亿图脑图MindMaster第四章 n维向量与向量空间
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第四章 n维向量与向量空间
向量空间
定义
非空向量组+数乘封闭、加法封闭
（加法封闭）任意两个取自向量空间V的n维向量，其和仍在向量空间

（数乘封闭）数乘取自向量空间V的n维向量，其积向量仍在向量空间

基、维数与坐标
基的定义
两个条件
I. 有序向量组{α1,α2,...,αr}线性无关
II. 任意α∈V，α都可由{α1,α2,...,αr，}线性表示
与向量组的极大无关组的定义不一样——不是任意一个向量与基底线性相关，而是任意一个向量可由基底线性表示
{α1,α2,...,αr}为向量空间V的基（基底）
极大无关组不唯一
注意
V中基底的向量组是有序的
若其中向量调换位置，则认为不是同一个基
维数
V的基所含向量的个数(dim(V)=r—V是r维向量空间)
坐标
α在基α1,α2，...，αr下的坐标向量（坐标）

向量在同一基底下的坐标向量具有唯一性（线性表示唯一性性质）
向量空间与向量集联系
基底——极大无关组
维数（基底中所含向量的个数）——秩
坐标——表示系数
坐标变换
背景
同一n维向量空间V，可有不同的基底
同一向量在不同基下的坐标不一样，需研究它们的关系
过渡矩阵

建立两组基底间的关系
过渡矩阵为可逆矩阵
逆矩阵求解
利用初等变换法求逆矩阵
利用伴随矩阵求逆矩阵（计算量大）
內积
定义
分量对应相乘再相加

记号
忽略一行一列矩阵与数的区别

向量的长度
子主题
n维向量

4.1 n维向量基本概念
定义
行向量、列向量、分量、向量相等、向量的负向量

线性运算
求和(对应分量相加)、数乘（数乘每一个分量）

4.2 向量组线性相关和线性无关
定义
线性组合、线性表示、组合系数(表示系数)

线性无关
仅当组合系数全为0，等式成立

线性相关
定义
组合系数不全为0，等式成立

充要条件
m个向量中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

矩阵判别法

一个含有有限个向量的列向量组可看成由一个矩阵的全体列向量构成
{α1,α2,...,αm}线性相关<--->R(A)＜m
A的行向量组线性无关<--->R(A)=A的行数(行向量个数)
A的列向量组线性无关<--->R(A)=A的列数(列向量个数)
方阵A的行(列)向量组线性无关<--->|A|≠0
推论
无关组接长(添加任意数量的分量)后仍无关

向量的个数(m) ＞ 向量的维数(n)-->向量组线性相关（充分条件）
特殊情况
一个向量线性相关（零向量）
两个向量线性相关（两个向量成比例）

三个向量线性相关（混合积为0）

注意
包含线性相关向量的向量组线性相关(包含)
线性无关向量的向量组子集线性无关（子集）
4.3 向量组的秩
基本概念
行秩、列秩、矩阵的秩
一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目
向量组的等价
向量组(1)和(2)可互相线性表示
极大无关组

定义
两个条件
I. {α1,α2,...,αr}线性无关
II. 任意α∈S，{α1,α2,...,αr，α}线性相关
也可在先前的r个向量中取
{α1,α2,...,αr}为S的一个极大线性无关组（极大无关组）
极大无关组不唯一
定理
线性表示唯一性定理

向量组(I)线性无关,(I)可由(II)线性表示-->r≤s
等价的、线性无关的向量组所含向量的个数相同

向量组的两个极大无关组中向量的个数相同
注意
向量组和它的极大线性无关组等价（可互相线性表示）
向量组S中任一向量都可由S的极大无关组线性表示（极大无关组定义即可证明） S的极大无关组中任一向量都取自S，所以S的极大无关组中任一向量都可由S线性表示（S右乘单位矩阵）
向量组的秩
定义
向量组的秩=极大无关组所含的向量的个数
推论
向量组(I)能由向量组(II)线性表示-->r1≤r2(P119)
等价的向量组秩相同
求解方法
思路
向量组的秩=以向量组组成的矩阵的秩
求向量组的秩-->求矩阵的秩
非零子式法（定义法）
行阶梯矩阵法--行阶梯矩阵非零行个数即为矩阵的秩（初等变换法）
若既要求向量组的秩也要求向量组的一个极大无关组，则利用矩阵初等变换时，只初等行变换(列向量组)或初等列变换（行向量组）
矩阵的初等行变换相当于方程组之间进行线性运算，没有改变方程组的解--->不改变矩阵列向量间的线性关系
矩阵的秩与向量组的秩的关系
R(A)=A的列向量组的秩=A的行向量组的秩