导图社区 数列 (N到R的函数)
这是一篇关于数列 (N到R的函数)的思维导图,主要内容包括:函数表示方法,相关概念,分类。将知识点进行了归纳和整理,帮助学习者理解和记忆。考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图,提高备考效率,取得更好的成绩。感兴趣的小伙伴可以收藏一下~
编辑于2024-07-31 09:55:48这是一篇关于原型对象(prototype)的思维导图,主要内容包括:原型链,原型继承,简介,属性,访问,作用,内存结构。原型对象是一个特殊的对象,它用于在创建新对象时提供属性和方法的共享。在基于原型的编程语言中,新创建的对象会继承一个原型对象的属性和方法,从而实现代码的复用和对象的继承。
这是一篇关于单例模式(Singleton)的思维导图,主要内容包括:其他实现方式,实现步骤(3步),实现方式。通过思维导图的形式,系统地展示了单例模式在Java中的不同实现方式、特点、使用场景以及与其他概念的关联,为理解和应用单例模式提供了全面的指导。
这是一篇关于列表样式的思维导图,通过思维导图的方式,系统地展示了HTML列表元素可以应用的多种样式选项,包括列表类型、样式图片、样式位置等,以及如何通过CSS的list-style相关属性来控制这些样式。
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这是一篇关于原型对象(prototype)的思维导图,主要内容包括:原型链,原型继承,简介,属性,访问,作用,内存结构。原型对象是一个特殊的对象,它用于在创建新对象时提供属性和方法的共享。在基于原型的编程语言中,新创建的对象会继承一个原型对象的属性和方法,从而实现代码的复用和对象的继承。
这是一篇关于单例模式(Singleton)的思维导图,主要内容包括:其他实现方式,实现步骤(3步),实现方式。通过思维导图的形式,系统地展示了单例模式在Java中的不同实现方式、特点、使用场景以及与其他概念的关联,为理解和应用单例模式提供了全面的指导。
这是一篇关于列表样式的思维导图,通过思维导图的方式,系统地展示了HTML列表元素可以应用的多种样式选项,包括列表类型、样式图片、样式位置等,以及如何通过CSS的list-style相关属性来控制这些样式。
数列 (N+到R的函数)
函数表示方法
解析式法
aₙ=f(n)
图像法
性质
点图像
列表法
分类
(按数列的项数)
有穷数列
定义域:正整数集的子集
无穷数列
定义域:正整数集
(按数列的单调性)
递增数列:aₙ₊₁>aₙ
递减数列:aₙ₊₁<aₙ
常数列:aₙ₊₁=aₙ
子主题
等差数列(最高项号≥3):从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数, 这个常数叫做等差数列的公差(d)。符号定义:aₙ₊₁-aₙ= d
性质
(1) 两项存在的中间项是它们的算数平均数
求{aₙ}的算数平均数:
(2) 两项下标和与另外两项下标和相等,它们的和也相等
若数列{aₙ}是等差数列,下标ₛ...∈N+,且ₙ+ₛ=ₘ+ₖ,则aₙ+aₛ=aₘ+aₖ
(3) 当等差数列为递减数列,前n项和Sₙ具有最大值
求Sₙ最大值
aₙ≥0,Sₙ有最大值
视为Sₙ关于n的二次函数
递推公式:aₙ₊₁=aₙ+d 或 aₙ=aₙ₋₁+d (n≥2)
通项公式
aₙ=a₁+(n-1)d
根据递推公式:aₙ₊₁=aₙ+d 当n为1时,a₂=a₁+d 当n为2时,a₃=a₂+d 那么a₃=a₁+2d,则第n个数:aₙ=a₁+(n-1)d,即该数列的通项公式 根据递归公式:aₙ=aₙ₋₁+d (n≥2) 当n为2时,a₂=a₁+d 当n为3时,a₃=a₂+d 那么a₃=a₁+2d,则n≥2时:aₙ=a₁+(n-1)d, 又当n=1时,a₁=a₁+0,则aₙ=a₁+(n-1)d,即该数列的通项公式
40, 42, 44 , …
40 + (n-1)2
40 42 44 46 48
根据通项公式求公差d
例:等差数列的通项公式为:aₙ=5-2n
(1) 当n≥2时,aₙ₋₁=5-2(n-1)=7-2n; 根据等差数列的定义,d=aₙ-aₙ₋₁= 5-2n-7+2n=-2
(2) 当n=1时,a₁=5-2=3 当n=2时,a₂=5-4=1 根据等差数列的定义,d=a₂-a₁=1-3=-2
(3) 由于等差数列的通项公式是当x=n, b=a₁-k, k=d(d≠0)的一次函数, dn+(a₁-d) = -2n+5 d=-2, a₁=5-2=3
aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁
函数式:f(n)=dn+(a₁-d), n∈N+
证明:一次函数f(x)=kx+b,当x=n(n∈N+)时,f(x)的值域为等差数列。 当x=n时,为数列{f(n)} d=f(n+1)ₙ₊₁-f(n)ₙ=kn+k+b-kn-b=k 符合等差数列定义:d=aₙ₊₁-aₙ, 则数列{f(n)}为等差数列,既当x=n时的一次函数f(x)是等差数列
