第2讲 矩阵

本讲主要对矩阵的定义及基本运算、矩阵的逆、伴随矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵方程等进行了概述，同时还总结了6组常用公式，几乎都要用到，公式涵盖了第1、2讲

第2讲 矩阵

• 矩阵的定义及基本运算
  • 定义
    • 由m×n个数排成的m行n列的矩形表格称为m×n矩阵
    • m=n时称为n阶方阵
    • 两个矩阵A和B的行数m和列数n相等，则称A与B为同型矩阵
  • 基本运算
    • 相等
      • A、B是同型矩阵，且对应元素相等
    • 加法
      • 两个矩阵是同型矩阵时，可以相加
    • 数乘矩阵
      • 注意:A中的每个元素都要×k，要与行列式区分开来
      • 设k是一个数，A是一个m×n矩阵，数k和数A的乘积称为数乘矩阵
    • 矩阵乘法
      • 设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵（矩阵A的列数必须与矩阵B的行数相等）,则AB可乘
      • 一般不满足交换律，即AB≠BA
    • 转置矩阵
      • 将矩阵的行列互换
    • 向量的内积与正交
      • 内积：（α，β）=α的转置×β
      • 正交：α的转置×β=0时，称向量α、β是正交向量
      • 模：||α||=1时，称α为单位向量
    • 施密特正交化
      • ①线性无关向量组α1、α2的标准正交化公式为：β1=α1，β2=α2-(α2,β1)/(β1,β1) *β1
      • ②将β1，β2单位化，得：η1=β1/ ||β1||，η2=β2/ ||β2||
      • 计算①②得到得η1、η1是标准正交向量组
    • 矩阵的幂
      • A是一个n阶方阵，A的m次方称为A的m次幂
    • 方阵乘积的行列式
      • 设A、B是同阶方阵，则|AB|=|A| |B|
    • 几种重要矩阵
      • ①零矩阵：每个元素均为0的矩阵
      • ②单位矩阵：主对角线均为1，其余元素均为0的n阶方阵，称为n阶单位矩阵，记成E
      • ③数量矩阵：数k和单位矩阵的乘积
      • ④对角矩阵：非对角元素均为0的矩阵
      • ⑤上（下）三角矩阵：当 i>（<）j 时，aij＝0的矩阵
      • ⑥对称矩阵：满足A的转置=A的矩阵 <--> aij=aji
      • ⑦反对称矩阵：满足A的转置=-A的矩阵 <--> aij=-aji（很少考，但要会）
      • ⑧正交矩阵：设A是n阶方阵，满足A的转置×A=E，则称A是正交 矩阵
      • ⑨分块矩阵：用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块，把子块看成原矩阵的一个元素，就得到了分块矩阵
• 矩阵的逆
  • 相当于除法，有三种方法求）
  • 定义
    • A必须是方阵
    • A，B是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的
    • A可逆的充要条件是|A|≠0，|A|≠0时，A可逆且：A逆=1/|A|×A*（A*是伴随矩阵）
  • 性质与公式
    • 设A、B是同阶可逆矩阵，有：
      • 注：A+B不一定可逆，且(A+B)的逆≠A逆+B逆
      • ①（A逆）的逆=A
      • ②若k≠0，则（kA）的逆=1/k×A逆
      • ③（AB）也可逆，且（AB）逆=B逆×A逆（穿脱原则）
      • ④A的转置也可逆，且(A的转置)的逆=(A逆)的转置
      • ⑤|A逆|=|A|的逆（|A|为行列式）
  • 用定义法求逆矩阵（抽象型）
    • ①凑定义法：依定义，即求一个矩阵B，使AB=E，则A可逆，且A逆=B
    • ②分解法：将A分解成若干个可逆矩阵相乘，因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若A=BC，其中，B，C均可逆，则A可逆，且：A逆=（BC）逆=C逆B逆
• 伴随矩阵
  • 任何方阵都有伴随矩阵
  • 方阵
  • 定义
    • 将行列式|A|每一行的元素aij的代数余子式竖着写，所排成的矩阵称为A的伴随矩阵，记作A*
