数学分析

数学分析的主要研究内容是函数、极限、微积分、级数等。其中，微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称。微积分学的理论基础是极限理论，而极限理论的理论基础则是实数理论。

数学分析

• 其他
  • 定义最大值/最小值
  • 定理夹逼定理
  • 有关实数完备性基本定理之间的证明
• 实数理论
• 反常积分
• 定积分的应用
• 定积分
• 八 不定积分
  • 不定积分概念与基本积分公式
    • 定义 原函数
    • 定理若函数 在区间 上连续，则 在 上存在原函数 ，即
    • 定理 设 {F}(x) 是{f}(x)在区间 I上的一个原函数，则F(x)在区间I上所有的原函数都可以表示成 F(x) + {\color{red} C ,C \in R}
    • 定义不定积分
      • 积分号
      • 被积函数
      • 被积表达式
      • 量
    • 基本积分表
  • 换元积分法与分部积分法
    • 定理换元积分法
      • 1
      • 2
    • 分部积分法
  • 有理函数可化为有理函数的不定积分
    • 有理函数的不定积分
      • 有理函数
      • 定义 有理函数
      • 定义真分式/假分式
      • 定义 三角有理式
        • 半角代换
      • 某些简单无理式的不定积分
• 六 微分中值定理及其应用
  • 拉格朗日定理和函数的单调性
    • 罗尔定理与拉格朗日定理
      • 定理罗尔(Rolle)定理
      • 定理拉格朗日(Lagrange)中值定理
        • 几何意义
        • 等价表示
          • {f} (b) -{f} (a) = {f} ' ( a + \theta (b - a)) (b- a) , 0< \theta <1
          • {f} (a -h) -{f} (a) = {f} ' (a + \theta h) h , 0< \theta <1
            • {f} (b) - {f} (a)= {f} ' ( \xi) (b - a) , a < \xi <b
    • 单调函数
      • 定理可导函数的单调性判断
        • 设{f}(x)在区间I上可导
        • {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
      • 定理可导函数严格单调性判断
        • 设{f} (x) 在区间 \left ( a,b \right)上可导
        • 对一切x \in \left ( a,b \right ) ，有 {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
        • 在 \left ( a,b \right ) 的任何自区间上 {f}'(x) \ne 0
        • 此判定若在区间封闭侧函数单侧连续结论也成立
      • 推论设函数{f}在区间I上可微，若{f}' (x) >0 ({f}' (x) < 0) ，则{f}在I上严格递增（递减）
      • 定理达布(Darboux)定理（导函数的介值定理）
      • 推论设函数{f} (x)在区间I上满足{f}' (x) \ne 0，那么{f} (x)在区间I上严格单调
  • 柯西中值定理和不定式极限
    • 定理柯西中值定理
      • 几何意义
      • \begin{vmatrix} {f} (a) & {f} (b) & {f} '( \xi) \\ {g} (a) & {g} (b) & {g} '( \xi) \\ {h}(a) & {h} (b) & {h} '(\xi) \end{vmatrix} =0 若xxxx
    • 不定式极限
      • 定义不定式
      • 法则洛必达法则#仿证
        • \frac{0}{0} 型极限
        • \frac{a}{\infin} 型不定式极限
  • 泰勒公式
    • 公式带有Peano余项的Taylor多项式
      • {T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i + o (x^n)
      • 证明
        • 法则洛必达法则#仿证
        • 定义导数
      • 公式Maclaurin公式
        • {f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i
    • 带有Lagrange型余项的Taylor公式
      • 定理泰勒定理
        • {T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}
    • 在近似计算上的应用
  • 函数极值与最大（小）值
    • 极值判别
      • 定理费马定理
      • 定理极值的第一充分条件
        • 设{f}在在点x_0连续，在某邻域U ^ {\circ} (x_0; \delta)上可导
