导图社区 高数
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高数
这篇是关于高数的思维导图。该导图介绍了函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数等内容，可供您参考学习。
编辑于2021-07-26 01:36:04- 浙江
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- 大纲
高等数学
1. 函数、极限和连续
初等数学与函数
初等数学
代数运算
乘法公式与因式分解
通分与约分
一元二次方程
指数
对数
数列
等差数列
等比数列
组合
三角函数公式
平面解析几何
函数
概念
函数x,y为两个变量（x∈D）,若对任意x∈D,总存在唯一确定y与x对应，称y为x的函数，记：y=f(x).
有4种特殊的函数
基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
反函数
定义
图像
求法（反函数定义域为原函数的值域）
四则运算
复合函数
初等函数
初等性质
奇偶性
有界性
单调性
周期性
极限
数列极限
定义
性质
唯一性
数列有极限必唯一
有界性
保号性
数列与子数列的关系
函数极限
定义
趋于有限值
定义
图像
趋于无限值
定义
图像
极限存在充要条件
左右极限存在且相等
性质
唯一性
局部有界性
局部保号性
保不等式性（自变量在同一趋势下）
函数极限与数列极限的关系
求极限方法
无穷小与无穷大
无穷小
定义
常规性质
无穷小的比较
=0 高阶无穷小
=无穷 低阶无穷小
=k 同阶无穷小
=1 等价无穷小
等价无穷小的性质
定理1
定理2
交换条件（相除）
“—”→1
“+”→-1
常见的等价无穷小
无穷小的阶
上是下的K阶无穷小
无穷小与无穷大的关系
互为倒数
极限的运算法则
四则运算
有
抓大头准则
复合函数
极限存在准则
破敛定理
单调有界数列必有界极限
数学归纳法
两个重要极限
求极限方法总结
直接带入
四则
化简
约分
通分
因式分解
有理化（根号）
消零因子
分离非零因子
带余除法
等价无穷小替换
变量代换
无穷小量×有界量=无穷小量
抓大头（→∞）
利用函数连续性（复合函数）
极限存在准则
破敛定理
单调有界数列必有界极限
两个重要极限
洛必达
对数恒等式求极限
利用定积分定义
连续
函数连续
定义
左连续与右连续
左右同时连续是函数连续的充要条件
f(x)在闭区间上连续
间断点分类
第一类（左右极限都存在）
第二类（左右极限至少有一个不存在）
连续的性质
基本初等函数
初等函数
闭区间上连续函数的性质
有界定理
最值定理
零点定理
介值定理
零点定理是介值定理的特殊情况
还有一个介值定理的推论
2. 一元函数微分学
导数与微分
导数
导数概念
导数的定义
定义与解释（导数即函数的变化率）
单侧导数定义
不可导的情况
左右导数至少有一个不存在
两个导数都存在，但不相等
某点导数存在充要条件
左右导数相等
函数闭区间可导
开区间可导+端点分别有左右导
函数的可导性与连续性的关系
可导必连续
连续不一定可导（例如y=|x|）
导数的几何意义（斜率）
切线
法线
基本求导法则与导数公式
基本初等函数的导数公式
求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则（四则求导）
反函数的求导法则（倒数）
复合函数求导法则
高阶导数
求高阶导的方法：
归纳法
公式法
常用公式
8种
高阶导运算法则
+-
乘k
莱布尼茨公式
求导方法
隐函数求导
参数方程求导法
对数求导法
适用于求幂指函数的导数以及多因子之积或商的函数求导
微分
定义
可导是可微的充分必要条件
微分法则
微分的几何意义
中值定理以及导数的应用
中值定理
费马定理（驻点）
罗尔定理
是拉格朗日中值定理中特殊的一种情况
定义
几何意义
拉格朗日中值定理
罗马定理的一般化，柯西中值定理的特殊情况
定义
几何意义
推论
柯西中值定理
拉格朗日中值定理的一般化
洛必达法则（0/0,无穷/无穷）
泰勒公式
多项式+余项
多项式
余项
拉格朗日余项
佩亚诺余项
导数的应用
函数单调性的判定法（一阶导）
函数极值（一阶导）
极值点的可能点
驻点
不可导点
注意
1.
驻点不一定是极值点
不可导点不一定是极值点
2.
