平面向量及其应用

这是一篇关于平面向量及其应用的思维导图，主要内容包括：总结与拓展，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的应用，平面向量的运算，平面向量的概念。

平面向量及其应用

• 平面向量的概念
  • 向量的定义
    • （1）既有大小又有方向的量。 （2）表示方法：a⃗ 或AB⃗ （从点 A 到点B 的向量）
  • 向量的几何表示
    • 用有向线段表示，长度表示模，箭头表示方向
  • 向量的模
    • 向量a⃗ 的模记作|a⃗ |，表示向量的长度
    • 坐标表示：若a⃗ =（x,y），则|a⃗ |=√(x²+y² )
  • 零向量与单位向量
    • 零向量：模为 0，方向任意，记作0 ⃗
    • 单位量：模为 1，与非零向量a⃗ 同方向的单位向量为e⃗ =a⃗ /|a⃗ |
  • 向量相等
    • 若两个向量的模相等且方向相同，则这两个向量相等
• 平面向量的运算
  • 向量加法
    • 三角形法则：a⃗+b⃗ 是以a⃗ 和b⃗ 为邻边的三角形的第三边
    • 平行四边形法则：a⃗+b⃗ 是以a⃗ 和b⃗ 为邻边的平行四边形的对角线
    • 坐标表示：若a⃗ =（x₁，y₁）和b⃗ =（x₂，y₂），则a⃗+b⃗ =（x₁+x₂，y₁+y₂）
  • 向量减法
    • a⃗ - b⃗ =a⃗+（- b⃗ ）
    • 坐标表示：a⃗ - b⃗ =（x₁- x₂，y₁- y₂）
  • 数乘运算
    • 实数k 与向量a⃗ 的乘积ka⃗ 是一个向量，其模为|k||a⃗ |，方向与a⃗ 相同（k>0）或相反（k<0）
    • 坐标表示：a⃗ =（x₁，y₁），则ka⃗ =（kx₁，ky₁）
  • 运算性质
    • 交换律：a⃗+b⃗ =b⃗ +a⃗ 结合律：(a⃗+b⃗ )+c⃗=a⃗+(b⃗ +c⃗ ) 分配率：k(a⃗+b⃗ )=ka⃗+kb⃗
• 平面向量基本定理及坐标表示
  • 平面向量基本定理
    • 如果 ​e₁⃗ 和e₂⃗ 是同一平面内不共线的两个向量，那么该平面内的任意向量a⃗ 都可以唯一表示为 a⃗ =xe₁⃗ +ye₂⃗ ，其中x 和y 是实数。
  • 坐标表示
    • 在平面直角坐标系中，向量a⃗ 可以表示为a⃗ =（x，y)，其中x和y分别是a⃗ 在x轴和y轴上的投影。
  • 向量的模与距离公式
    • 向量a⃗ =（x，y)的模：|a⃗ |=√(x²+y²)
    • 两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）的距离：√((x₁- x₂)²+(y₁- y₂)²)
• 总结与拓展
  • (1)平面向量是研究几何和物理问题的重要工具; (2)向量的运算（加法、减法、数乘、数量积）是解决实际问题的核心。
  • （1）向量的叉积（三维空间）； （2）向量的线性相关性； （3）向量在解析几何中的应用（如直线方程、圆的方程等）。
• 平面向量的应用
  • 几何问题
    • 平行四边形的性质
      • （1）对角线互相平分； （2）对边平等且相等。
    • 三角形的性质
      • 中线定理：三角形的三条中线交于一点（重心）
      • 重心坐标公式：若三角形顶点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则 重心坐标为（（x₁+x₂+x₃）/3，(y₁+y₂+y₃)/3)
    • 直线的斜率：方向向量为a⃗ =（x₁，y₁），则斜率为k=b/a
  • 物理问题
    • 力的合成与分解
      • （1）利用向量加法求合力； （2）利用向量投影分解力。
    • 速度的合成与分解
      • （1）利用向量加法求合速度； （2）利用向量投影分解速度。
  • 向量共线与垂直的判断
    • 共线：若a⃗=kb⃗ ,则a⃗ 与b⃗ 共线 垂直：若a⃗ *b⃗ =0，则a⃗ 与b⃗ 垂直
  • 向量的数量积（点积）
    • a⃗ *b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cosθ,其中 θ 为两向量的夹角
    • 若a⃗ =（x₁，y₁）和b⃗ =（x₂，y₂），则a⃗ *b⃗ =x₁x₂+y₁y₂