        • (i)若当x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) 时{f} '(x) \le 0，当x \in \left( x_0 , x_0 + \xi \right )时{f}' (x) \ge 0，则{f}在x_0取得极小值
        • (ii)若当x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) 时{f} '(x) \ge 0，当x \in \left( x_0 , x_0 + \xi \right )时{f}' (x) \le 0，则{f}在x_0取得极大值
      • 定理极值第二充分条件
        • 设f在x_0的某邻域U (x_0 ; \delta )上一阶可导，在x=x_0处二阶可导，且{f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) \ne 0
        • 若{f}''(x_0) < 0，则{f}在x_0取得极大值
        • 若{f}''(x_0) > 0，则{f}在x_0取得极小值
      • 定理极值第三充分条件
        • 设{f}在x_0的某邻域内存在直到n-1阶导数，在x_0处n阶可导，且{f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2,\dots ,n-1), {f}^{(n)} \ne 0
        • 当n为偶数时，{f}在x_0取得极值
          • {f}^{(n)}(x_0)< 0时取得极大值
          • {f}^{(n)}(x_0)> 0时取得极小值
        • 当n为奇数时，{f}在x_0处不取极值
      • ⚠️注意
        • 三个充分条件并不适用于判断所有极值点（即使是可导的）
          • {f}(x)= \begin{cases} e ^{- \frac{1}{x^2}}& \text{if} x \ne 0 \\ 0 & \text{if} x=0 \end{cases}
        • 极大值点未必存在使其单调的左(右)邻域
          • {f}(x)=2-x^2(2+\sin \frac{1}{x})
    • 最大值与最小值
      • 定理有界性定理
      • 稳定点
      • 不可导点
      • 区间端点
  • 函数的凸点与拐点
    • 凸函数
      • 定义凸函数
      • 定义严格凸函数
      • • 引理f为I上凸函数的充要条件
        • 定理设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价
          • f为I上凸函数
          • {f} '为I上的增函数
            • 定理设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件是{f} ''(x) \ge 0, x \in I
          • 对I上任意两点x_1,x_2，有{f}(x_2) \ge {f}(x_1) + {f} '(x_1) (x_2-x_1)
      • 推论
        • 可导凸函数极小值充要条件为导数为零
          • 若函数{f}为定义在开区间\left ( a, b \right )上的可函导凸数
          • {f} '(x_0)=0 \Leftrightarrow x_0 \in \left ( a,b \right ) 为f的极小值点
        • 开区间上凸函数不取最大值
        • 公式Jensen(詹森)不等式
          • 若{f}为\left [ a, b \right ]上凸函数
          • \forall x_i \in \left [ a, b \right ], \lambda _i > 0 (i =1, 2, \dots ,n), \sum _{i=1}^{n} \lambda _i =1
          • 有{f} (\sum_{i=1}^{n} \lambda _i x_i) \le \sum_{i=1}^{n} \lambda _i {f}(x_i)
        • 开区间I上凸函数在I上任一点都存在左、右导数
          • 有左、右导数未必有导数
        • {f}为开区间I上凸函数，则{f}在I的任一闭子区间\left [ a, b \right ]上都有界
    • 凹函数
      • 定义凹函数
      • 定义严格凹函数
      • 性质类似凸函数
    • 拐点#未完成
      • 定义拐点
      • 定理
      • 定理
  • 函数图像的讨论
    • 作函数图像的一般程序
      • 1. 求函数的定义域;
      • 2. 考察函数的奇偶性、周期性;
      • 3. 求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等;
      • 4. 确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点;
      • 5. 考察渐近线;
      • 6. 综合以上讨论结果画出函数图像.
