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数与代数---数的认识
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编辑于2024-12-13 09:35:16
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数与代数---数的认识
因数倍数
因数与倍数的定义
意义
定义
在整数除法中，如果商是整数而没用余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。（此处所说的数指的是自然数，一般不括0）。56÷7=8，56是7的倍数，或者说7是56的因数。
两者的关系
因数和倍数是一种互相依存的关系，任何一方都不能单独存在。
找因数的方法
把一个数表示为两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数，当两个因数相等时，就作为一个因数看待。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
找倍数的方法
一个自然数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。在给定范围内找一个自然数的倍数，可以用这个自然数分别乘以1，2，3，....直到所得的积都在给定的范围内为止。
倍与倍数的区别：倍数是严格限制在整除范围内，而倍只体现在乘法的概念中。
倍数的特征
2的倍数的特征
特征
如果一个数的个位上的数是0、2、4、6或8，那么这个数就是2的倍数。
偶数
整数中，是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数）也叫双数。最小的偶数是2，没有最大的偶数。
奇数
在整数中，不是2的倍数的数叫奇数，也叫单数。最小的奇数是1，没有最大的奇数。
奇数和偶数的性质
偶数±偶数=偶数， 奇数 ±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数；偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
5的倍数的特征
如果一个数的个位上的数是0或5，那么这个数就是5的倍数。
3的倍数的特征
如果一个数的个各位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。如12，108，249等。
2、5倍数的特征
如果一个数的个位上的数字是0，那么这个数既是2的倍数，又是5的倍数。
2、3倍数的特征
如果一个数的个位上的数字是0，2，4，6或8，并且各位上的数的和是3的倍数，，那么这个数既是2的倍数，又是3的倍数。如，12，24，30，36等。
2、3和5倍数的特征
如果一个数的个位上的数字是0，并且各位上的数的和是3的倍数，，那么这个数既是2和5的倍数，又是3的倍数.如120 ，270，330等。
质数和合数与分解质因数
质数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），如2、3、5、7、11、13都是质数，最小的质数是2。
质数中只有2是偶数，其余均是奇数。
合数
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。例如，4，6，9，10，15都是合数。最小的合数是4。
1既不是质数，也不是合数。
分解质因数
把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数，其中这几个质数叫作这个合数的质因数。
例如：120=2×2×2×3×5，其中2，3，5本身是质数，又是120的因数，所以2，3，5是120的质因数。
分解质因数的方法
塔式分解法（合数比较小）
短除法（除数一定是质数）
最大公因数和最小公倍数
公因数和最大公因数
公因数
几个数公有的因数
最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个公因数，叫作这几个数的最大公因数。
最大公因数示意：
互质数
定义
公因数只有1的两个数叫作互质数，也叫互素数。
互质
当两个或两个以上的数是互质数时，我们就说它们互质。如9和10的公因数只有1，所以它们是互质数。互质的两个数不一定都是质数，如24和25是合数，但它们又是互质数。
相邻的两个自然数互质，两个不同的质数互质；1和任何自然数互质。
质数、质因数和互质数的比较
质数是除了1和它本身以外，不再含有别的因数的数。如：7，11，13，23等。
质因数本身就是一个质量，而且是某一个合数的因数，例如：3和5是15的质因数。
互质数是两个数的公因数只有1。例如，15和16的公因数只有1，它们是一对互质数。
求最大公因数的常用方法
分解质因数法
将几个数各自分解成质因数形式，把公因数相乘得出最大公因数。
例：求24和18的最大公因数。24=2×2×2×3，18=2×3×3；它们都含有质因数2和3，所以24和18的最大公因数是2×3=6。
短除法
例：求16、28、36的最大公因数。
公倍数和最小公倍数
定义
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫作这几个数的最小公倍数。
最小公倍数示意
求最小公倍数的常用方法
分解质因数法
就是将这几个数各自分解成质因数的形式，所有质因数的乘积就是最小公倍数。
例：12和32的最小公倍数是96。
当两个数成倍数关系时，较大的那个数是它们的最小公倍数。
短除法
举例：18、36和30的最小公倍数是180。
示意
枚举法
分别把几个数的倍数按从小到大的顺序列举出来，然后从中找到相同且最小的数。
最大公因数和最小公倍数的关系
表达式
最大公因数：
整数a,b的最大公因数记为（a,b) 。
最小公倍数：
整数a,b的最小公倍数记为[a,b] ,a,b,c的最小公倍数记为[a,b,c]。
定理
（a,b)[a,b]=ab （a,b均为整数）
应用：已知两个数的积是150（ab=150），最小公倍数为30 即[a,b]=30，求这两个数的最大公因数(a,b)。(a,b)=150÷[a,b], (a,b)=150÷30=5
短除法在求两个数的最大公因数和最小公倍数的区别
求两个数的最大公因数时，是把短除式中的除数连乘。
求两个数的最小公倍数时，是把短除式中的除数和最后的商连乘。
示例：
小数
小数的意义和分类
意义
把单位“1”平均分成10份、100份、1000份......表示这样的一份或几份的数，写成不带分母的形式，称为小数。分母是10、100、1000.......的分数都可以用小数表示，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几......。
小数点把小数分为两部分，它的左边是整数部分，右边是小数部分。
小数的计数单位与进率
计数单位
十分之一、百分之一、千分之一、万分之一 ....... 分别写作0,1、0.01、0.001、0.0001......即小数十分位上的计数单位是十分之一，百分位上的计算单位是百分之一.........。
进率
每相邻两个计算单位间的进率都是10，小数部分的最高位十分位与整数部分的最低位个位的计算单位之间的进率也是10.
