第九章 二重积分

武忠祥课程学习笔记，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~适用于考试复习！

二重积分

• 二重积分的概念及性质
  • 概念
    • 定义
      • 分割、求和、取极限
    • 几何意义
      • 曲顶柱体的体积
  • 性质
    • 被积函数和积分区域具有可加性(性质1)
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    • 不等式性质
      • 保序性
        •   由二重积分的定义可证，求和极限的不等式比较可得下面结果 
      • 估值不等式
        • 
    • 中值定理
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      • 曲顶柱体的平均高度
• 二重积分的计算
  • 利用直角坐标计算
    • 平行坐标轴的射线与边界曲线的交点仅有两个
      • X/Y型积分区域的确定
    • 先y后x
    • 先x后y
  • 利用极坐标计算
    • 过原点的射线与边界曲线的交点确定ρ的上下限
    • 先ρ后θ
    • 适合用极坐标计算的二重积分的特征P93
      • 被积函数
      • 积分区域
  • 利用对称性和奇偶性计算
    • 积分区域D与多元函数f(x,y)需配套
    • 积分区域D关于x对称
      • f(x,y)关于y偶函数
      • f(x,y)关于y奇函数
    • 积分区域D关于y对称
      • f(x,y)关于x偶函数
      • f(x,y)关于x奇函数
  • 利用变量对称性计算
    • 前提
      • 积分区域D关于y=x对称(点(x,y)在积分区域D则点(y,x)也在积分区域D)
    • 结论
      • 在同一积分区域D，f(x,y)具有轮换性（被积函数f(x,y)=f(y,x)）
    • 应用
      • 化成适合用极坐标计算的二重积分
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