  • 方程的近似解
• 一 实数集与函数
  • 实数
    • 性质
      • 关于四则运算封闭
      • 有序性
        • 有理数化为无限小数比较
          • 有限小数表达为无限小数
        • 大小
          • x=y
          • x>y
          • x<y
          • 规定任何非负实数大于负实数
          • 几何意义
      • 大小具有传递性
      • 满足阿基米德性质
      • 稠密性
      • 连续性
  • 数集*确界原理
    • 区间与邻域
    • 区间
      • 有限区间
      • 无限区间
        • +∞
        • -∞
    • 定义上界/下届
    • 定义上确界/下确界
    • 确界远离
• 七 实数的完备性
  • 关于实数完备定理的基本定理
    • 确界原理
      • 有限区间
      • 无限区间
    • 单调有界定理
    • 闭区间套定理
    • 有限覆盖定理
    • 聚点定理\致密性定理
    • Cauchy 收敛准则
    • 实数完备性定理之间相互等价
  • 上极限和下极限
    • 定义数列的聚点
    • 定理有界点列(数列)\left \{ x_n \right \} 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点
    • 定义上下极限
    • 定理\forall \left \{ x_n \right \}有界，有\underline{\lim} _{x \to \infty} x_n \le \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n
    • 定理\lim _{x \to \infty} x_n =A \Longleftrightarrow \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n = \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n= A
    • 定理若\{x_n\}为有界数列
    • 定理上、下极限的保不等式性
    • 定理若\{x_n\}为有界数列
• 函数概念
  • 定义
  • 表示法
  • 四则运算
  • 复合
  • 反函数
  • 初等函数
  • 具有某些特性的函数
    • 有界性
    • 单调性
    • 奇偶性
    • 周期性
• 二 数列极限
  • 数列极限的概念
    • 定义1
    • 定义1’
    • 无穷小数列
    • 无穷大数列
  • 性质
    • 唯一性
    • 有界性
    • 保号性
    • 保不等式性
    • 迫敛性
    • 四则运算法则
  • 子列
    • 定义
    • 数列收敛的充要条件
  • 数列极限存在的条件
    • 原理单调有界原理
    • 归结原则
    • 定理致密性定理
    • 定理Cauchy收敛准则
• 三 函数极限
  • 定义函数极限
  • 性质
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 保号性
    • 保不等式
    • 迫敛性
    • 四则运算法则
  • 函数极限存在的条件
    • 归结原则
    • 3.9
    • 单调有界
    • 柯西准则
  • 无穷大量与无穷小量
    • 无穷小量
      • 性质
        • 两个无穷小量的和差积仍为无穷小量
        • 无穷小量与有界量的积为无穷小量
      • 比较
        • 高阶/低阶
        • 同阶
        • 等价
          • 替换
    • 无穷大量
      • 定义
      • 比较
    • 关系
  • 曲线的渐近线
    • 定义
    • 确定方法
• 四 函数连续性
  • 连续性概念
    • 函数在一点的连续性
      • 定义函数在一点连续性
      • 左（右）连续
      • 充要条件
    • 间断点
      • 定义间断点
      • 分类
        • 第一类间断点
          • 可去间断点
          • 跳跃间断点
        • 第二类间断点
    • 区间上的连续函数
      • 定义区间上连续函数
      • 分段连续
  • 连续函数的性质
    • 连续函数局部性质
      • 局部有界性
      • 局部保号性
      • 四则运算
      • 复合
    • 闭区间上连续函数的基本性质
      • 定理最大、最小值定理
        • 定理有界性定理
      • 定理介值性定理
      • 定理根的存在定理
    • 反函数的连续性
    • 一致连续性
      • 定义一致连续性
      • 原理归结原理
      • 定理一致连续性定理
  • 初等函数的连续性
    • 指数函数的连续性
    • 初等函数的连续性
      • 定理 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数
      • 定理任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
• 五 导数和微分
  • 导数的概念
    • 导数的定义
      • 定义导数
        • {f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } }=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0}+ \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}
        • 定义不可导
        • 公式有限增量公式
        • 定理可导\Rightarrow连续 (反之不然)
      • 定义单侧导数
        • 定理{f}'(x_0)存在的条件
    • 导函数
      • 定义导函数/导数
    • 导数的几何意义
      • 切线方程 y-y_0= {f}'(x_{0})(x-x_0)
      • 定义极值
        • 定义稳定点
        • 定理费马定理
        • 推论 若函数{f}在区间I上可导，且{f}' (x) = 0, x \in I ，则{f}为I上的一个常值函数
