导图社区 数与代数：数的运算（总图）
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数与代数：数的运算（总图）
整数的运算
整数的加法
加法的意义
把两个数合并成一个数的运算，叫作加法。
加数、和：相加的两个数叫作加数，加得的数叫和。
加法竖式的运算规则
多位数加多位数时，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上得数相加满十，就像前进一位。
加法的运算定律
加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，或先把后面两个数相加，和不变。 （a+b)+c=a+(b+c)
应用
适当使用加法交换律和结合律，可以降低计算难度。
和的变化规律
和变化
如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。a+b=c ,a+m+b=c+m, a-m+b=c-m ,（a+m)+(b-n)=c+m-n,
和不变
如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数也减少（或增加）同一个数，那么它们的和不变。（a+m)+(b-m)=c
整数的减法
减法的意义
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数
减法竖式的运算法则
多位数减多位数时，要把被减数与减数的相同数位对齐，再从个位开始减，被减数哪一位上的数不够减时，要从前一位退一当十，和本位上的数加在一起再减，这叫退位，也叫错位。
减法验算：可以用加法验算和用减法验算。
减法的运算性质
连减
一个数连续减去两个数等于这个数减去这两个数的和。a-b-c=a-(b+c)
减两个数的差
一个数减去两个数的差，等于这个数先减去差里的被减数，然后加上减数。a-(b-c)=a-b+c
去括号的要求
去掉括号时，如果括号外面的是减号，那么括号内的符合要变号；如果括号外面是加号那么括号内的符号不变。
差的变化规律
差变化
如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。若a-b=c 则 (a±m)-b=c ±m
如果被减数和减数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们的差就减少（或增加）同一个数。
差不变
如果被减数和减数同时增加（或减少）同一个数，它们的差不变 。
加法和减法的关系
关系
减法是加法的逆运算
加、减法各部分之间的关系
加数+加数=和，和 －加数=另一个加数。
被减数-减数=差， 被减数-差=减数，差+减数=被减数
利用上述几个关系式，可以进行加、减法的验算。
整数的乘法
整数乘法的意义
意义
求几个相同加数的和的简便运算，叫作乘法。
表达式
因数×因数=积 a ×b =c
整数乘法竖式运算规则
规律
末尾对齐，从个位乘起，用因数每一位上的数乘另一个因数；用因数哪一位上的数去乘，所得的积的末位就与那一位对齐，最后把几次相乘的积加起来。
验算
积÷其中一个因数=另一个因数；运用乘法交换律，交换两个因数的位置再算一遍。
乘法的运算定律
乘法交换律
两个数相乘，交换两个数的位置，积不变。a×b=b×a
注意：乘法交换律适用只含有乘法运算的式子。
乘法结合律
三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律
定律
两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，所得结果不变。（a+b)×c=a×c+b×c 。该定律不仅可以正向运用，还可以逆向运用。
用运算规律可以简化计算。运用结合律和交换律的原则是使得因数相乘得到整十、整百、整千的数。
积的变化规律
积变化
一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个不为0的数，它们的积也乘（或除以）这个数。a ×b=c, a÷m×b=c÷m , a×m×b=c×m (m≠0）
积不变
一个因数乘（或除以）一个不为0的数，另一个因数除以（或乘以）这个数，它们的积不变。a ×b=c, a×m×（b÷m)=c (m≠0）
整数的除法
整数除法的意义
已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。除法是乘法的逆运算。
注意事项
0除以任何一个不为0的数，商都是0，即0÷a=0 a≠0
除和除以要分清。例如：9÷3可以读成9除以3，也可读成3除9 。
有余数的除法
被除数÷除数=商.......余数 如 ：14÷5=2.....4
在有余数的整数除法里，余数一定要比除数小。最大的余数比除数小1 。
各部分间的关系
被除数=商×除数+余数 ；除数=（被除数-余数）÷商
常用“被除数=商×除数+余数”来验算带有余数的除法算式。
整数除法的运算法则和运算性质
除法竖式的运算法则
从被除数的最高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如果前几位比除数小，那么就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面。
如果被除数的哪一位商不够1，那么就在那一位上写“0”占位。
每次除得得余数必须比除数小。
试商的方法
当除数接近整十、整百数时，通常把除数看作整十、整百的数来试商。
把被除数和除数一起看作正十数、整百数或几十数几百数来试商。
除法的运算性质
一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。a÷b÷c=a÷（b×c) b≠0，c ≠0.
