导图社区 人教版初一上学期数学知识点思维导图
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人教版初一上学期数学知识点思维导图
一、有理数
1. 有理数的概念
正数与负数
正数定义:大于0的数(符号可省略)
负数定义:小于0的数(符号为“-”)
应用场景:表示相反意义的量(如收入/支出、上升/下降)
有理数分类
按定义分:整数(正整数/0/负整数)、分数(正分数/负分数)
按性质分:正有理数(正整数/正分数)、0、负有理数(负整数/负分数)
数轴
三要素:原点、正方向(通常向右)、单位长度
数轴上数的大小比较:右边的数 > 左边的数
相反数
定义:只有符号不同的两个数(a的相反数为-a)
性质:a + (-a) = 0;数轴上互为相反数的点关于原点对称
绝对值
几何意义:数轴上表示数a的点到原点的距离(|a|)
代数意义:|a| = {a (a≥0), -a (a<0)}
性质:|a| ≥ 0;|a| = |-a|
2. 有理数的运算
(1)加减法
加法法则
同号相加:取相同符号,绝对值相加(如:3 + 5 = 8;-3 + (-5) = -8)
异号相加:取绝对值较大的符号,用较大绝对值减较小绝对值(如:3 + (-5) = -2;-3 + 5 = 2)
加法交换律:a + b = b + a
加法结合律:(a + b) + c = a + (b + c)
减法法则
a - b = a + (-b)(转化为加法)
加减混合运算:统一成加法后按运算律计算
(2)乘除法
乘法法则
同号得正,异号得负,绝对值相乘(如:3×5=15;-3×5=-15)
乘法交换律:a×b = b×a
乘法结合律:(a×b)×c = a×(b×c)
乘法分配律:a×(b + c) = a×b + a×c
除法法则
a ÷ b = a × (1/b)(b≠0,转化为乘法)
两数相除,同号得正,异号得负,绝对值相除(如:15÷3=5;-15÷3=-5)
0除以任何非0数得0
(3)乘方与科学记数法
乘方
定义:aⁿ表示n个a相乘(a为底数,n为指数)
性质:正数的任何次幂为正;负数的奇次幂为负,偶次幂为正
科学记数法
形式:a×10ⁿ(1≤|a|<10,n为整数)
转换规则:原数绝对值≥10时,n=整数位数-1;原数绝对值<1时,n为负整数(如:0.0005=5×10⁻⁴)
混合运算顺序
先乘方,再乘除,最后加减
同级运算从左到右
有括号先算括号内(小→中→大)
二、整式的加减
1. 整式的概念
单项式
定义:数或字母的积(单独的数或字母也是单项式)
系数:单项式中的数字因数(如:-3x²的系数为-3)
次数:所有字母的指数和(如:5x³y²的次数为5)
多项式
定义:几个单项式的和
项:每个单项式称为多项式的项(不含字母的项为常数项)
次数:次数最高项的次数(如:2x³ - 3x²y + 4的次数为4)
整式:单项式与多项式统称整式
2. 整式的加减运算
同类项
定义:所含字母相同且相同字母的指数也相同的项
合并同类项法则:系数相加,字母及指数不变(如:3x² + 5x² = 8x²)
去括号法则
括号前为“+”:直接去括号,各项符号不变(如:+(a + b) = a + b)
括号前为“-”:去括号后各项符号相反(如:-(a - b) = -a + b)
括号前有系数:系数分配到括号内各项(如:2(a + 3b) = 2a + 6b)
整式加减步骤
去括号 → 合并同类项 → 按降幂排列
三、一元一次方程
1. 方程的基本概念
方程定义:含有未知数的等式
一元一次方程
定义:只含一个未知数(元),未知数的次数为1,等号两边都是整式
标准形式:ax + b = 0(a≠0)
方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值
2. 解方程的步骤
去分母(若有分母)
依据:等式性质2(两边同乘各分母的最小公倍数)
注意:不漏乘不含分母的项,分子为多项式时加括号
去括号
依据:乘法分配律和去括号法则
注意:括号前为负号时各项变号
移项
依据:等式性质1(两边同加/减同一个数)
规则:将含未知数的项移到左边,常数项移到右边,移项要变号
合并同类项
化简方程为ax = b(a≠0)
系数化为1
依据:等式性质2(两边同除以a)
解为x = b/a
3. 应用题类型与公式
行程问题
基本公式:路程=速度×时间(s = vt)
相遇问题:s₁ + s₂ = 总路程(v₁ + v₂)×t = s总
追及问题:s₁ - s₂ = 路程差(v₁ - v₂)×t = s差
航行问题:顺水速度=船速+水速;逆水速度=船速-水速
工程问题
基本公式:工作量=工作效率×时间(通常设总工作量为1)
合作效率:甲效率+乙效率=合作总效率
利润问题
利润=售价-成本
利润率=利润/成本×100%
售价=标价×折扣率(如:八折即标价×0.8)
数字问题
两位数表示:十位数字×10 + 个位数字(如:ab=10a + b)
配套问题
比例关系:生产数量按比例分配(如:螺钉与螺母数量比为1:2)
四、几何图形初步
1. 几何图形分类
立体图形:柱体(圆柱/棱柱)、锥体(圆锥/棱锥)、球体
平面图形:三角形、四边形、圆等
展开图与三视图
展开图:立体图形展开后的平面图形
三视图:主视图(正视图)、俯视图、左视图
2. 点线面体
点、线、面、体关系
点动成线,线动成面,面动成体
直线与线段
直线性质:两点确定一条直线
线段性质:两点之间线段最短
线段中点:若M是AB中点,则AM = MB = AB/2
射线:直线上一点和它一旁的部分(如:射线OA)
3. 角的概念与运算
角的定义
静态定义:由公共端点的两条射线组成的图形
动态定义:由一条射线绕端点旋转形成的图形
角的度量
单位:度(°)、分(′)、秒(″)(1°=60′,1′=60″)
角度换算:如1.5°=90′,30′=0.5°
角的大小比较
度量法:用量角器测量度数比较
叠合法:将角的顶点和一边重合,比较另一边位置
角平分线
定义:若OC平分∠AOB,则∠AOC = ∠COB = ∠AOB/2
余角与补角
余角:∠A + ∠B = 90° ⇒ ∠B = 90° - ∠A
补角:∠A + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 180° - ∠A
性质:同角/等角的余角相等;同角/等角的补角相等