线性方程组思维导图

本节主要是对张宇线代第4讲的简要概括，从四个方面进行了总结，包括具体型线性方程组、抽象型线性方程组、两个方程组的公共解以及同解方程组等。

第4讲 线性方程组

• 具体型线性方程组
  • 齐次
    • 有解条件（Am×n）
      • （1）r(A)=n时，有唯一零解
        • 列满秩
      • （2）r(A)=r<n时，有非零解（即无穷多解）且有n-r个线性无关解
    • 解的性质
      • 若Aξ1=0,Aξ2=0，则A(k1ξ1+k2ξ2)=0,其中k1,k2是任意常数
    • 基础解系和解的结构(必考)
      • 前提:r(A)<n
      • （1）基础解系:设ξ1,ξ2,...,ξn-r满足
        • ①是方程组Ax=0的解
        • ②线性无关
        • ③s=n-r(A)>0
          • s维空间，n：未知数个数，r(A)：独立方程个数
      • （2）通解:设ξ1,ξ2,...,ξn-r是Ax=0的基础解系,则k1ξ1+k2ξ2+...+k(n-r)ξn-r 是方程组Ax=0的通解，其中：k1,k2,...,k(n-r)是任意常数
    • 求解方法与步骤
      • （1）将系数矩阵A作初等行变换化成行阶梯型矩阵得到B，r(A)=r(B)=r
      • （2）按列找出秩为r的子矩阵，则剩余列位置的未知数设为自由变量
      • （3）按基础解系定义求出通解
  • 非齐次
    • 有解条件
      • （1）r(A)≠r([A,b])，无解，但一定有r(A)+1=r([A,b])
    • 解的性质
      • 非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解
      • （2）r(A)=r([A,b])
        • ①=n，有唯一解
        • ②=r<n，有无穷多解
    • 求解方法与步骤
      • （1）对增广矩阵（AIb）作初等行变换化成阶梯形矩阵（BIβ）
      • （2）先求Bx=0的通解，视β而不见
      • （3）求非齐次方程的特解
      • （4）将（2）的通解+（3）的特解就是非齐次方程的通解
• 抽象型线性方程组
  • 有解条件与解的判定
    • （1）Ax=0
      • ①总有解，至少有零解
    • （2）Ax=0
      • A是m×n阶矩阵
      • ①r(A)=n，只有零解
      • ②r(A)<n，有无穷多解
    • （3）Ax=b
      • ①r(A)≠r([A,b])，无解
      • ②r(A)=r([A,b])=n，有唯一解
      • ③r(A)=r([A,b])=r<n，有无穷多解
  • 解的结构
    • （1）齐次线性方程组Ax=0有基础解系ξ1,ξ2,...,ξn-r，则通解为k1ξ1+k2ξ2+...+k(n-r)ξn-r
    • （2）非齐次线性方程组Ax=b有特解η，对应的齐次线性方程组Ax=0有基础解系ξ1,ξ2,...,ξn-r， 则Ax=b的通解为k1ξ1+k2ξ2+...+k(n-r)ξn-r+η
  • 基础解系的讨论
    • α1,α2,..., αs为Ax=0的基础解系需满足三个条件，缺一不可
      • （1）Aαi=0，i=1,2,...,s
      • （2）α1,α2,..., αs线性无关
      • （3）s=n-r
  • 系数矩阵列向量与解的关系
    • 方程组的解就是描述向量组中各向量之间数量关系的系数
• 两个方程组的公共解
  • 若给出Ax=0的基础解系 ξ1,ξ2,...,ξs与Bx=0的基础解系η1,η2,...,ηs，则公共解γ=k1ξ1+k2ξ2+...+ksξs-l1η1-l2η2-...-lsηs=0，求出k或l即可写出γ
• 同解方程组
  • 若两个方程组Ax=0和Bx=0有完全相同的解，则称为同解方程组