第十一章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

武忠祥课程学习笔记，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~适用于考试复习！

向量代数与空间解析几何 及多元微分学在几何上的应用

• 补充知识
  • 方向角与方向余弦
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• 第四节 多元微分在几何上的应用(专门考)
  • 曲面的切平面与法线
    • 
  • 曲线的法线与切平面
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• 第三节 曲面与空间曲线
  • 曲面方程
    • 一次曲面(平面）
      • 三元一次方程
    • 二次曲面(三元二次方程)
      • 一般式 F(x,y,z)=0 或 z=f(x,y)
  • 空间曲线
    • 一般式、参数式
      • 
  • 常见曲面
    • 旋转面
      • 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
        • 
    • 柱面
      • 平行于定直线(轴)并沿定曲线Γ(准线)移动的直线L(母线)形成轨迹
        • 
    • 二次曲面(五种重点掌握+图形及方程)
      • 圆锥面、椭球面、球面、旋转抛物面、圆柱面
      • 圆锥面
        • 上下区域均有图形
        • 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得
      • 旋转抛物面
        • 只有一半区域有图形
        • 抛物线绕坐标轴旋转一周所得
  • 空间曲线投影
    • 思路
      • 1. 曲线Γ消去z得到关于xoy面的投影柱面H(x,y)=0
      • 2. 联立投影柱面H(x,y)=0与z=0即可在xoy面上得到曲线Γ的投影曲线
      • 3. 判断投影曲线的定义域范围
    • 若表示空间曲线的方程组中某一方程不含z ，即可知空间曲线在xoy面上的投影柱面方程
• 第二节 空间平面与直线
  • 平面方程
    • 一般式、点法式（平面上一点与法线）
    • 截距式（平面与三坐标轴的截距）
  • 直线方程
    • 一般式（两平面的交线）
      • 
    • 对称式（直线上一点与方向）
      • 
    • 参数式
      •  
  • 平面与直线位置
    • 直线与直线关系
      • 相交、平行、垂直
      • 夹角为[0,pi/2]
        • 
    • 平面与平面关系
      • 相交、平行、垂直
      • 夹角为[0,pi/2]
        • 
    • 直线与平面关系
      • 平面的法线向量与直线的方向向量(直线与直线关系)
  • 点到面的距离（对应平面上一点到平面上直线的距离）
    •  
  • 点到直线的距离d（推导记忆）
    • 叉乘（平行四边形的高d）
• 第一节 向量代数
  • 数量积（点乘）—数
    • 表示方法
      • 几何表示
        • 
      • 代数表示(对应坐标相乘再相加)
        • 
      • 运算规律
        • 交换律、分配律
    • 几何应用
      • 求向量夹角
        • 
      • 求模
        • 
      • 判定两向量垂直（点乘为0）
    • 注意
      • 0向量方向是任意的
      • 向量夹角为[0,pi]；直线夹角为[0,pi/2]
  • 向量积（叉乘）—向量
    • 表示方法
      • 几何表示
        • 两向量叉乘得到一向量
        • 模
          • 
        • 方向(右手法则)
          • 
      • 代数表示（三阶行列式）
        • 
      • 运算规律
        • 分配律、不满足交换律(方向相反)
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    • 几何应用
      • 求同时垂直于a和b的向量
      • 求以a和b为邻边的平行四边形面积S
      • 判定两向量平行
        • 
  • 混合积[abc]或(abc)—数
    • 代数表示
      • 
    • 运算规律（行列式性质助记）
      • 轮换对称性（只改变向量的位置，不改变向量的顺序）
        • [abc] = [bca] = [cab] 等价于在行列式中行交换了两次，负负得正
      • 交换变号
        • 等价于在行列式中行交换了一次，变号
    • 几何应用
      • 求平行六面体体积（向量积的绝对值）
        • 
      • 判断三向量共面
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      • 推论
        • 任意两向量平行，则三向量混合积为0
          • 由于向量均为自由向量（可任意平移），故空间上任意两向量必定可共面，若三向量中任意两向量平行，则这三个向量必定平行