《2页纸图解数学》【英】里奇.科克伦

这是一个关于《2页纸图解数学》【英】里奇.科克伦的思维导图，书中对数学的核心概念进行了高度精炼的概括，每个概念或定理都力求在2页纸内呈现完毕，确保读者能够在短时间内获取关键信息。

《2页纸图解数学》【英】里奇.科克伦

• 1. 数学技巧
  • 1.公理、定理和证明
    • 多维度看全
      • 欧几里得《几何原本》
      • 数学研究通常包含从一组现存公理中证出新定理的过程；数学家有时也会发明出一组新公理
    • 关键点梳理
      • 数学理论是可从一组给定的起始假设中证出的所有事实的集合
      • 公理（定义）就是那些起始假设
      • 如果你能用这些公理进行论证，并从中推导出一个先前没人明确给出的结论，这个结论就被称作定理
      • 用来得出这个结论的论证过程就是证明
      • 证明过程无误，若公理为真，则定理必然为真
    • 一分钟记忆：我们以公理作为假设来证明定理
  • 2.归纳法
    • 多维度看全：弗朗西斯科.毛罗里科
    • 关键点梳理：通过连锁反应来进行证明：n→n+1
    • 一分钟记忆：通过归纳法，我们可以在有限的时间内，证明无穷多个可被有序排列的事实
  • 3.归谬法
    • 多维度看全：命题不为真即为假：如果它不能不成立，那么它就一定成立
    • 关键点梳理：布尔代数：如果一组命题为真，那么指向它的一组子命题不可能为假
    • 一分钟记忆：要想证明一个命题为真，可以先暂假设该命题为假，若推出矛盾，则证明完毕
  • 4.极限
    • 多维度看全：无穷过程存在某种意义上的最终状态，就是极限
    • 关键点梳理：极限值
    • 一分钟记忆：一个有极限值存在的过程会越来越接近它的极限值
  • 5.逻辑
    • 多维度看全
      • 从纯符号的角度去处理逻辑；用逻辑自身来研究逻辑；
      • 逻辑门是现代数字计算机的基石
    • 关键点梳理：如果一个论证的逻辑形式是准确无误的，那么我们称它是对确的。
    • 一分钟记忆：对于一个论证而言，真实性取决于内容本身，是否对确则与逻辑形式有关
  • 6.哥德尔不完全性定理？
    • 多维度看全：哥德尔：我可以证明，存在一个句子，该句为真，我们却无法将它证明
    • 关键点梳理
      • 哥德尔第一定理：存在一些关于自然数的命题，这些命题为真，我们却不能在系统中将它们证明
      • 哥德尔第二定理：这样的理论无法证明它自身的一致性
    • 一分钟记忆：任何一个一致且能用基本算法表达的正式理论，都可以引申出它自身无法证真也无法证伪的命题，从而使它的一致性无法得到证明
  • 7.集合论
    • 多维度看全
      • 康托尔：给定一组数构成的合集，无须知道具体的数值便可提出与这些数相关的抽象问题
      • 清晰有效用简单的零件构建出复杂事物的数学工具
    • 关键点梳理:集合A、B构建新的合集，如P(A)、P(B)、P(A')、P(AÇB)
    • 一分钟记忆:集合可以作为严谨、概念简单的”积木块“帮助我们构建出复杂的概念
  • 8.积
    • 多维度看全：自集合论被投入常规使用以来，许多数以外的数学对象也渐渐可以开始作积。如一条线乘以一条线是二维空间
    • 关键点梳理：集合A与集合B，A´B的新集合的每个元素都是一个包含原有集合A\B两个元素的有序对。如群积、域积、向量空间积等
    • 一分钟记忆：不只有数，积的观点可以推广到任意两个集合之间
  • 9.映射
