1<x2时都有f(x1)> f(x2)，那么就说f(x)在此区间上是减函数。此区间就叫做函数f(x)的单调减区间。
    • 单调性与单调区间
      • 函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。区间叫做y＝f(x)的单调区间
      • 证明
        • 定义法
          • ①任取X₁，X₂∈D，且X₁<X₂ ②作差f（X₁）-f（X₂） ③变形（通常是因式分解和配方） ④定号（即判断差f（X₁）-f（X₂）的正负） ⑤下结论（指出函数f（X）在定区间D上的单调性）
      • 判断单调性
        • 定义法：利用定义严格判断
        • 图像法：做出图像，数形结合确定
        • 直接法：用已知结论直接得出单调性
          • 一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接得到
    • 复合函数单调性
      • 决定因素
        • 依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定，同增异减
      • 步骤
        • 判断复合函数的单调性的步骤如下： ⑴求复合函数的定义域； ⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）； ⑶判断每个常见函数的单调性； ⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； ⑸求出复合函数的单调性。
  • 最值
    • 最大值
      • 函数内存在一点x0，对应值M，大于等于函数内所有值
    • 最小值
      • 函数内存在一点x0，对应值M，小于等于函数内所有值
  • 奇偶性
    • 定义
      • 奇函数
        • f(-x)=-f(x)
          • 图像关于原点对称
      • 偶函数
        • f(-x)=f(x)
          • 图像关于y轴对称
    • 性质
      • 两奇之和为奇
      • 两偶之和为偶
      • 两奇之积为偶
      • 两偶之积为偶
      • 一奇一偶之积为奇