    • AA*=A*A=|A|E （必考）
  • 性质与公式
    • |A*|=|A|的（n-1）次方
    • （A*）*=|A|的（n-2）次方×A
    • A*=|A|×A逆
  • 用伴随矩阵求逆矩阵（具体型）
    • 若|A|≠0，则A可逆，且A逆=1/|A|×A*
• 初等变换与初等矩阵
  • 初等变换
    • （1）一个非0常数乘矩阵的某一行（列）——倍乘初等变换
    • （2）互换矩阵中某两行（列）的位置——互换初等变换
    • （3）将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）——倍加初等变换
  • 初等矩阵
    • 定义
      • 将单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
    • 性质与公式
      • （1）初等矩阵的转置仍是初等矩阵
      • （2）因为： |Ei(k)|=k≠0， |Eij|=-1≠0， Eij(k)=1≠0 故初等矩阵都是可逆矩阵 所以： [Ei(k)] 的逆=Ei(1/k) Eij的逆=Eij [Eij(k)]的逆=Eij(k)
      • （3）可逆矩阵A一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵E
      • 对n阶矩阵A进行初等行变换，相当于矩阵A左乘相应的初等矩阵 同样， 对A进行初等列变换，相当于矩阵A右乘相应的初等矩阵
    • 用初等变换(初等矩阵)求逆矩阵（具体型）
• 矩阵方程
  • 含有未知矩阵的方程
  • A X=B
    • X是未知矩阵
    • X=A逆×B
  • X A=B
    • X=B×A逆
  • A X B=C
    • X=A逆×C×B逆
• 矩阵的秩与等价矩阵
  • 秩
    • 定义
      • 设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为0，而任意k+1阶子式全为0（如果有的话），则r（A）=k，即矩阵A的秩为k
    • 初等变换不改变秩
      • 设A是m×n矩阵，P、Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
    • 几个重要式子
      • 设A是m×n矩阵，B是满足有关矩阵运算要求的矩阵
      • ①0≤r(A)≤min{m,n}
      • ②r(kA)=r(A)(k≠0)
      • ③r(AB)≤min{r(A)，r((B)}
      • ④r(A+B)≤r(A)+r(B)
      • ⑤A为n阶方阵，r(A)=
        • n, r(A)=n
        • 1, r(A)=n-1
        • 0, r(A)<n-1
  • 等价矩阵
    • 设A，B均是m×n矩阵，若存在可逆矩阵Pm×m，Qn×n，使得PAQ＝B，则称A，B是等价矩阵
• 6组常用公式(行列式、转置、逆、伴随矩阵)
  • ①A:方阵
    • ||A||=|A|
      • ||A||:行列式的行列式
    • A的转置的转置=A
    • A逆的逆=A
    • （A*）*=|A|的（n-2）次方×A
  • ②倍乘
    • |kA|=k的n次方×|A|
    • （kA）的转置=k×A的转置
    • （kA）的逆=1/k×A逆
    • （kA）*=k的（n-1次方）×A*
  • ③AB（穿脱原则）
    • |AB|=|A||B|=|B||A|
    • (AB)的转置=B的转置×A的转置
    • （AB）的逆=B逆×A逆
    • （AB）*=B*A*
  • ④互换不变
    • （A逆）的转置=（A的转置）的逆
    • （A逆）*=（A*）的逆
    • （A*）的转置=（A的转置）*
  • ⑤行列式
    • |A的转置|=|A|
    • |A逆|=|A|的逆
    • |A*|=|A|的（n-1）次方
  • ⑥相加（注意事项）
    • |A+B|≠|A|+|B|
    • （A+B）的转置=A的转置+B的转置
    • （A+B）的逆≠A逆+B逆
    • （A+B）*≠A*+B*