    • 多维度看全：集合A中的每个元素与集合B中的一个元素联系起来，称为A映射到B。箭头始于定义域（集合A），指向陪域（集合B）
    • 关键点梳理：定义域中的元素必须有指向，且不超过一个
    • 一分钟记忆：定义域的每个元素都通过一个箭头指向了陪域
  • 10.等价
    • 多维度看全：初始集合中的每一个元素都属于其中一个子集，且不能属于其他子集，这些子集为等价类
    • 关键点梳理
      • 元素a»元素吧,即a和b等价（按分类有相同之处）
      • 公理定义：a»a恒为真；如果a»b，那么b»a恒为真；如果a»b、b»c，那么a»c为真。
    • 一分钟记忆：等价关系可以使我们将集合划分为几个等价类；我们将等价的元素聚在一起
  • 11.逆
    • 多维度看全：调转箭头方向，将一个映射逆转
    • 关键点梳理：I的逆映射与I十分相似；陪域中的每一个元素都被且只被映射I中的一个箭头指向时，称I为双射
    • 一分钟记忆：如果陪域中每个元素都有且只有一个指向它的箭头，这个映射可逆。
  • 12.施罗德-伯恩斯坦定理
    • 多维度看全：集合论可严谨证明有关无穷集命题
    • 关键点梳理：A指向B的映射，B中的每个元素都不会被一个以上的箭头指向，从B指向A的映射，A中的每个元素都最多只会被一个箭头指向，那么A和B中的元素数量相等
    • 一分钟记忆：A³B且B³A，那么A=B;通过一对映射，可以比较两个集合的大小
  • 13.范畴
    • 多维度看全：抽象化、普遍化，遵循着某种模式
    • 关键点梳理：一个范畴由两部分组成：一组对象和一组对象之间的映射（即态射）。两个范畴内的对象和态射可以通过函子来建立联系。
    • 一分钟记忆：许多数学对象会时常呈现出某些重复出现的模式，即便它们看起来并不相像。范畴论就在试图捕捉并分析这些模式。
• 2. 各种类型的数
  • 14.自然数
    • 多维度看全：自然数是历史最悠久的数学对象，也是最寻常的。自然数算数公理经常被用于逻辑检测
    • 关键点梳理：归纳；皮亚诺公理的后继运算：S(3)=4.
    • 一分钟记忆:+1不断重复直至无穷；在自然数范畴内，我们可以任意进行加和乘，却无法总能进行减和除
  • 15.科拉茨猜想
    • 多维度看全：任取一个自然数，是1则结束，是偶数则取半，都不是则乘以3加1，重复这个过程。会在有限的步骤内结束吗？
    • 关键点梳理：迭代的过程在科技领域有着显著的重要性
    • 一分钟记忆：迭代过程的规则十分简单，但其往往会出现一些极为复杂、难以理解的情况
  • 16.希尔伯特旅馆
    • 多维度看全：À0（阿列夫零）用来指一个可数无穷集的基数
    • 关键点梳理：无穷集合独有的一个性质，部分可以等于整体
    • 一分钟记忆：À0+1=À0；2À0=À0
  • 17.质数
    • 多维度看全：因数分解到终止，最小的部分叫做质数；因数分解只有一种可能，算术基本定理
    • 一分钟记忆：一个质数不能被除1和它自己以外的任何整数整除。
  • 18.孪生质数猜想
    • 多维度看全：比2大的质数中两个相邻的奇数都是质数，成为孪生质数。孪生质数可否无穷尽地找到？
    • 一分钟记忆：如果N是质数，N+2也是质数，它们就是孪生质数。
  • 19.哥德巴赫猜想
    • 多维度看全：1742年，哥德巴赫写信给欧拉，任何一个大于2的质数都可以写成两个质数之和？
    • 一分钟记忆：给定一个质数N，是否存在质数P和质数Q，使N=P+Q。
  • 20.负数
    • 多维度看全：自然数是0以上的；整数是将自然数的概念进行拓展得到的，包括来负数和0.
