第24章 相似三角形

这是一个关于“第24章相似三角形全面解析”的思维导图，详细梳理了相似三角形的定义、性质、判定定理及在几何解题中的灵活应用。

第24章 相似三角形

• 相似三角形的判定
  • 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
  • 两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）。
  • 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
  • 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
  • 两角对应相等，两个三角形相似。
  • 两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似
  • 三边对应成比例，两个三角形相似。
  • 斜边和直角边对应成比例两个直角三角形相似。
• 相似三角形的性质
  • 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
  • 相似三角形对应高的比、对应中线的比、和对应角平分线的比都等于相似比。
  • 相似三角形的周长的比等于相似比。
  • 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
• 实数与向量相乘
  • 设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka. 如果k≠0，且a≠0，那么ka的长度｜ka｜=｜k｜｜a｜；ka的方向：当k>0时ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向. 如果k=0或a=0，那么ka=0.
  • 设m、n为实数，则 （1）m（na）=（mn）a； （2）（m+n）a=ma+na； （3）m（a+b）= ma+mb.
  • 如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b=ma.
  • 长度为1的向量叫做单位向量。
• 三角形一边的平行线
  • 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
  • 平行于三角形一边的直线及其它两边所在的直线， 截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
  • 三角形的三条中线交于一点。
  • 三角形三条中线的焦点叫做三角形的重心。
  • 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
  • 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
  • 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
  • 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
  • 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
• 比例线段
  • 两条线段的长度的比例叫做两条线段的比。
  • 对于四条线段a、b、c、的，如果a：b =b：c，那么a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
  • 如果点P把线段AB分割成AP和PB（ AP>PB）两端，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割点为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点。
• 放缩与相似形
  • 形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形。
  • 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度乘比例。