数量关系

"数学解题利器：高效攻克工程、经济、行程等高频题型！本指南聚焦数量关系核心模块，涵盖工程问题、经济利润、行程问题等21类题型，提供直接代入法、数字特性法及组合解法特别整理钟表问题、溶液浓度等场景公式（如相遇次数n与距离s的关系），搭配排列组合高频考点详解几何比例关系（相似比平方=面积比）、容斥原理、概率计算等技巧，附方程法/赋值法等7种解题方法掌握环形运动本质、方阵公式等关键点，快速突破利润计算、牛吃草等实际应用题！"

数量关系

• 解题方法
  • 代入排除法
    • 适用题型
      • 选项信息充分
        • 每个选项中给了两个或两个以上的数据
      • 固定题型
        • 多位数问题
        • 年龄问题
        • 星期日问题
        • 不定方程问题
    • 代入原则
      • 最值代入
        • 问“最大”“最多”优先从选项中最大的数字代入
        • 问“最小”“最少”优先从选项中最小的数字代入
      • 就简代入
        • 无“最值”，优先代入简单的条件和简单的数据
  • 数字特性法
    • 适用题型
      • 题目中出现分数、百分数、比例、倍数、余数、平均数
    • 常见特性
      • 奇偶性
        • 和差同性
          • 两个数的和是偶数，它们的差也是偶数
          • 两个数的和是奇数，它们的差也是奇数
        • 奇反偶同
          • 两个数的和或差是偶数，则两个数奇偶相同
          • 两个数的和或差是奇数，则两个数奇偶相反
        • 乘法中的特性
          • 奇数×奇数＝奇数
          • 奇数×偶数＝偶数
          • 偶数×偶数＝偶数
      • 特殊数字整除特性
        • 2、4、8整除及余数判定基本法则
          • 一个数能被2（或）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除
          • 一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除
          • 一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除
        • 3、9整除及余数判定基本法则
          • 一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除
          • 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除
      • 比例倍数特性
        • 如果a：b＝m：n（m、n互为质数），则a是m的倍数，b是n的倍数，a±b是m±n的倍数
        • （m、n互为质数)
          • 则a是m的倍数，b是n的倍数，a±b是m±n的倍数
  • 赋值法
    • 适用题型
      • 题目中没有给出某个具体值的大小，且这个具体值的大小并不影响最终结果
      • 题目中的量化关系满足a＝b×c，且只给定其中一个量或未给定任意一个量
      • 主要用来解决工程问题、经济利润问题、行程问题、溶液问题等
    • 使用方法
      • 量与量之间满足a＝b×c时，赋值公倍数
      • 量与量之间的比例关系明显，赋值比例
  • 枚举归纳法
    • 枚举法
      • 适用于：满足题目的情况数较少，能够一一列举所有满足题意的情况
    • 归纳法
      • 适用于：答案要求数字较大或没有明显规律，从较小数字出发，总结归纳其通用规律，从而得出答案
  • 方程法
    • 基本方程（设准未知数）
      • 求谁设谁
        • 题目简单明了，根据题目所求设未知数
      • 设中间量
        • 直接设题目所求计算较难，且题目中多个量都与其中某个量（中间量）有关系， 则设该中间量为未知数进行求解
      • 设Nx
        • 当所设未知数前面的系数是分数或小数时，未知数设为Nx（N为分母的公倍数）
    • 不定方程
      • 特征：方程式个数少于未知数的个数
      • 方法：找等量关系－设未知数－列方程－解方程
        • 结合直接代入法或数字特性法求解
      • 不定方程组解法
        • 将不定方程组转化为不定方程求解
        • 赋“0”法
          • 所求为一个整体值
          • 题干中未知数没有整数解要求
• 初等数学问题
  • 约数倍数
    • 定义
      • 整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。
    • 题型特征
      • 存在公共不变量
      • 存在周期特征
    • 核心知识
      • 约数个数计算
        • ，则A的 约数个数为（m＋1）×（n＋1）个
      • 分数公约数、倍数