    • 一分钟记忆：一个数乘以-1，不改变大小的情况下改变符号。
  • 21.有理数
    • 多维度看全：无法整除，引入了有理数，实际上是“有比数”
    • 一分钟记忆：如果A和B都是整数，那么只要B不为零，A/B就是有理数。
  • 22.幂
    • 多维度看全：不断乘以同一个值的过程，就是幂最基础的形式。幂可以拓展为负数幂和分数幂。
    • 关键点梳理：A的1次方是A，A的0次方是1，负数幂是正数幂分之一。分数幂意味着取根。
  • 23.多项式
    • 多维度看全：由变量和系数构成的表达式
    • 关键点梳理：次数、根与因式分解，代数基本定理（n次多项式有n个根）
    • 一分钟记忆：变量的加减乘组合。
  • 24. 对数
    • 多维度看全：幂运算的逆运算
    • 关键点梳理：换底公式，用于简化乘除为加减。
    • 一分钟记忆：求指数→解方程。
  • 25. 无理数
    • 多维度看全：无限不循环小数
    • 关键点梳理
      • 不可表为分数，实数集的不可数子集。
    • 一分钟记忆
      • 无理数和有理数是不可分割的，可以看作无穷小数。
      • 不能被写成两个整数的比值的数被成为无理数。
  • 26. 实数
    • 多维度看全
      • 实数：有理数+无理数，连续统的基础
    • 关键点梳理
      • 实数和物理书都是用同一种方式定义：有理数构成的无穷序列的极限，其中每个有理数都接近这个极限值。
        • 达到：有理数
        • 达不到：无理数
    • 一分钟记忆
      • 填满数轴的所有点。
  • 27. 康托尔对角线论证
    • 多维度看全
      • 康托尔发展了集合论
        • 0和1构成无穷序列
      • 实数集的无穷比自然数集的无穷更大
    • 关键点梳理
      • 按顺序一直进行下去，总会有序列S与现存的不同
    • 一分钟记忆
      • 康托尔对角线论证，无穷的复数形式便可以合情合理出现，还能对大小进行比较
  • 28. 无穷基数
    • 多维度看全
      • 如果S是一个集合，我们可以考虑它的所有子集。这些自己构成的集合叫做集合S的幂集，写作2s
      • 幂集一定比原集合S大，不论有限集合、无穷集合都可证明
    • 关键点梳理
      • 自然数无穷集N0，其所有子集即2N0（N1）
  • 29. 连续统假设
    • 多维度看全
      • 连续统假设：N0后面就是N1，不会存在某个无穷。
      • 假设是否正确都不影响导致集合论的矛盾。即不可判定性
    • 关键点梳理
      • 连续统假设的不可判定性限制了我们将这一阶阶不同大小的无穷映射到更具体的数学对象上的能力。
    • 一分钟记忆
      • 提出了一个问题，被证明无法回答，将数学带出了能力范畴
      • 我们无法判定哪一个无穷基数代表了实数集的大小。
  • 30. 超越数
    • 多维度看全
      • 如x是一个多项方程式的解，则称x为代数数，但不是所有实数都是代数数，那些非代数数被称为超越数
      • 无法通过整数系数方程定义的非代数数（如圆周率、自然对数的底e）。
      • 证明一个数是超越数不是容易的过程
        • 康托尔证明代数数的数量和自然数数量一样多
        • “大部分”的实数都是超越数
    • 关键点梳理
      • 约瑟夫.刘维尔1844年首次证明超越数的存在
      • 刘维尔常数
    • 一分钟记忆
      • 并不存在某个简单、通用的方式来表示超越数，这在某种意义上，它们就是最普通的实数。
  • 31.p
    • 多维度看全
      • 圆周长与直径的比值
      • p是一个超越数
    • 关键点梳理