最高位与最低位
整数部分只有最低位，没有最高位；小数部分只有最高位，没有最低位。
小数的分类
根据整数部分是否为0来分
纯小数
整数部分是0的小数，叫作纯小数。如0.3;0.09等。
带小数（混小数）
整数部分不是0的小数，叫作带小数（混小数）。如 2.35,218.12等。
根据小数部分的位数是否有限
有限小数
小数部分的位数是有限的小数。
无限小数：
循环小数
纯循环小数：循环节是从小数部分第一位开始的。如：4.2222......；0.4848......。
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。如：5.23737......；6.7822222........。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，书写时，只需写出循环节，并在这个循环节的首位和末尾的数字上各加一个点。
无限不循环小数：小数部分，数字排列无规律且位数无限。如：π
小数的组成、读写
小数的数位顺序表
小数的读法
读小数时，整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每一位上的数字。小数点后有几个0，就读几个0 。
小数的写法
写小数时，先写整数部分，小数点写在个位数的右小角，小数部分 顺次写出每一位上的数字。小数末尾的0可以省略。
小数的性质
小数的基本性质
在一个小数的末尾添上“0”或去掉“0”，这个小数的大小不变。“小数末尾”是指小数的最低位。
小数点位置移动引起小数大小变化的规律。
小数点向右移动一位、两位、三位......原来的数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍.......。
小数点向左移动一位、两位、三位......原来的数就缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一.......
小数的大小比较
先看整数部分
整数部分大的那个小数就大
整数部分相同，再看小数部分（从高位比起）
十分位上的数字大的那个小数就大，十分位上的数相同，就看百分位，百分位上的数大的那个小数就大.......直到比较出大小。
小数的求近似数。
四舍五入
在用“四舍五入”法求小数的近似数时，若保留n位小数，则只要看小数部分（n+1）位上的数字，该位上的数字若≧5，则向n位进1；若＜5，则舍去。
常见的精确度
保留整数：精确到个位，或精确到1 。
保留1位小数：精确到十分位，或精确到0.1；
保留两位小数：精确到百分位，或精确到0.01；......
近似数表示注意的问题
要注意近似数末尾的0不能随意取舍。末尾有0和无0，表示的精确度不同。
正数与负数
定义
正数
像12，23%，7/9 、56........这样大于0的数叫正数。
正数有无限个，没有最大的正数，也没有最小的正数。最小的正整数是+1 。
负数
像-12，-23%，-7/9 、-56........这样小于0的数叫负数。“-”号不能随意省略。
没有最大的负数，也没有最小的负数。最大的负整数是-1 。
读、写
读
正数的读法：“+”读作“正”，数字前加“+”号的，一定要读出“正”字，并且“+"后面是几就读作正几；数字前面省略”+“号的，”正“字省略不读。
负数的读法：”-“读作”负“，”-“号后面是几就读作负几，”负“字’不能省略不读。
写
正数：写正数时，数字前面的”+”既可以保留，也可以省略。
负数：写负数时，数字前面的“-”号不能省略。
应用：在表示一对具有相反意义的量时，为了把正数和负数区分开来，写正数的时候就在数的前面写“+”，写负数的时候则在数的前面写“-”。
借助直线上的点比较正、负数的大小
直线上0的右边为正数，0的左边为负数；正数>0 ,负数<0.
