微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用，结合汤家凤1800题，初稿待补充。

微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • 一般在第二问，涉及可导性
  • 罗尔定理
    • f(x)在 [a,b]上连续，在（a,b)内可导
      • 看到这个条件就要想到用微分中值定理
    • f(a)=f(b)
    • • 题型一
        • 结合其他定理使用，✒️关键找出几个函数值相同的点🖋。
      • 题型二：待证结论中仅有一个中值
        • 1、还原法
          • • 1、两项。2、导数差一阶。
        • 2、分组构造法
          • 适当分组后再使用还原法
        • 3、凑微法：去分母，移项，整理成g(x)=0的形式，找出导数为g(x)的原函数，原函数即位辅助函数。
        • 构造辅助函数
          • 罗尔定理（中值定理）。
  • 拉格朗日中值定理
    • 题型三：结论中不仅有中值，还有a，b。
      • a，b与中值🉑️分离。
        • 法一：将a,b与中值分离➡️关于a，b的式子使用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。
        • 法二：将式子还原成一个原函数，使用罗尔定理。
      • a，b与中值不可分离。
        • 采用凑微法，去分母，移项，整理成g(x)=0的形式，找出g(x)=0的原函数，原函数即为辅助函数，使用罗尔定理。
          • 基础部分未讲。
      • 若有前提条件f(x)∈c[a,b]，在（a,b）内可导，当有1️⃣f(b)-f(a)；2️⃣f(a)、f(b)、f(c)；3️⃣有f(x)与f'(x)之间的关系式。（未必），使用拉格朗日中值定理。
  • 柯西中值定理
    • 题型四：待证结论中，含有两个或者两个以上的中值。
      • 结论中只有f’(ξ)，f’（η）。
        • 找出三个点，两次使用拉格朗日中值定理。
      • 结论中含有ξ，η，但是关于两者的复杂度不同。
        • 留复杂中值
          • 1、复杂中值项是某个函数的导数，使用拉格朗日中值定理。
          • 2、两个函数的导数之商，用柯西中值定理。
          • 再对简单的中值项使用拉格朗日中值定理证明不等式成立。
      • 结论中含有ξ，η，且两者的复杂度相同。
        • 对ξ，η分别构造一个辅助函数，然后两次使用拉格朗日中值定理。
• 泰勒公式
  • 麦克劳林公式
    • 求极限
  • 泰勒中值定理
    • • • 确定泰勒公式，使用介值定理或其他进行证明。
          • 题中🈶f(a),f(b),f(c)或者f'(a),f'(b),f'(c)偏于用拉格朗日中值定理。若是有f(a),f'(c),f(b)则使用泰勒公式。
• 单调性
  • 根据函数的一次导数的大小判断函数的单调增减。但是函数的增减不能推出函数的一次导数是否大于或者小于0️⃣
    • f '( x ) > 0，单挑递增。f '( x ) ＜0，单挑递减。 f '( x ) ＝0，称之为驻点。
    • 题型1️⃣：二阶保号性的问题。
    • 题型2️⃣：不等式证明。
      • 找辅助函数例如：a>b，1️⃣则f（X）=a一b，证明其大小。2️⃣含有a,b两个字母时，令其中一个为x，求其单调性，判断与0的关系。
      • 或者利用中值定理证明
    • 题型3️⃣：函数的零点或者方程根的个数问题。
      • 步骤1、求出f'(x)=0的点，及f(x)的不可导的点，求出f(x)的极值点与极值。
      • 步骤2、求出f(x)两侧的变化趋势，从而求出f(x)的零点个数。
      • 法二：1️⃣若有条件f(x)∈c[a,b]，f(a)f(b)＜0，使用零点定理。 2️⃣f(x)的原函数F(x),若F(a)=F(b),使用罗尔定理。
• 其他小问题
  • 凹凸性
    • 判别方法：f''(x)＞0，f(x)为凹，反之为凸。f"(x)＝0或者在该点不可二阶导，且左右的凹凸性不同，则其为拐点。
    • • 题型2️⃣：不等式的证明。
  • 渐近线
    • 水平渐近线
    • 铅直渐近线
      • • a一定为f(x)的间断点。
    • 斜渐近线
  • 曲率、曲率半径
• 极值与最值
  • 步骤①：确定函数的定义区间。
  • 步骤②：找出函数的一次驻点和不可导点。
  • 步骤③：判别法
    • 第一充分条件：所求点两侧函数的一阶导数与0的比较。
    • 第二充分条件：函数在驻点处二阶可导，f''(x)＞0，为极小值点，反之为极大值点。
    • 泰勒公式判别法
  • 题型2️⃣：不等式证明，利用最值。
• 零点定理与介值定理
  • 一般在第一问不设计可导性（即无导数），只有连续性
  • 零点定理
    • 开区间
  • 介值定理
    • 闭区间
    • 一般对于有几个函数值之和用介值定理