      • 许多数学问题的背后其实都是几何问题。
    • 一分钟记忆
      • 起源十分简单，但包含许多深层次的奥秘和数学惊喜
  • 32.虚数
    • 多维度看全
    • 关键点梳理
    • 一分钟记忆
      • i的定义帮助文艺复兴时期的数学家突破了他们在代数领域遇到的阻碍
  • 33.复数
    • 多维度看全
      • 通过虚数单位i（i平方等于-1）扩展实数，构造复数形式x+yi。
      • 复数由实部和虚部组成，可以在一个二维空间内表示复数
      • 在数学、物理、工程和其他许多领域都有广泛应用
    • 关键点梳理
      • 复数实质上是二维的，可视化为图像上的一点，称为阿干特图
      • 复数存在无穷多个实数集
      • 复数在代数运算上是闭合的
    • 一分钟记忆
      • 虚数解决方程无解问题，复数平面成二维空间。
  • 34. 四元数
    • 多维度看全
      • 1843年，哈密顿提出将复数的虚值扩张成三个，这个设想具备了非常优美的几何性质
      • 分别为i、j和k，w+xi+yj+zk
      • 四元数可以看做物体在三维空间内的旋转，有着广泛应用
    • 关键点梳理
      • ij=k，ji=-k，ij=-ji
      • xi+yj+zk看作三维向量（x，y，z），指向的方向就是旋转轴，长度就是旋转角
    • 一分钟记忆
      • 额外添加了-1的两个虚根，对复数进行了扩张
      • 可以用来描述三维空间内旋转的数字系统。
• 3. 结构的科学
  • 35.抽象代数
    • 多维度看全
      • 从具体到专注于形式或者结构特性
    • 关键点梳理
      • 引入一个额外的“结构”，通常由映射来完成
      • 群是包含一个特殊二元运算的集合；环或域包含两个二元运算；对于更复杂的对象的结构，比如向量空间，也可以用相似的方式来进行描述。
      • 例：凯莱图
    • 一分钟记忆
      • 用结构将其从事物中独立出来，揭示出不同事物之间隐藏的相似之处。
      • 通过抽象代数，从错杂的表象中提炼出理论的形式。
  • 36.二元运算
    • 多维度看全
      • 二元运算是最基础的结构
      • 将集合中的两个元素用映射结合起来得出一个新的元素
      • xOy
    • 关键点梳理
      • 除法都不是二元运算，因为0不能作除数
    • 一分钟记忆
      • 算术由二元运算构成，许多数学结构都是通过二元运算来定义的
  • 37.结合、交换和分配
    • 多维度看全
      • 结合律
      • 交换律
      • 分配律
  • 38.群
    • 多维度看全
      • 如果一个几何图形在经历某种变换之后，看起来和原来一样，那么称这个变换为一个对称
      • 通过研究对称运算的性质，可进一步定义一个群。
      • 物理和几何对象的对称是展现群结构最自然的事物之一
    • 关键点梳理
      • 群是一个含有二元运算的集合，遵循一些基于对称行为方式的结构性规则
      • 每一个对称都能被另一个对称所逆，我们称其中一个为另一个的逆
    • 一分钟记忆
      • 群将对称的概念进行了推广
      • 群是一个拥有满足结合律的二元运算的集合，包含一个恒等式，每个元素都有一个对应的逆
  • 39.饰带和壁纸的图样
    • 多维度看全
      • 对于一个只在一个方向上无尽重复的图样，比如一个饰带，只有7个可能的对称群
      • 对于一个在两个方向上无尽重复的图样，比如壁纸，有17个
      • 三维空间的对称群，被称为晶体群。
      • 四维空间可能性有4783种
        • 路德维希.比贝尔巴赫证明高维空间存在相似特性。