      • 短除法
  • 数列与平均数
    • 数列
      • 等差数列
        • 列项公式
        • 通项公式
        • 求和公式
      • 等比数列
        • 通项公式
        • 求和公式
    • 平均数
      • 平均数=总数÷总个数
      • 总数=平均数×总个数
  • 星期日期
    • 平年闰年判定
      • 平年（共365天，2月28天）
        • 年份不能被4整除
      • 闰年（共366天，2月29天）
        • 世纪年
          • 年份能够被400整除
        • 非世纪年
          • 年份能够被4整除
    • 大月小月判定
      • 大月（31天）
        • 一、三、五、七、八、十、十二
      • 小月（30天）
        • 四、六、九、十一
    • 间隔”N“天
      • 指每”N＋1“天
    • 星期判定
      • 每周7天，根据间隔天数除以7之后的余数推论星期几
        • 余数为0，则星期不变；余数是几，则星期加几
    • 日期判定
      • 根据间隔按大小月分布情况进行推论
  • 循环周期
    • 确定循环周期的起点及周期数
      • 总数除以周期数推论答案
• 工程问题
  • 题型特征
    • “打螺丝”都是工程问题
  • 核心公式
    • 工作总量=工作效率×工作时间
  • 常用方法
    • 赋值法
    • 方程法
  • 题型
    • 给定时间型
      • 特征：题干给出不同主体完成整个工作所需要的时间
      • 方法：赋值法
      • 步骤：赋值工作总量（完成工作时间的公倍数）—求效率（求出每个主体的工作效率）—找等量关系解答
    • 效率制约型
      • 特征：题目中给出各个主体之间效率的关系
      • 方法：赋值法
      • 步骤：直接赋值各个主体的效率—求出总量或时间—找等量关系解答
    • 综合题型结合两种方法进行解答
• 经济利润问题
  • 常见公式
    • 利润=售价-成本
      • 实际利润=售价-成本
      • 期望利润=定价-成本
      • 售价=定价×折扣
    • 总售价（总收入）=单价×销售量
    • 总利润=单件利润×销售量
    • 总成本=单件成本×销售量
    • • 实际利润
  • 主要题型
    • 基本公式计算类
      • 赋值法、方程法、列表分析法
    • 利润率折扣类
      • 赋值法、方程法、列表分析法
    • 梯度计费类
      • 方程法、列表分析法
    • 最值优化类
      • 方程法、列表分析法
• 行程问题
  • 常用公式
    • 基本公式
      • 路程=速度×时间，
    • 相遇距离
    • 追及距离
    • 单边多次相遇
      • n为相遇的次数，s为两地之间的距离
    • 两边多次相遇
    • 环形相遇（同一起点，反向运动）
      • n为相遇次数，s为环形周长
    • 环形追及（同一起点，同向运动）
    • 顺水行船
    • 逆水行船
    • 等距离平均速度
• 排列组合问题
  • 基本公式
    • 排列（有顺序）
      • • 例：
    • 组合（无顺序）
      • • 例：
  • 区分方法
    • 将挑选出来的元素换个顺序，如果变成新的情况即为排列，用A表示
    • 将挑选出来的元素换个顺序，如果没有变化即为组合，用C表示
  • 加法（分类）原理
    • 若完成一件事，可以根据某个条件分为几种情况，各种情况都能独立完成任务，则将多种情况计算出的结果相加，所得的和为完成这件事的种类数，即分类相加
    • 一件事“可以……也可以……”或者是“或”的关系，用加法
  • 乘法（分步）原理
    • 若完成一件事，需要划分成多个步骤依次完成，每个步骤内的任务之间没有交叉，则将每个步骤计算出的结果相乘，所得的积为完成这件事的种类，即分步相乘
  • 解题方法
    • 捆绑法
      • 相邻问题
        • 某些元素要求必须挨在一起，需要把下相邻的元素先看作一个整体，然后与其余元素进行排列，再将相邻元素进行排列，利用乘法原理得到最终结果
    • 插空法
      • 不相邻问题
        • 某些元素不能在一起，需要将剩余元素先进行排列，在这些元素排列之后每两个元素之间会有缝隙，把要求不相邻的元素放入到这些缝隙中，则这些特殊要求的元素一定不相邻
    • 插板法
      • 分配问题
        • 用插板把元素分组
          • 可用前提
            • 只适用于“相同元素”分组问题
            • 每组至少有一个元素
            • 待分配元素必须全部分完
• 概率问题
  • 对随机事件发生的可能性的度量
    • 公式
      • 某种情况发生的概率=满足条件的情况数÷总的情况数
    • 分类概率（分类相加）