商的变化规律
商不变
在除法里，被除数和除数同时（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。(a×c)÷(b×c)=a÷b (c≠0）；(a÷c)÷(b÷)=a÷b (c≠0）
在有余数的除法里，如果被除数和除数同时（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，但它们的余数要乘（或除以）这个数。
商变化
如果被除数乘（或除以）一个不为0的数，除数不变，那么它们的商也要乘（或除以）一个相同的数。a÷b=c ,( a×n)÷b=c×n ; (a÷n)÷b=c÷n (n≠0）
如果被除数不变，除数乘（或除以）一个不为0的数，除数不变，那么它们的商反而要除以（或乘）一个相同的数。a÷b=c , a÷（b×n)=c÷n ; a÷（b÷n)=c×n (n≠0）
乘法和除法的关系
除法是乘法的逆运算。
因数×因数=积， 因数=积÷因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数， 被除数=商×除数。
乘、除法的验算
乘法的验算
用乘法交换律进行验算
用除法进行验算
除法的验算
用乘法验算
用除法验算：交换除数与商的位置。
有余数的除法验算：被除数=除数×商+余数。
整数的四则运算
定义
四则运算
加法、减法、乘法、除法统称为四则运算。
四则混合运算
在一个算式里，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上的运算的称为四则 混合运算。
一、二级运算
在四则混合运算中，加法、减法被称为第一级运算，乘法和除法被称为第二级运算。
运算顺序
算式无括号
只有加、减法或只有乘、除法：按从左往右的顺序计算。
既有乘、除法，又有加减法：先乘、除法，再加减法。
算式有括号
只有小括号：先算小括号里面的，再算小括号外面的。
有小括号和中括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的 。
小数的运算
小数的加法和减法
小数加法、减法的意义与整数加、减法的意义相同。
运算法则
先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点的位置点上小数点。得数的小数部分末尾有0的，一般要把0去掉。
当被减数的数位不够时，需在它的末尾补0.
巧记：一对齐，二计算，三点点，四化简。
小数的乘法和除法
小数的乘法运算规则
计算小数乘法时，先按整数乘法的运算法则算出积，再看因数中小数一共有几位，就从积的最右边起向左依次数出几位，点上小数点。当积的小数位数不够时，要在前面补0占位。当积的末尾有0时，点上小数点后，可以把小数部分末尾的0去掉。
小数的除法运算规则
除数是整数的小数除法：按照整数除法的运算法则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末位仍然有余数，那么就在被除数的末尾后面添0继续计算。
除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点使它变成整数。根据商不变的规律，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，位数不够时在被除数的末尾用0补足，然后按除数是整数的小数除法进行计算。
举例
小数的四则运算
与整数相同
当算式中出现分数与小数时，可以根据具体情况，把分数化为小数或把小数化为分数，方便计算。
分数的运算
分数的加法和减法
与整数加、减法的意义相同
同分母分数
同分母分数相加、减，分母不变，分子相加、减
异分母分数
异分母分数相加、减，先通分化成分母分数，再按照同分母分数加、减法的法则进行运算。
通分时找到两个分母的最小公倍数作为两个分母的公分母。
结果化简
得数通常要化成最简分数。
分数的乘法
分数乘整数
与整数的乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便计算。
一个数乘分数
就是求这个数的几分之几是多少。
用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的最好在相乘前就约分化简 。
例如：
分数乘分数
用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分，然后再计算。
例如
分数乘小数
先将分数化为小数，或将小数化为分数，再用小数乘分数，或分数乘分数。能约分的先要约分再计算。
倒数
乘积是1的两个数互为倒数。ab=1,a与b互为倒数。
0没有倒数。
单独的一个数不能称为倒数。倒数是相互依存的两个数。
求倒数
找真分数、假分数的倒数
交换分子分母的位置即可。
找整数的倒数
先将整数看作分母为1的假分数，再交换分子分母的位置。
找带分数的倒数
先将带分数化成假分数，再交换分子分母位置。
找小数的倒数
先将小数转化成分数，再交换分子分母的位置。
分数的除法
分数除以整数
已知一个数的几倍是多少，求这个数。
一个数除以分数
已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
分数的四则运算
与整数运算相同
整数的加法和乘法的运算定律和整数和、差、积、商的变化规律对于分数同样适应。分数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算完全相同。
乐享其中
030