    • 关键点梳理
      • 平面空间
        • 平移、旋转、镜面
    • 一分钟记忆
      • 对于大部分图样形式，都能用其对称群来描述
      • 在一个给定的空间，只存在特定的一些对称群
      • 对称不限于几何领域，与抽象结构有关。
  • 40.有限单群
    • 多维度看全
      • 如果一个群对应的集合是有限集，那么我们就得到一个有限群。
      • 群也可以有子群
        • 一些群和一个比它大的群之间存在某种特殊关系，它们被称作正规子群。
        • 如果群G有正规子群N，那么我们可以取它的商群，得到更小的新群G/N
        • 如果一个群不具备正规子群，那么它叫作简单群。
          • 不能通过相除得商再“向下分解”
      • 包含元素数量为质数的循环群是有限单群的一例
    • 关键点梳理
      • 有限单群是一个奇怪的分类。
        • 包含3个主要类别，26个所谓的散在群。
        • 散在群包含5个魔群
    • 一分钟记忆
      • 有限单群就好比数论中的质数
  • 41. 李群
    • 多维度看全
      • 以圆为例，圆的对称更像是某种平滑、流动的过程，而不是骤然的变化。
      • 类似圆这种对称变化的群，就是李群
      • 以数学家索菲斯·李命名
    • 关键点梳理
      • 一个李群表示某个空间（比如流形）保持某个量不变的连续性变换
      • 物理研究中，通常都是流形。
        • 描述相关法则时，规定某个量（动量、能量、电荷等）保持不变
        • 现代物理很大程度是在研究李群
    • 一分钟记忆
      • 连续、平滑
      • 对称
  • 42.环和域
    • 多维度看全
      • 数究竟是什么？比起科学问题，这更像是一个哲学问题
• 4. 二、连续性
  • 1. 36. 导数与切线
    • 多维度看全
  • 2. ：导数代表函数在一点的瞬时变化率。
    • 关键点梳理
  • 3. ：几何意义为曲线斜率，物理中对应速度或加速度。
    • 一分钟记忆
  • 4. ：切线斜率即导数，反映变化快慢。
  • 5. 2.
  • 6. 37. 积分与面积
    • 多维度看全
  • 7. ：积分计算曲线下方的面积（无限逼近累加）。
    • 关键点梳理
  • 8. ：牛顿-莱布尼茨公式连接积分与导数。
    • 一分钟记忆
  • 9. ：微积分基本定理是面积与变化的桥梁。
  • 10. 3.
  • 11. 39. 泰勒级数
    • 多维度看全
  • 12. ：用多项式函数逼近复杂函数（在点a处展开）。
    • 关键点梳理
  • 13. ：泰勒展式层级越高精度越高，误差项控制近似范围。
    • 一分钟记忆
  • 14. ：局部分析用多项式展开，逐步逼近原函数。
  • 15. 4.
  • 16. 40. 流形
    • 多维度看全
  • 17. ：局部类似欧氏空间，整体可能弯曲的几何结构（如球面）。
    • 关键点梳理
  • 18. ：广义相对论用四维流形描述时空曲率。
    • 一分钟记忆
  • 19. ：流形局部平，全局弯。
• 5. 三、数学与现实的交汇
  • 1. 1.
  • 2. 45. 概率论
    • 多维度看全
  • 3. ：条件概率公式用于疾病检测逻辑（贝叶斯定理）。
    • 一分钟记忆
  • 4. ：不确定性中的隐藏规律。
  • 5. 2.
  • 6. 46. 博弈论
    • 多维度看全
  • 7. ：策略互动的数学模型（如囚徒困境）。
    • 关键点梳理
  • 8. ：纳什均衡定义策略的稳定状态。
    • 一分钟记忆
  • 9. ：理性选择导致均衡结果。
  • 10. 3.
