导图社区 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用,结合汤家凤1800题,初稿待补充。
编辑于2020-07-18 20:09:45微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
一般在第二问,涉及可导性
罗尔定理
f(x)在 [a,b]上连续,在(a,b)内可导
看到这个条件就要想到用微分中值定理
f(a)=f(b)
题型一
结合其他定理使用,✒️关键找出几个函数值相同的点🖋。
题型二:待证结论中仅有一个中值
1、还原法
1、两项。2、导数差一阶。
2、分组构造法
适当分组后再使用还原法
3、凑微法:去分母,移项,整理成g(x)=0的形式,找出导数为g(x)的原函数,原函数即位辅助函数。
构造辅助函数
罗尔定理(中值定理)。
拉格朗日中值定理
题型三:结论中不仅有中值,还有a,b。
a,b与中值🉑️分离。
法一:将a,b与中值分离➡️关于a,b的式子使用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。
法二:将式子还原成一个原函数,使用罗尔定理。
a,b与中值不可分离。
采用凑微法,去分母,移项,整理成g(x)=0的形式,找出g(x)=0的原函数,原函数即为辅助函数,使用罗尔定理。
基础部分未讲。
若有前提条件f(x)∈c[a,b],在(a,b)内可导,当有1️⃣f(b)-f(a);2️⃣f(a)、f(b)、f(c);3️⃣有f(x)与f'(x)之间的关系式。(未必),使用拉格朗日中值定理。
柯西中值定理
题型四:待证结论中,含有两个或者两个以上的中值。
结论中只有f’(ξ),f’(η)。
找出三个点,两次使用拉格朗日中值定理。
结论中含有ξ,η,但是关于两者的复杂度不同。
留复杂中值
1、复杂中值项是某个函数的导数,使用拉格朗日中值定理。
2、两个函数的导数之商,用柯西中值定理。
再对简单的中值项使用拉格朗日中值定理证明不等式成立。
结论中含有ξ,η,且两者的复杂度相同。
对ξ,η分别构造一个辅助函数,然后两次使用拉格朗日中值定理。
泰勒公式
麦克劳林公式
求极限
泰勒中值定理
确定泰勒公式,使用介值定理或其他进行证明。
题中🈶f(a),f(b),f(c)或者f'(a),f'(b),f'(c)偏于用拉格朗日中值定理。若是有f(a),f'(c),f(b)则使用泰勒公式。
单调性
根据函数的一次导数的大小判断函数的单调增减。但是函数的增减不能推出函数的一次导数是否大于或者小于0️⃣
f '( x ) > 0,单挑递增。f '( x ) <0,单挑递减。 f '( x ) =0,称之为驻点。
题型1️⃣:二阶保号性的问题。
题型2️⃣:不等式证明。
找辅助函数例如:a>b,1️⃣则f(X)=a一b,证明其大小。2️⃣含有a,b两个字母时,令其中一个为x,求其单调性,判断与0的关系。
或者利用中值定理证明
题型3️⃣:函数的零点或者方程根的个数问题。
步骤1、求出f'(x)=0的点,及f(x)的不可导的点,求出f(x)的极值点与极值。
步骤2、求出f(x)两侧的变化趋势,从而求出f(x)的零点个数。
法二:1️⃣若有条件f(x)∈c[a,b],f(a)f(b)<0,使用零点定理。 2️⃣f(x)的原函数F(x),若F(a)=F(b),使用罗尔定理。
其他小问题
凹凸性
判别方法:f''(x)>0,f(x)为凹,反之为凸。f"(x)=0或者在该点不可二阶导,且左右的凹凸性不同,则其为拐点。
题型2️⃣:不等式的证明。
渐近线
水平渐近线
铅直渐近线
a一定为f(x)的间断点。
斜渐近线
曲率、曲率半径
极值与最值
步骤①:确定函数的定义区间。
步骤②:找出函数的一次驻点和不可导点。
步骤③:判别法
第一充分条件:所求点两侧函数的一阶导数与0的比较。
第二充分条件:函数在驻点处二阶可导,f''(x)>0,为极小值点,反之为极大值点。
泰勒公式判别法
题型2️⃣:不等式证明,利用最值。
零点定理与介值定理
一般在第一问不设计可导性(即无导数),只有连续性
零点定理
开区间
介值定理
闭区间
一般对于有几个函数值之和用介值定理