f（x）在x=a取极值且可导，则a点一定是驻点
第一充分条件
第二充分条件
函数最值（一阶导）
最值可能点
极值
端点值
曲线凹凸性及拐点（二阶导）
渐近线
注意
并不是任何函数曲线都有渐近线
曲线也并不是只有一条渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
3. 一元函数积分学
原函数
注意
原函数是一个可导函数
原函数不唯一
任意两个原函数之间相差一个常数
连续的函数一定有原函数
有第一类间断点的函数无原函数
有第二类间断点的函数可能有原函数

定义
原函数存在定理
不定积分
定义（全体原函数F(x)+c）
积分曲线：函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线
不定积分的性质
相加减
非0常数可提到积分符号前
积分方法
基本积分表
如果f(x)可以化为和差形式，则先进行划分，再积分
划分的方法
裂项
因式分解
通分/约分
代数运算
根式有理化
添项减项
带余除法
三角函数常用二倍角公式
换元法
第一类（凑微分）
第二类（解决根式问题）
根号内只有x的一次方，令整个根号部分为t
出现x开多个根号时，令t为x开最小公倍数次方
根号内（二次根号）有常数a²与x²时，三角换元
开二次根号时，根号内有x与x²项时，则根号内凑完全平方公式，选择积分表或三角换元来求导
分部积分
有理函数积分法（数三不要求）
真分式
裂项
根据分母凑微分
分子为常数，分母完全平方，再利用积分表
假分式
带余除法
万能公式（三角函数积分）
降幂化一
令t=tanx/2
分段函数的不定积分
定积分
定积分概念与性质
定积分定义（曲边梯形的面积问题）
定积分的几何意义
利用定积分的定义求极限
可积条件
充分条件
连续→可积
有界，且只有有限个第一类间断点→可积
必要条件
可积→有界
性质
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、（定积分的可加性）如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
6、f(x)=1→积分为b-a
7、三个不等式性
保号性
保不等式性
估值性
绝对值性
8、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使
变限积分（积分上限函数及其导数）
考点：求导
定积分计算
基本方法
牛顿-莱布尼茨公式
积分方法
基本积分表
如果f(x)可以化为和差形式，则先进行划分，再积分
划分的方法
裂项
因式分解
通分
代数运算
根式有理化
添项减项
带余除法
三角函数常用二倍角公式
换元法
注意：
定积分中三角换元要注意考虑根号内的正负，不定积分中不用考虑
第一类（凑微分）
第二类（解决根式问题）
注意：
①定积分还原要换得彻底（积分上下限都要换）
②定积分换元直接计算结果既可
根号内只有x的一次方，令整个根号部分为t
出现x开多个根号时，令t为x开最小公倍数次方
根号内（二次根号）有常数a²与x²时，三角换元
开二次根号时，根号内有x与x²项时，则根号内凑完全平方公式，选择积分表或三角换元来求导
分段函数积分
绝对值
根号下平方
max
min
sgn
取整函数
分部积分
有理函数积分法
真分式
裂项
根据分母凑微分
分子为常数，分母完全平方，再利用积分表
假分式
带余除法
利用函数的奇偶性（偶倍奇零）
利用周期性
有一类证明题
法一：变量替换
法二：分部积分
反常积分（广义积分）
无穷积分
瑕积分
定积分应用
面积和旋转体体积
求面积
步骤
①画草图
②找范围（注：找到谁的范围，则对应谁的函数，对谁积分即d谁）
③套公式（大面积-小面积）
dx:上-下
dy：右-左
求体积
步骤
①画草图
②找范围（注：绕谁转就找谁的范围，找谁的函数，即d谁）
③套公式（大体积-小体积）
绕横的
绕竖的
物理应用
4. 无穷级数
常数项级数
概念与性质
定义
两个重要级数
等比级数
p级数
性质
3.在级数中添加、减少、改变有限项级数的收敛性不变（结果会有变化）
4.添加括号级数收敛性不降低
如果不等于0,原级数必发散
常数项级数审敛法
正项级数
定理
正项级数收敛是部分和数列必有界的充要条件
判别法
比较判别法（适用于：一般项可以放大/缩小的题）
比较判别法的极限形式（适用于：一般项中有类似于等价无穷小样子的题）
找的v只有两种形式可选：
等比
p-级数
比值判别法（适用于：一般项中出现n次方、阶乘、开n次方等积或商的形式的题）
根值判别法
积分判别法
交错级数
莱布尼茨定理
绝对收敛与条件收敛（任意项级数判别法（包括正项级数和交错级数））
绝对收敛
条件收敛
幂级数
函数项级数
定义
其他定义6项
收敛点
发散点
收敛域
发散域
和函数
部分和
幂级数与其基本定义
幂级数定义（两种形式）
收敛半径与收敛域
阿贝尔定理
绝对收敛
发散
收敛半径r
收敛半径求法（3种）
收敛区间
收敛域
收敛区间
两端点判断
解题三步骤
①找收敛半径R
②找收敛区间
③判断两个端点出敛散性
和函数
幂级数的运算
(乘k)
（相加减）
（相乘）
幂级数的性质
1、和函数在其收敛域上连续
2、逐项可积性
3、逐项可导性
求导/积分前后都是幂级数，但不是同一幂级数，两个幂级数收敛半径相同
求和函数（幂级数→和函数）
步骤
①求和函数的定义域（即收敛域）
②逐项求导/逐项积分
标准：尽量把x前的系数变为1
