第21章代数方程

数学思维导图，关于第21章“代数方程”的内容进行了系统性的概述，涵盖了多项式方程的定义、分类、性质及特例。如果方程中只有一个未知数且两边都是关于这个未知数的整式，那么这样的方程被称为一元整式方程。

第二十一章 代数方程

• 一元整式方程
  • 在项ax中，字母a是项的系数，我们把a叫做字母系数。
  • 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。
  • 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），那么这个方程就叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程。
• 二项方程
  • 如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程。
  • 关于x 一元n次二项方程的一般形式为： ax^n+b=0（a≠0，b≠0，n是正整数）
  • 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根。 当n为偶数时，如果 ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数;如果ab>0，那么方程没有实数根。
• 可化为一元二次方程的分式方程
  • 通分去分母将分式方程化成整式方程，利用了等式的性质。但是化成整式方程后，未知数的允许取值范围扩大了。因此，可以肯定原分式方程的根是变形所得整式方程的根，但所得整式方程的根不一定是原分式方程的根，必须进行检验。
  • 如果方程中只含分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程。
  • 等式性质：在等式两边乘以同一个整式后，等式仍然成立。
  • 有检验过程可知x1、x2不会使分式中的分母为0，说明它们在未知数的允许取值范围内。
  • 如果在解整式方程时没有差错，那么所求得的整式方程的根中，能使“去分母”时所乘代数式的值不为0的跟一定是原方程的根；否则是增根。
• 无理方程
  • 方程中不仅含有根号，而且根号里有含未知数x。
  • 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。
  • 整式方程和分式方程统称为有理方程。
  • 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。
  • 当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程两边同时平方，将这个方程化成有理方程。
• 二元二次方程和方程组
  • 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。