负数的比较大小
在直线上，越往右数越大，越往左越小，正数 >负数。
负号后面的数越大，这个负数反而越小。
负数的大小比较与正数相反，负数中与0越接近的数越大
正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数。
日常生活的应用
用正、负数表示两个具有相反意义的量
表示物体重量的偏差范围，如一袋大米重50±2千克。
表示河水的警戒水位，警戒水位记为0 正表示高于警戒水位，负表示低于警戒水位。
提示：哪一个量为正，哪一个量为负不是固定不变的，可根据实际情况而定。
百分数
意义和读写
意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数。百分数指的是两个数的比，因此百分数也叫作百分率或百分比。像22%，59%，66.15%........这样的数都是百分数。
读法
一个百分数，百分号“%”前面的数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。
写法
先写分子，再写百分号“%”，如：3.35%。
百分数与分数的联系和区别
联系
百分数是一种特殊的分数，二者都可以表示两个量的倍比关系。
区别
百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位，而分数除可表示两个数的倍比关系，还可以表示具体的数，表示具体的数时可以带单位。
百分数的分子可以是整数，也可以是小数，且百分数不可以约分，而分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数，且分数通过约分可以化成最简分数。
应用范围不同。
小数、分数、百分数的互化
小数与分数互化
小数化分数
把小数改写成分母是10,100,....的分数，能约分的要约成最简分数。
分数化小数
用分子除以分母。
小数与百分数互化
小数化成百分数
小数点向右移动两位，添上百分号。
百分数化成小数
去掉百分号，把小数点向左移动两位。
百分数与分数互化
百分数化成分数
先把百分数改写成分母是100的分数，再约成最简分数。
分数化成百分数
先化成小数（分子除以分母）。再化成百分数。
应用
折扣
商店有时降价出售商品，叫作打折扣销售，通常称为”打折“几折就表示十分之几，也就是百分之几十。
买几送几的含义：比如买四送一，共计4+1=5件，实际支付4件的钱，4÷（4+1）=0.8，这里的买四送一相当于打8折。
税率
缴纳给国家的税款叫作应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额......）中应纳税部分的比率叫作税率。
税收主要分为消费税、增值税和个人所得税。
利率
存入银行的钱叫作本钱；取款时银行多支付的钱叫作利息；单位时间内利息与本金的比率叫作利率。利率常用百分数来表示。
利息=本金×利率×存期。
成数
工农业生产时经常用“成数”表示增长的情况，几成就是十分之几，也可以用百分数表示，几成就百分之几十。
例如：“二成”就是十分之二，改写成百分数是20%。
分数
分数的意义和分类
分数的意义
分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。
分数的单位
把单位”1“平均分成若干份，表示其中一份的数，叫作分数的单位。
单位分数
分数单位即分子是1，分母是正整数的分数，又叫单位分数，记为
分数各部分名称
分母
在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫作分数的分母。
分子
在分数里，表示取了多少份的数叫作分数的分子。
分数线
在分数里，分子和分母中间的横线，叫作分数线。
示例
把单位“1”平均分成8份，表示其中的5份的数。
分数的分类
真分数
分子比分母小的分数叫作真分数。真分数都比1小。
真分数是分子和分母无公因数（1除外）或者说分子、分母互质的分数（分母大于分子）
假分数
分子比分母大或者分子和分母相等的分数
整数
带分数
由整数和真分数两部分合起来的分数叫作带分数。
带分数的整数部分不得为0，分数部分必须是真分数。
假分数是大于1或等于1的数。
分数的读法和写法
读法
读真分数或假分数时，先读分母，再读“分之”，最后读分子。读带分数时，先读整数部分，再度小数部分，两者之间加“又”字。
写法
写真分数或假分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子，写带分数时，先先整数部分，再写小数部分。
分数和除法的关系
区别
分数是一种数，除法是一种运算。
联系
两个数相除，它们的商可以用分数表示 即
假分数与整数或带分数的互化
假分数化成整数或带分数的方法
方法
用假分数的分子除以分母
结果
如果能整除，那么商就是所化成的整数。例如：
如果不能整除，那么商就是带分数的整数部分，余数就是带分数的分数部分的分子，分母不变。例如：
整数或带分数化成假分数的方法
整数化成假分数
所有的整数（0除外）都可以看成分母为“1”的假分数，可以根据需要依据分数的基本性质改变分子和分母的大小
