导图社区 函数 (唯一对应关系)
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英语词性
生物必修一
函数 (唯一对应关系)
定义
变量之间
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值, 基于某种对应法则,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数。 如果当x=1时,有对应的y=2,那么2是自变量x=1时的函数值。 结合实际情况,自变量x为多少时为有意义,称为自变量x的取值范围。
集合之间
设A, B是为非空的数集,对于集合A中任意一个数x,按照某种确定的对应关系 f 时,在集合B中都有唯一确定的数y与它对应 (B中可能有不对应A的元素), 那么称f:A→B为A到B按f定义的一个函数,f记作:y=f(x); x的取值范围A称为函数的定义域(domain of definition),记作:x∈A; 函数值y的集合{y|y=f(x), x∈A}叫做函数的值域。
定义一个函数的三个要素
表示方法
(1) 解析式法
f(x)=对应关系, 定义域
s=60t, t∈{t|0≤t≤30}
y={x+b,x<0; x-b, x≥0
(2) 图像法
(3) 列表法
性质
单调性:函数在定义域内按照值域的增减趋势划分区间
增减趋势
单调递增
一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间DÍI。 如果∀ x₁、x₂∈D,每当x₁<x₂时,都有f(x₁)<f(x₂), 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
单调递减
一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间DÍI。 如果∀ x₁、x₂∈D,每当x₁>x₂时,都有f(x₁)<f(x₂), 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
函数分类 (按区间数量分)
一个区间(等同于定义域)
增函数:当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,则称它为增函数。
减函数:当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,则称它为减函数。
多个区间,该函数称为:分段函数
最大/小值
三要素
定义域要有限
最值可标记
最值可求得
奇偶性(图像对称性)
分类
奇函数:函数图像关于原点对称
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做:奇函数
偶函数:函数图像性质:函数图像关于y轴对称
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I, 且f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做:偶函数
f(x)=0,定义域为I, ∀x∈I,都有-x∈I; f(-x)=0=f(x)=-f(x)。
一次函数
y=kx+b (k, b为常数, k≠0), x∈R
图像性质
(1) 呈直线,|k|越大图像与x轴的斜度越大
k的大小决定了一次函数的增长速率,也叫做斜率
(2) 当b=0时,图像与原点0相交,关于原点对称; 当b>0时,图像与y正半轴相交; 当b<0时,图像与y负半轴相交。
单调性
f(x)=kx+b(a≠0)的定义域是R. ∀x₁,x₂ ∈ R,且x₁<x₂, 则f(x₁)-f(x₂)=kx₁+b-(kx₂+b)=k(x₁-x₂) 由x₁<x₂,得x₁-x₂<0. 所以 ①当k>0时,k(x₁-x₂)<0,既f(x₁)-f(x₂)<0,所以f(x₁)<f(x₂),该函数为增函数; ②当k<0时,k(x₁-x₂)>0,既f(x₁)-f(x₂)>0,所以f(x₁)>f(x₂),该函数为减函数。
奇偶性
奇函数
二次函数
y=a(x+h)²+k (a≠0), x∈R
(1) 呈对称抛物线,|a|越大,un开口角度越小
(2) 顶点为(x=-h, k),相对于顶点做的垂直线而对称
(3) a>0时,为U形,|x|越大,y越大; a<0时,为∩形,|x|越小,y越大。
当h=0时,图像关于y轴对称,k为图像的顶点; 当h>0时,图像顶点在y轴左侧; 当h<0时,图像顶点在y轴右侧。
(4) y=0时,有两个x
y=ax²+bx+c (a≠0), x∈R
定义域x:实数
值域y:非负数
(2) 相对于顶点做的垂直线而对称
当b=0时,图像关于y轴对称,c为图像的最低点; 当b>0时,图像顶点在y轴左侧; 当b<0时,图像顶点在y轴右侧。
当b=0时,图像关于y轴对称,c为图像的最高点; 当b>0时,图像顶点在y轴右侧; 当b<0时,图像顶点在y轴左侧。
根据开口方向与顶点x位置, x=-b/2a,可判断b符号
(4) c=0时,图像与原点0相交; c>0时,图像与y正半轴相交; c<0时,图像与y负半轴相交。
(5) y=0时,有两个x
反比例函数
y=k/x (k≠0), x∈R
形成两个不相交的曲线,呈原点对称
函数值y随自变量|x|增加而减小
当k>0时,图像位于一、三象限
当k<0时,图像位于二、四象限
幂函数
y=xᵅ (α为常数)
指数函数
正比例函数
y=kx (k为常数,k≠0), x∈R,k也被叫做比例系数
常值函数
k=0的函数
应用