  • 11. 48. P vs NP问题
    • 多维度看全
  • 12. ：计算机科学核心难题，询问“高效验证解是否存在高效解法”。
    • 关键点梳理
  • 13. ：若P≠NP，许多密码学问题无法破解。
    • 一分钟记忆
  • 14. ：难题解决可能永远低效。
• 6. 结构的科学
  • 子主题
    • ● 环：具有某种结构的集合，配有两个二元运算
    • 域是一个环，其“乘法”也是一个交换群（不考虑0）
    • ● 伽罗瓦理论：将对称（即群论）应用到域扩张时所产生出来的一种非常通用的方法。
    • 通过给域添加一些额外的元素，可对域进行扩张。扩张域和初始域通过其伽罗瓦群联系起来
    • ● 丢番图方程：求整数解且系数均为整数的多项式方程。
    • x²+6x-16=0的整数解是x=2和x=-8
    • ● 当n>2时，方程x^n+y^n=z^n没有非零整数解
    • ● 二、三、四次方程都有通解公式，但五次方程没有通解公式。
    • ● 黎曼ζ函数是一个从复数到复数的映射，零点似乎只有负偶数和形如1/2+xi的复数两种可能
    • ● 序理论：集合中的任意两个对象能区分大小
    • ● 同调代数：集合的对象经由任意两个连续映射
    • ④ 连续性
    • ● 如果一条曲线代表了在某段时间内的一段运动，那么一点处的切线就表示该运动的“瞬时速率”
    • 函数的导数表达出函数在定义域里每一点上的变化情况。导数表示变化率
    • ● 积分：将曲线下方的图形分割成一个个小竖条，相加以求得该图形的面积
    • ● 积分和求导是互逆的过程
    • ● 病态函数——魏尔斯特拉斯函数在每一点处都不可导
    • 许多病态函数的图像呈分形
    • ● 变分法可以用来描述许多自然过程，比如肥皂膜的运动过程。
    • 函数是由数到数的映射，而泛函是由函数到数的映射。
    • 变分法的主要技巧是将一个难解的泛函转化为一个微分方程。
    • ● 向量：带有方向的数
    • 散度代表了向量涌向或涌出某一点的量的大小，旋度代表绕该点旋转的具体程度。
    • 散度和旋度用来描述任意一点附近向量场的具体情况。
    • ● 欧几里得空间内的点形成向量集合
    • 欧几里得空间是几何空间的一种
    • ● 地球是一个流形，只是在局部近似一个欧几里得平面空间
    • 物理中的时空经常被模拟成一个四维流形，曲率代表重力
    • ● f(x)=2^x，泰勒找到可以近似计算复杂函数数值的方法
    • 泰勒级数，写成与多项式类似的多个项相加在一起求和，只取需要的精确度
    • ● 通过取张量积V⊙W，可以将向量空间乘在一起，得到一个新向量空间
    • ● 变换参考系时，物理事实并没有发生任何改变，数值会发生改变
    • ● 向量场可以用来测量物理现象，比如压力梯度、电磁等
    • 矩阵是由数字构成的矩形阵列，可被用于表示线性变换。
    • ● 每一个向量空间都有它的对偶空间，如果其中一个发生反变转换，那么另一个会发生共变转换，反之亦然。
    • 空间的线性变换可以用矩阵来表示
    • ● 对遍布空间内某区域的复杂物理现象，通常都可以用张量场来模拟。
    • ● 极小曲面：对肥皂泡求微积分
    • 在极小曲面上，每一点处的局部表面积都达到了最小值。
    • ● 表示论：用矩阵构造模型。任何一个群，都可以被表示为一个矩阵的集合
    • ⑤ 空间中的数学
    • ● 二维空间里，如果两条线没有端点且从不相交，则两条线平行。
    • ● 球面几何是不存在平行线的欧几里得几何。
    • ● 并不存在能够证明所有问题的理论框架。
    • 画出圆面积相等的正方形，做不到