③求新的幂级数的和函数
法一：利用级数敛散性定义
法二：利用已知幂级数公式（即麦克劳林展开式）
④积分/求导
标准：尽量把x前的系数变为1
函数展开成幂级数（和函数→幂级数）
泰勒公式
泰勒级数
麦克劳林级数
函数能展开的成泰勒/麦克劳林级数的充要条件是当n趋向于∞时，余项趋向于0
函数展开成幂级数
还有一种找函数带余项的n阶泰勒公式/麦克劳林公式的题
法一（直接法）
①求出f(x)的各阶导
②求出函数及各阶导函数在x=x0处的值
③写出幂级数，并求出收敛半径R
④考察区间（-R,R）内当n→∞时余项是否→0
法二（间接法）
①对应形式
当函数不是公式中有的形式，则选择求导/积分转换成公式中有的形式（最后再积分/求导转换回来）
②凑样子（展开谁的就凑谁）（别忘了定义域）
③写公式，套公式（别忘了定义域）（若是两个相加，定义域为交集）
常用麦克劳林级数展开式
1/1-x
1/1+x
e的x次
sinx
cosx
ln(1+x)
-ln（1-x）
5. 常微分方程
有一类微分方程和变限积分组合的题目（利用变限积分找隐含的初始条件）
微分方程的一些基本概念
①微分方程
②微分方程的阶
③微分方程的解
④通解
⑤特解
⑥初始条件
⑦初值问题
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
题型：
求通解
求特解
形式：
求通解步骤：
①分离变量
②两边积分
③设积分后得（即为通解（隐式解））
求满足条件的特解步骤
①求通解
②代入条件，求C
③把C代入通解得到特解
齐次方程及其解法
题型：
遇到题中根号中有平方，要讨论正负
求通解
求特解
定义
解法：
①
②
③
④
⑤
一阶线性微分方程
题型：
求通解
求特解
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。
齐次与非齐次
齐次线性方程
形式：
通解
非齐次线性方程
形式
通解
二阶线性常系数微分方程
二阶常系数线性微分方程的概念
一般形式
f(x)=0→齐次
f(x)≠0→非齐次
二阶常系数线性微分方程解的结构
二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构
两个函数线性相关的判断：
y1(x)/y2(x)
≠c（线性无关）
=c（与线性相关）
定理1：方程的解
定理2：通解（两个与线性无关的解）
二阶常系数线性非齐次方程的解的结构
前者为后者对应的齐次方程
定理3
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
齐次与非齐次的解相结合的定理
二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程
结构：r²+pr+q=0
特征根
两个不相等的实根
两个相等的实根
共轭复根公式求出
特征方程的根与通解的关系
求通解步骤
（1）写出微分方程的特征方程：r²+pr+q=0
（2）求出特征方程的两个根：
（3）根据两个根的情况，按照表格写出通解
二阶常系数非齐次线性微分方程
特解
两种自由项
不是根
k=0
是单根
k=1
是重根
k=2
不是根
k=0
是单根
k=1
通解：
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
6. 向量代数与平面解析几何
向量及线性运算
向量的概念
自由向量
向量
定义
有大小，有方向的量
a=b
大小=
方向=
向量的模
定义
向量的长度
延伸出来的距离公式
零向量
与任意向量都
平行
垂直
单位向量
长度为1
两个向量夹角（
共线（平行）
共面
向量的线性运算（几何）
向量相加
四边形法则
三角法法则
规则
交换律
结合律
向量相减
a-b=a+(-b)
两边之和>第三遍
"="在a与b同向或反向时成立
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
向量与数的乘法
la
三种情况
êlaç=êl½×ça½
规则
结合律
分配律
定理：a//b b=la
l＜0时，得到的向量为原来向量的负向量
空间直角坐标系
八卦
向量的线性运算（代数描述）
方向角与方向余弦、投影
方向角与方向余弦
向量对应的单位向量
向量单位化
方向角
定义
非零向量与x,y,z轴正方向的夹角
作用
以确定向量的方向
方向余弦
定义
向量的方向角的余弦称为向量的方向余弦
公式
向量在坐标轴上的投影
向量的数量积与向量积
向量的数量积
参与运算的是向量，结果是数量
产生的背景
做功
定义
几何
代数
性质
②
投影
投影的概念
四种情况
向量的向量积
参与运算的是向量，结果是向量
产生的背景
法向量
定义
几何
代数
根据性质4
性质
④
不按顺序×就是负的
混合积
定义
性质
三个向量共面的充要条件是混合积为0
混合积的几何意义
任意换位增添负号
轮换性
坐标运算
应用
平面
研究：法向量
平面
点法式方程
截距式方程
一般式方程
两个平面夹角
平面之间的关系
垂直
平行
重合
距离
点到平面的距离
两平面之间的距离
空间直线
研究方向向量
直线方程
一般式方程
方向向量为×乘
点向式方程
参数式方程
直线关系
如果不平行也不垂直→异面
垂直
平行
两直线的夹角（锐角）
与平面同理
空间中点到直线的距离
两异面直线的距离
直线与平面
夹角
位置关系
平行
垂直
直线在平面上
且直线上的点也在平面上
斜交（即直线穿过平面）