当d=0时,f(n)是常值函数
当d≠0时,f(n)是一次函数
单调性
d=0时,等差数列{aₙ}为常数列
d<0时,等差数列{aₙ}单调递减
d>0时,等差数列{aₙ}单调递增
前n项和公式
(1) Sₙ=n(a₁+aₙ)/2
1+2+3...+(n-2)+(n-1)+n 一、首尾配对法:平摊n ①如果n是偶数,如:1+2+3+4+5+6+7+8。则:Sₙ = n/2(n+1) ②如果n是奇数,如:1+2+3+4+5+6+7。 则:Sₙ = (n-1)/2(1+n-1)+n = n(n-1)/2+n = 2n+n(n-1)/2 = n/2(n+1) 7/2=3.5, 3.5×8 = 3×8 + 0.5×8 二、翻倍倒叙相加法:n不变 2Sₙ = 2(1+2+3...+(n-2)+(n-1)+n) = n(n+1) Sₙ = n(n+1)/2
(2) 带入递推公式:Sₙ=n(a₁+a₁+(n-1)d)/2 = na₁+ n(n-1)d/2
(3) 视为Sₙ关于n的二次函数:Sₙ=na₁+ n(n-1)d/2 =(d/2)n²+(a₁-d/2)n (d≠0)
判断是否为等差数列:Sₙ=An²+Bn+C
当C=0时,数列{aₙ}是等差数列;
当C≠0时,数列{aₙ}从第二项起成等差数列。
证明当
// 前n项和公式 → 通项公式 当n=1时,a₁=A+B+C 当n≥2时,aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁ = An²+Bn+C-A(n-1)²+B(n-1)+C = (2n-1)A+B {an}的通项公式为:a{A+B+C, n=1 \(2n-1)A+B, n≥2 // 通项公式 → 等差数列定义公式 当n≥2时,m = aₙ₊₁-aₙ = 【2(n+1)-1]A+B]】-[(2n-1)A+B] = 2A ∴数列{aₙ}从第二项起成等差数列 而n = a₂-a₁ = (3A+B)-(A+B+C)=2A+C // 判断是否为等差数列 ∴当C=0时,m=n,数列{aₙ}是等差数列; 当C≠0时,m≠n,数列{aₙ}从第二项起成等差数列。
等比数列(最高项号≥3):从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数, 这个常数叫做等比数列的公比(q)。符号定义:aₙ₊₁/aₙ= q (q≠0)
性质
两项存在的中间项是它们的几何平均数
求{aₙ}的几何平均数:前n项的几何平均数=√a₁×aₙ
递推公式
aₙ₊₁/aₙ=q (q≠0) 或 aₙ/aₙ₋₁=q (q≠0, n≥2)
通项公式
aₙ = a₁×qⁿ⁻¹
归纳推理(猜想): a₂ = a₁q a₃ = a₂q = a₁q² 由此可得:当n≥2时,aₙ = a₁qⁿ⁻¹ 又当n=1时,a₁ = a₁q⁰ = a₁×1 ∴{aₙ}通项公式:aₙ = a₁qⁿ⁻¹
函数式:f(n)=a₁/q · qⁿ), n∈N+
单调性
当a₁>0时
q=1时,f(n)是常值函数
q>1时,f(n)单调递增
相关概念
定义
按照确定顺序排列的一组数称为:数列。 数列的一般形式是a₁, a₂, ..., aₙ, ... 简记为:{aₙ} 数列中的每一个数叫做这个数列的项,它的位置为项号(下标)。
通项公式
数列{aₙ}的第n项与项号n的对应关系式:aₙ=f(n); 这个式子是数列的函数解析式,也叫做数列的通项公式。
-1, 2, -3, …
aₙ=(-1)ⁿ × n
2, 0 , 2, 0, …
aₙ= 1 - (-1)ⁿ
1, 3, 5, 7, …
aₙ=2n-1
0, 2, 4, 6, …
aₙ=2n-2
3, 6, 9, …
aₙ=3n
4, 7, 10, … (被3除余1的数)
aₙ=3n+1
p = m+n,当m=p/2=n时,mn最大
(m+x) · [m+(10-x)] = m²+10m-mx+mx+10x-x² = m²+10m+10x-x²
设m=0
10x+x²
an=8-3(n-1)
1, 3, 9, 27, ...
通项公式:aₙ = 3ⁿˉ¹
递推公式
一个数列中相邻两项或多项之间的对应关系式,称为这个数列的递推公式。
相邻两项之间
谢尔宾斯基三角形:1, 3, 9, 27, ...
递推公式:aₙ = {1, n=1 3aₙ₋₁, n≥2
相邻多项之间
斐波那契数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (n≥3)
前n项和公式
数列{aₙ}中第1项到第n项为止之间各项的和,称为数列{aₙ}的前n项和,记作:Sₙ; 数列{aₙ}的前n项和Sₙ与它的序号n之间的对应关系式:Sₙ=a₁+a₂+...+aₙ;称为这个数列的前n项和公式。