      • 某项任务可以在多种情况下完成，则分别求解满足条件的每种情形的概率，然后将所有概率相加
    • 分步概率（分步相乘）
      • 某项任务必须按照多个步骤完成，则分别求解特定条件下每个步骤的概率，然后再将所有概率相乘
      • 多结合排列组合一起考查
• 容斥原理
  • 两集合容斥原理
    • 公式
      • 满足条件1的个数+满足条件2的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
  • 三集合容斥原理
    • 公式
      • 总体I=满足条件A+满足条件B+满足条件C-只满足两个条件-2×满足三个条件+都不满足条件
      • 总体I-都不满足条件=满足条件A+满足条件B+满足条件C-只满足两个条件-2×满足三个条件
• 几何问题
  • 平面几何
    • 三角形
      • 三边关系
        • 两边之和大于第三边，两边只差小于第三边
      • 面积
        • • a为底边，h为底边上的高
      • 等边三角型面积
        • • a为等边三角形边长
      • 直接三角形
        • 勾股定理
        • 30°所对直角边等于斜边的一半
        • 斜边中线长度等于斜边的一半
      • 相似三角形
        • 两角分别对应相等的两个三角形相似
        • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
        • 三边成比例的两个三角形相似
        • 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似
        • 相似比等于周长比等于边长比，相似比的平方等于面积比
    • 四边形
      • 正方形
        • 面积
        • 周长
      • 长方形
        • 面积
        • 周长
      • 梯形
        • 面积
      • 菱形
        • 面积
          • S=对角线的乘积÷2
    • 圆与扇形
      • 圆形
        • 面积
        • 周长
      • 扇形
        • 面积
        • 周长
        • n为扇形圆周角的度数
  • 立体几何
    • 正方体
      • 表面积
      • 体积
    • 长方体
      • 表面积
      • 体积
    • 球体
      • 表面积
      • 体积
      • R为半径，D为直径
    • 圆柱体
      • 底面积
      • 侧面积
      • 表面积=底面积+侧面积
      • 体积=底面积×高
    • 锥体
      • 圆锥体积
      • 棱锥体积
      • 正三棱锥体积
  • 几何特性
    • 如果将一个图形尺度变为原来的N倍，则有（等比缩放性质）
      • 对应角度不变
      • 对应周长变为原来的N倍
      • 面积变为原来的N∧2倍
      • 体积变为原来的n∧3倍
    • 几何最值理论
      • 平面图形
        • 周长一定，越接近圆，面积越大
        • 面积一定，越接近圆，周长越小
      • 立体图形
        • 表面积一定，越接近球，体积越大
        • 体积一定，越接近球，表面积越小
• 年龄问题
  • 特性
    • 年龄差不变
    • 过N年，每个人都长N岁
    • 属相问题（循环周期）
      • 周期12年
    • 本命年
      • 年龄为12的倍数
  • 解题方法
    • 代入排除法
    • 方程法
• 比赛问题
  • 循环赛
    • 没两支队伍之间有且仅有一场比赛
      • 公式
  • 淘汰赛
    • N支队伍，角逐出冠亚军需进行N-1场比赛
    • N支队伍，角逐出前四名需进行N场
  • 单循环比赛
    • 比赛完成
      • 公式法
    • 未完成
      • 图示法
• 方阵问题
  • “n×n”型
    • 总量＝n×n
    • 最外层＝4n－4
  • “m×n”型
    • 总量＝m×n
    • 最外层＝2（m＋n）－4
• 牛吃草问题
  • 公式
    • Y＝（N－X）×T
      • Y代表原有存量
      • N代表促使原有存量减少的变量
      • X代表存量的自然增长速度
      • T代表存量完全消失所消耗的时间
• 溶液问题
  • 公式
    • 溶液＝溶剂＋溶质
    • 浓度＝溶质÷溶液
    • 混合浓度＝总溶质÷总溶液
• 钟表问题
  • 本质：环形运动问题
    • 时针与分针的相遇与追及
  • 特性
    • 时针转速为0.5°/分（每一分钟角度变化为0.5°）
    • 分针转速为6°/分（每一分钟角度变化为6°）
  • 时针与分针一昼夜关系
    • 垂直44次
    • 重合22次
    • 180°角22次