多元函数微分法及其应用

这是一篇关于大学高等数学第九章——多元函数微分法及其应用的思维导图 主要内容包括：多元函数，偏导数，全微分，多元复合函数求导法则，隐函数的求导公式，多元函数微分学的几何应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法。

多元函数微分法及其应用

• 多元函数
  • 平面点集
    • 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，记作E={(x,y)具有性质P}
      • 点
        • 聚点
          • 内点(P1）
          • 边界点(P3)
            • 边界：E的边界点的全体
              • E的边界点可能属于E，也可能不属于
        • 外点(P2)
      • 重要点集
        • 开集：E全是E的内点
        • 闭集：E的边界属于E
        • 连通集：E内任何两点都可以用折线连接
        • • 闭区域：开区域+边界
          • 开区域：联通的开集
        • • 有界集
          • 无界集
  • 多元函数的概念
    • 定义
      • z=f(x1,x2,...,xn),(x1,x2,...,xn)∈D
    • 极限
      • 二重极限存在，则P以任何方式趋于P0，f都无限趋近于A
        • 二重极限f(x,y)与累次极限
          • 若极限存在，三者相同；若未知极限是否存在，不能知二求一或知一求二
        • 证明(X,Y)极限只能用定义
        • 以不同方式逼近时，lim不相等/不存在,则此处无极限
        • 求极限：依旧用一重积分的方法
    • 连续性
      • 三个条件必须都满足
        • 函数此处有定义
        • 函数极限存在
        • 极限值=函数值
        • • 间断点：函数在P(x0,y0）不连续
          • 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（因为原初等函数连续）
      • 定理
        • 有界性与最大值最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值/最小值
        • 介值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于max、min之间的任意值
        • 一致连续性：在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续
• 偏导数
  • 定义
    • 只有x为自变量，y视为固定值
    • 偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商
    • 偏增量：f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)
  • 几何意义：如y为固定值，为曲线在定点处切线对x轴的斜率
  • • 对于多元函数而言，即使偏导数在某点都存在，也不能保证函数值在该点连续
      • 各偏导数存在只能保证P沿平行轴的方向趋于P0，但不能保证以任意形式趋于P0时都为函数值
    • 分段函数应用定义，不能直接求导
  • 高阶偏导数（以二阶为例）
    • 混合偏导数：
      • 顺序：由左往右依次求偏导
    • 二阶纯偏导：
• 全微分
  • 全增量：
    • 表示两点之间的距离
      • 证明全微分成立，只需证明
  • 性质
    • 可微必然连续
    • 可微必然可求偏导
    • 偏导数存在且连续则必然可微
      • 逆否命题：偏导数不存在，函数不可微
        • 则f在领域内也可微
  • 在近似计算中的运用
• 多元复合函数求导法则
  • 题型
    • 一元函数与多元函数复合
      • • 用全导数公式求出dz/dt后，要将u、v回代
    • 多元函数与多元函数复合
      • （多元复合函数的链式法则）
        • 该方程组中，因子的项数等于树根图中x到z的路径数
    • 其它情形
      • （多元抽象复合函数的求导）
    • 核心在于画清楚树根图
  • 全微分形式不变性：设z=f(u,v)具有连续性偏导数，则有全微分
    • 若u,v为中间变量，有
      • 则
• 隐函数的求导公式
  • 一个方程的情形
    • • 求dy/dx，分别固定x,y的情形下对原式分别求偏导，Fx,Fy满足该链式法则
  • 方程组的情形
    • 对方程组中同一自变量求偏导，再用克莱姆法则得到偏导数
• 多元函数微分学的几何应用
  • 一元向量值函数及其导数
  • 空间曲线的切线与法平面
    • 参数方程
      • • 切线方程
        • 法平面方程
          • 切向量既是曲线在特定一点处的方向向量，又是该点法平面的法向量
    • 方程组
      • 对两个方程组同一未知数求偏导，由克莱姆法则求其值
  • 曲面的切平面与法线
    • 切平面方程
    • 法线方程
      • • 可知全微分的几何意义：切平面上数坐标的增量。
        • 故切平面是在曲面上的最佳逼近
    • 方向余弦：
• 方向导数与梯度
  • 方向导数（本质是数）
    • 沿某个方向函数值的变化率（可正可负可为0）
    • 推广至多元
  • 梯度（本质是向量）
    • • （方向导数与梯度的关系）
        • • 梯度方向：在P点函数值增加最快的方向
        • • 梯度反方向：在P点函数值减少最快的方向
        • • 梯度线90°方向：在P点函数值不变的方向
    • 等值线:L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*，L*为等值线
      • 单位法向量
• 多元函数的极值及其求法
  • 极值
    • 必要条件：z在特定点有偏导数，且该处有极值，则有Zx=0,Zy=0
      • 反之不成立
    • 充分条件：
      • ＞0，有极值
        • A>0，极大值
        • A<0，有极小值
      • <0，无极值
      • =0，此法失效
    • 几何意义：z=f(x,y)在特定点有切平面，则切平面z-z0=fx(x-x0)+fy(y-y0)成为平行于xOy的平面z=z0
    • • 偏导数不存在的点，也可能是极值点
      • 若偏导数存在，极值点必为驻点
      • 驻点不一定为极值点
      • 临界点
        • 驻点
        • 偏导数不存在的点
  • 最值
    • 求定义域D
    • 求所有可能的极值点（驻点和偏导数不存在的点）
    • 的函数值
    • 比较②、③中的max、min
    • 实际问题中
      • 根据问题的性质，知道函数的最大/小值在D内部，而函数在D内只有一个驻点，那么该驻点的函数值就为最大/小值
  • 条件极值：对自变量有附加条件的极值
    • 转化为无条件极值
    • 拉格朗日乘数法
      • • 令
          • L对x,y,z求偏导数，解三元方程