数与代数 数的认识：因数倍数 最大公因数和最小公

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数与代数 数的认识：因数倍数 最大公因数和最小公倍数

• 公因数和最大公因数
  • 公因数
    • 几个数公有的因数
  • 最大公因数
    • 几个数的公因数中，最大的一个公因数，叫作这几个数的最大公因数。
  • 最大公因数示意：
• 互质数
  • 定义
    • 公因数只有1的两个数叫作互质数，也叫互素数。
  • 互质
    • 当两个或两个以上的数是互质数时，我们就说它们互质。如9和10的公因数只有1，所以它们是互质数。互质的两个数不一定都是质数，如24和25是合数，但它们又是互质数。
    • 相邻的两个自然数互质，两个不同的质数互质；1和任何自然数互质。
  • 质数、质因数和互质数的比较
    • 质数是除了1和它本身以外，不再含有别的因数的数。如：7，11，13，23等。
    • 质因数本身就是一个质量，而且是某一个合数的因数，例如：3和5是15的质因数。
    • 互质数是两个数的公因数只有1。例如，15和16的公因数只有1，它们是一对互质数。
• 求最大公因数的常用方法
  • 分解质因数法
    • 将几个数各自分解成质因数形式，把公因数相乘得出最大公因数。
    • 例：求24和18的最大公因数。24=2×2×2×3，18=2×3×3；它们都含有质因数2和3，所以24和18的最大公因数是2×3=6。
  • 短除法
    • 例：求16、28、36的最大公因数。
• 公倍数和最小公倍数
  • 定义
    • 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫作这几个数的最小公倍数。
  • 最小公倍数示意
• 求最小公倍数的常用方法
  • 分解质因数法
    • 就是将这几个数各自分解成质因数的形式，所有质因数的乘积就是最小公倍数。
    • 例：12和32的最小公倍数是96。
    • 当两个数成倍数关系时，较大的那个数是它们的最小公倍数。
  • 短除法
    • 举例：18、36和30的最小公倍数是180。
    • 示意
  • 枚举法
    • 分别把几个数的倍数按从小到大的顺序列举出来，然后从中找到相同且最小的数。
• 最大公因数和最小公倍数的关系
  • 表达式
    • 最大公因数：
      • 整数a,b的最大公因数记为（a,b) 。
    • 最小公倍数：
      • 整数a,b的最小公倍数记为[a,b] ,a,b,c的最小公倍数记为[a,b,c]。
  • 定理
    • （a,b)[a,b]=ab （a,b均为整数）
    • 应用：已知两个数的积是150（ab=150），最小公倍数为30 即[a,b]=30，求这两个数的最大公因数(a,b)。(a,b)=150÷[a,b], (a,b)=150÷30=5
  • 短除法在求两个数的最大公因数和最小公倍数的区别
    • 求两个数的最大公因数时，是把短除式中的除数连乘。
    • 求两个数的最小公倍数时，是把短除式中的除数和最后的商连乘。
    • 示例：
• 乐享其中
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