方法：用指定的一个整数（0除外）作分数的分母，用分母和该整数的积作分子。
举例：把7化成分母是9的假分数。
带分数化成假分数
方法：用原来分数的分母作分母，用分母和整数部分相乘的积再加上原来的分子所得的和作分子。
举例：
分数的基本性质
基本性质
性质： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
例如
分子或分母的变化引起分数值的变化
分数的分母不变
分子乘（或除以）几（0除外），分数值就乘（或除以）几。
举例：
分数的分子不变
分母乘（或除以）几（0除外），分数值就除（或乘以）几。
举例：
最简分数
定义
分子和分母是互质数的分数叫最简分数。
互质数
公因数只有1的两个数叫互质数。
约分
定义
把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。约分后应通常得到最简分数。
方法
逐次约分
用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出最简分数。
一次约分
用分子分母的最大公因数去除分子和分母，直接得到最简分数。
特殊分数的约分
分子、分母末尾有零的，可以先划去分子和分母中相同个数的0，再约分。
通分
定义
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。通分时化成的相同的分母叫作公分母。
方法
先求出原来几个分数分母的最小公倍数，然后把原分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
约分和通分的联系与区别
对象不同
约分
对一个分数而言
通分
对多个分数而言
目的不同
约分
化成最简分数
通分
化成同分母分数
方法不同
约分
逐次约分、一次约分。
通分
先求最小公倍数，再化成用这个最小公倍数作分母的分数。
依据相同
分数的基本性质
结果相同
分数值不变
分数的大小比较
同分母分数比较
分子大的分数比较大。
同分子分数比较
分母小的分数比较大。
分子、分母都不相同分数比较
一般先通分再比较大小，或者把它们化成分子相同的分数后比较大小，也可以把各个分数化成小数再比较。
真分数假分数比较
真分数都小于1，假分数都大于1，所以假分数总大于真分数。
带分数间比较
首先看它们的整数部分，整数部分大的带分数就大；若整数部分相同，则比较它们的分数部分，然后判断大小。
分数与小数的互化
小数化成分数
方法：先把小数改写成分母是10，100.1000.....的分数，再化成最简分数。
例如：
分数化成分数
方法：用分子除以分母，如果能除尽，就能化成有限小数；如果除不尽，化成的就是无限小数，此时可根据需要按“四舍五入”法保留一定位数（一般保留三位小数）
例如：
整数
意义和分类
意义
像......,-3,-2,-1,0,1,2,3.....这样的数统称为整数。整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数。
整数的分类
自然数
正整数：大于0的整数。
0：不仅表示“没有”，而且还可以表示特定的数值，如起点、占位、分界点等。
负整数
小于0的整数。
十进制计数法
计数法
计数：数数。
计数单位：
十进制计数法：
数位与位数
数位
用数字表示数的时，计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫作数位
位数
一个自然数用几个数字写出来，有几个数字就几位数，或者说一个自然数含有几个数位，就是几位数。
整数的数位顺序表
整数的读写
读法
读万以内的数：
读万以上的数：
写法
注意0的占位问题。
整数的改写和求近似数
改写：
把一个整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数时，就时把万位或亿位后面的4个0或亿位后别的8个0省略，换成一个“万”或“亿”字。
把一个不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数时，在万位或亿位数字右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在后面加上“万”或“亿”字。
准确数和近似数
准确数：数据与实际完全一致。
近似数：与实际数大体相符或接近
准确数和近似数之间不能用”=“连接，而用”≈“连接，读作”约等于“
求近似数的方法
四舍五入
”四舍“时得到的数比准确数小，”五入“时得到的数比准确数大。
进1法
用 进1法得到的数近似数总比准确数大。（不管多余部分的数多少，都要向前一位进。
去尾法
用去尾法得到的近似数总比准确数小
改写和省略尾数的区别
方法不同
结果不同：数的改写得到准确数，省略尾数得到近似数。
与原数的关系不同，改写不改变原数的大小用”=“，省略尾数改变了原数的大小用”≈“。
整数的比较大小
先看位数，位数多的数大；位数相同，从高位比较，相同数位上的数大的那个数就大。
主题
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