数与代数：比和比例

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数与代数：比和比例

• 比
  • 比的概念
    • 比的意义
      • 两个数相除又叫两个数的比
    • 比的各部分的名称及读、写方法
      • 在两个数的比中，符号“：”是比号，读作“比”。
      • 比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项，比的前项除以比的后项，所得的商叫作比值，比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。
      • 9比5记作9：5，读作九比五。
    • 比的各部分之间的关系
      • 前项=后项×比值；后项=前项÷比值
  • 比的除法、分数的关系
    • 与除法、分数的主要联系和区别
    • 关系应用
      • 根据比与除法、分数的关系，因为分母、除数都不能为0，所以比的后项也不能为0.
      • 根据分数和除法的关系，两个数的比也可写成分数形式。
  • 比的基本性质
    • 性质
      • 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
    • 应用
      • 根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
  • 求比值和化简法
    • 求比值的方法
      • 方法：求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项。
      • 结果：它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是分数或小数。
      • 注意：比值是个数，结果不能是比的形式。同类两量求比值，统一单位要牢记。
    • 最简整数比
      • 定义
        • 比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
      • 特点
        • 比的组成为整数，前项、后项为两个互质数，即分子、分母只有公因数，不能进行约分。
    • 化简比意义
      • 根据比的基本性质，把两个数的比化成最简整数比，叫作比的化简，也叫化简比。
    • 化简比的方法
      • 整数比的化简
        • 原来的比的前项和后项都是整数时，前项和后项都除以它们的最大公约数。
      • 含有小数的比的化简
        • 根据小数点的移动规律，先将前项和后项都扩大相同的倍数，将它们化为整数比，然后再按照化简数比的方法化简。
      • 含有分数的比的化简
        • 用分母的最小公倍数去乘比的前项和后项，把分数化成整数比，再把整数比化简。
      • 注意事项
        • 前项和后项的单位名称不一样的，先统一单位再化简，化简后的结果不带单位名称。
        • 比的化简结果可以化成分数的形式，但不能化成小数。
    • 化简比与求比值的区别
      • 区别
      • 拓展
        • 小数与小数比的化简方法：两个数可以同时乘以10、100.....把小数化成整数，结果不变，然后按照整数化简比的方法进行 。
    • 比的应用
      • 按一定的比分配问题
        • 把一个数量按照一定的比分配成几部分，求每部分的数量各是多少的问题叫作按比分配问题。
      • 解题方法
        • 一般方法
          • 把比转化为分数，用分数方法解答，即先求总分数，再求出各部分数量占总量的几分之几，最后按照一个数的几分之几是多少的方法，分别求出各部分的量。
        • 归一法
          • 把比看作分得的分数，先求出总份数，再用“总量÷总分数=平均每份的量（归一）”最后用“平均每份的量×各部分量所对应的分数”求出各部分的量。
        • 举例
          • 有甲乙丙三种车，甲乙丙数量比是2：2：3，已知丙有12辆，则甲有（ 8 )辆， 乙有（ 8 ）辆。
          • 解题
• 比例
  • 比例的意义及基本性质
    • 比例的意义
      • 表示两个比相等的式子叫作比例
    • 比例各部分的名称
      • 组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
      • 示例：
    • 比例的基本性质
      • 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。
      • 示例：
    • 判断两个比能否组成比例
      • 1、根据比例的意义判断。
      • 2、根据比的基本性质。
        • 利用比的基本性质，把两个比都化成最简整数比，如果所化成的最简整数比相同，那么这两个比就能组成比例，否则不能。
      • 3、根据比例的基本性质
        • 如10：12和25：30就能组成比例，因为：10×30=300，12×25=300
  • 解比例
    • 定义
      • 根据比例的基本性质，如果已知比例中任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项，求比例中的未知项，叫作解比例。
    • 解比例的步骤
      • 1）写“解”字。2）找出内项和外项，判断x是内项还是外项；3)如果x是内项，把另外一个内项和x放在一起；40解方程。
    • 举例
  • 正比例和反比例
    • 成正比例的量
      • 定义
        • 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这量种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
      • 表达式
        • x 、y表示关联的量，k表示它们的比值（一定）：
    • 成反比例的量
      • 定义
        • 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这量种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
      • 表达式
        • x 、y表示关联的量，k表示它们的比值（一定）：xy=k
    • 正、反比例关系的判断方法
      • 判断这两种量是否为相关联的量，一种是不是随着另一种量的变化而变化。
      • 判断这两种量相对应的比值（或积）是否一定，当比值（或积）一定时，这两种量就成正（或反）比例关系。
      • 举例
        • 铺地面积一定，每块方砖的面积和用砖的块数成反比例：每块方砖的面积×方砖的块数=总面积（一定）。
        • 在y=7x, x和y 成正比例。因为 y:x=7（一定）
        • 总价一定，单价和数量成反比例，因为单价×数量=总价（一定）。
        • 圆的面积和它的半径，不成比例，圆的面积与半径的平方成正比例，s:r²=π（s=πr²）。有些量是相关的量，一种量也随着变化，但它们既不成正比例也不成反比例。
    • 正比例与反比例的区别与联系
  • 比和比例的对比
    • 示意表
  • 比例的应用
    • 比例尺
      • 定义
        • 一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
        • 图上距离：实际距离=比例尺 或
      • 分类
        • 数字比例尺
          • 表示图上距离与实际距离的比，通常把比例尺写成前项或后项是1的比，如1：1000，有时也写成：
        • 线段比例尺
          • 在图上附有一条注明数目的线段：
    • 图形的放大与缩小
      • 图形的各边按一定的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状不变。
    • 用比例解决问题步骤
      • 1）分析题意，找出等量关系；
      • 2）判断题中两种相关联的量是成正比例还是反比例；
      • 3）设未知量x，并注明单位；
      • 4）根据等量关系列出比例式，并解比例式；
      • 5）检验，写出答案。
    • 举例
      • 题目
        • 用边长是15厘米的正方形地砖给教室铺地，需要2800块。如果改用边长是25厘米的正方形地砖铺地，需要多少块？
      • 解答
      • 注意
        • 所用的两种地砖的面积和所用块数成反比例，不是边长与块数成反比例。
• 乐享其中
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