    • ● 拓扑是不考虑测量的几何
    • 在拓扑学家眼中，三角形和正方形之间没有区别，甜甜圈和咖啡杯之间也没有区别。
    • ● 单纯形是一个空间的基础单位。单纯复形由几个单纯形组合而成。
    • 对空间进行三角剖分，是拓扑学的一个基本工具
    • ● 平面和球面的欧拉示性数都是2，而环面和莫比乌斯带的欧拉示性数都是0。
    • 欧拉示性数=V-E+F，角-边+面
    • ● 托卡斯基房间：墙上布满镜子，且无论将光源放在哪里，都会有一个区域没被照亮。
    • ● 度量空间：计算城市里两点间的距离
    • ● 曲率：一条线在某点处的弯曲程度
    • ● 维度：将空间坐标化
    • ● 分形显示了某种复杂的、无尽循环的模式——同样的模式会不断缩为更小的尺度。
    • ● 双曲几何中，平行线有无穷多条。
    • 双曲几何对应的是负曲率的空间区域
    • ● 用瓷砖来铺墙，墙面是一个平面，则有且只有一种铺法
    • 平面有三种正密铺（正三角形、正方形、正六边形），球面有五种（三种三角形，正方形，五角形），双曲空间有无穷多种
    • ● 三维流形的区域能够对应八种完全不同的几何
    • 几何对应上，二维空间只有三种可能，而三维空间有八种。
    • ● 射影几何：严格透视法技巧包含了将三维空间投射到二维空间的过程
    • ● 将六个正方形粘合成一个立方体
    • 通过将八个立方体的表面粘在一起，得到一个（四维）超正方体。
    • 高维的空间是不太好想象的。
    • ● 通过代数拓扑，将拓扑空间的代数结构“投射”出来研究。
    • ● 纽结理论，将绳子打结
    • 每一个扭结都是一个可以存在于三维空间的曲面（二维流形）的边界
    • ● 正方形确有边界，在拓扑意义上和圆是等价的。
    • 圆本身是没有边的，是一个一维闭流形。
    • 庞加莱猜想：任何一个闭的单连通三维流形都是一个三维球面。
    • 单连通的流形：不像面包圈、手环有洞
    • ● 假设有一组多项式，每个多项式都包含n个变量。使所有多项式为0的变量值，对应在n维欧几里得空间的坐标系的点。所有的点在一起构成的形状叫作簇。
    • 簇可以是线、曲面、散点，或更加复杂的形式。
    • 簇是从多项式的图像中产生出来的。
    • ● 每一个簇都对应一组包含n个变量的多项式。
    • 零点定理：每个根理想都对应一个簇，反之亦然。
    • ⑥ 数学与现实的交汇
    • ● 迭代：在不断地进行某个定义域和陪域相同的映射，每一次得到的输出值，都是下一次的输入值。
    • ● 布劳威尔不动点定理：搅拌杯中的咖啡，有一点不动
    • ● 混沌理论：复杂源于简单
    • 许多混沌系统都是迭代的，最终的结果有时是分形。
    • 混沌中隐藏着某种规则，使事物基于初始的简单性产生了复杂性。
    • ● 阶乘：剧增的数，4!=4×3!
    • ● 组合学研究的是计数，特别是计算组合或者排列结果的数量。
    • ● 图形可以用来表示相连通的离散点的抽象结构
    • 七桥问题，加权图
    • ● 概率论：有关不确定情况的推理
    • ● 统计学：描述性统计和推断性统计
    • ● 博弈论：囚徒困境，研究如何在多个选择中做出理性决策
    • ● 图灵机只是一个范例，并不是一个实际存在的机器。生活中的笔记本、手机、电视机机顶盒等，都运用了和图灵机一样的原理。
    • ● P（Polynomial-time 多项式的）问题：许多问题虽然无法在线性时间内被解决，但可以在某个有关输入数据指标多少的多项式时间内被解决。
    • NP问题：有些问题只能用执行起来效率较以上逊色许多的算法来解决
• ：研究随机现象规律（如掷骰子、股市波动）。
  • 关键点梳理