        • 推论若函数{f}和{g}均在区间I上可导， 且{f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I，则在区间I上，{f} (x) ={g} (x) + c（c为某一常数）
        • 推论 定理导数极限定理
  • 公式求导法则
    • 基本求导法则
      • 四则运算
        • (u \pm v) '=u ' \pm v '
        • (uv) '=u 'v+v 'u
        • (\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}
          • ( \frac{1}{v}) '=- \frac{v '}{v^2}
      • 反函数的导数
        • f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}
        • \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
      • 复合函数的导数
        • ({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)
        • \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}
    • 基本初等函数的导数公式
      • (c) ' =0
      • (x^a) '=ax^{a-1}
      • \Delta
        • (\sin x) '=\cos x
        • (\cos x) '=-\sin x
        • (\tan x) '=\sec^2 x
        • (\cot x)'=-\csc ^2 x
        • (\sec x) '=\sec x \tan x
        • (\csc x) '=-\csc x \cot x
      • (a^x) '=a^x\ln a
        • (e^x) '=e^x
      • (\log_{a}{x}) '=\frac{1}{x\ln a}
        • (\ln x) '=\frac{1}{x}
    • 技巧
      • 对数求导法
  • 参变量函数的导数
    • 平面曲线C的参变量方程
    • 光滑曲线
    • \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}
  • 高阶导数
    • 定义二阶导数{f}''
      • 定义二阶可导
    • 定义高阶导数
      • {f}^{(n)}(x_0) {f}^{(n)}
      • {y}^{(n)}|_{x=x_0} {y}^{(n)}
      • \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}|_{x=x_0} \frac{\mathrm{d} ^n y}{\mathrm{d}x^n}
    • 运算后高阶导数
      • 加减
        • [{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}
      • 乘法
        • 公式莱布尼茨公式
        • ({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{(k)}}
        • 其中 {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}
  • 微分
    • 微分概念
      • 定义微分 \mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta x 或 \mathrm{d}{f}(x)|_{x=x_0}=A \Delta x
      • 微分的几何解释
      • 定义可微函数
      • 性质
        • 一阶微分形式的不变性
    • 公式微分的运算法则
      • \mathrm{d}[{u}(x) \pm {v}(x)] = \mathrm{d} {u}(x) \pm \mathrm{d} {v}(x)
      • \mathrm{d}[{u}(x) {v}(x)] ={v}(x) \mathrm{d}{u}(x) + {u}(x) \mathrm{d} {v}(x)
      • \mathrm{d} \frac{{u}(x)}{{v}(x)}= \frac{{v}(x) \mathrm{d} {u}(x) - {u} (x) \mathrm{d} {v} (x)}{{v} ^2 (x)}
      • \mathrm{d} ({f }\circ {g} (x))= {f} '(u) g '(x) \mathrm{d} x ={f} ' ({u}) \mathrm{d} {u}
    • 高阶微分
      • 定义二阶微分 \mathrm{d} ^2 y ={f} ''(x) \mathrm{d} {x^2}
      • 定义高阶微分 \mathrm{d}^n y = {f} ^{(n)} (x) \mathrm{d} x^n
      • 不再具有形式的不变性
    • 微分在近似计算中的应用
      • 函数的近似计算
        • 以直代曲
          • {f} (x_0 + \Delta x) \approx {f} (x_0) +{f} ' (x_0) \Delta x , \Delta x很小
          • {f} (x) ={f} (x_0) + {f} '(x_0) (x-x_0) ,x \approx x_0
      • 误差估计
        • 测量值x_0的误差限\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|
        • |\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \approx |{f} ' (x_0) \Delta x| \le |{f} '(x_0)| \delta_x
        • 相对误差限\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}| \delta_x
    • 符号记法
      • \mathrm{d} ^2 x= \mathrm{d} (\mathrm{d} x)
      • \mathrm{d} x^2= (\mathrm{d} x)^2