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加减法巧算（一）
计算不一定要死算硬算，掌握方法才能又快又准。本讲将带你学习加减法巧算，通过凑整、分组、变号等小技巧，轻松简化算式，提升计算速度与正确率，让数学计算更简单、更有趣。
编辑于2026-03-03 14:49:30- 运算技巧
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数学
巧算 巧算就是要求加快速度，更快的运算出答案 在计算巧算时，我们注意的两点就是一怎么算的更快，怎么算的更容易，第二，我们要明白，为什么要这么算？（为什么要这样计算？你就是运算的道理）
这里涉及一个重点，有的人确实很聪明，但是他就是不会学数学，因为他不懂道理
例题一：要计算4+15+16和4+16+15，两个算式，结果相同吗？为什么？我们都知道这两个算式等于35，但是你知道中间的意义吗？
力爸爸有四个鸡蛋，妈妈有16个鸡蛋，而我有15个鸡蛋，我们一家一共有多少个鸡蛋？换成这个问题，你应该理解了。
有的人会把四和15，也就是爸爸和妈妈放在一起，因为这两个是在前面的，所以先算他俩
有的聪明人，他们就脑袋瓜一动，先把爸爸和我放在一起，就变成了4+16我
刚才有了两个算式，第一，4+15+16和4+16+15，你觉得哪一个好算呢？肯定是第二个吧，因为第二个他是凑成了20再加15
为什么说第二个好算？他凑成了二十，他为什么好算？因为20是整数整十数
我们一看到整十就很好，算整十，比如说10+10=21下就能出来
但是你像15+16，就不好算，因为它会进位，如果你列竖式的话也挺难，也很慢
例题二：计算12+21+18
我们一看这个算式，刚才说过，所以这个算式可以用12+18=30，再去用30+21就好算了，这就是巧算你有没有发现巧算就是让你加快计算速度还方便了计算。
如果你想直接算，那你就直接算，但是速度会大大减慢这些不必要费的时间和不需要取消浪费了了，所以咱们最好是用好朋友，去用巧算来加快计算的时间，让时间变少
例题三：5-4+3-2
还是用刚才的办法，但是这道题你可以这样想，比如说这两个数要加起来，我们都知道这个得数等于二，但是我们要求的是简便的算，所以我们要用简便的方法去算，可以先用2+4就是，一共减去的再用3+5，就等于本来有的，这样你再看2+4=6，3+5=8，所以8-6就等于二，这是不是更简便了呀？
你可以这么想，本来有五个鸡蛋，又拿走了四个，再补了三个，又被拿走了两个，这样是不是觉得很乱啊？你再先处理处理，比如说原本有五个拿走了四个就直接剩下一个，所以这个就是一再补了三个，就是又加了三个，就是一加加3=4，所以我们知道了四个再被减去20个，因为又拿走了两个嘛，所以再减去二就是得数啦，我们就可以知道，用四减二等于二这个算式的得数就是这个题的答案，你想一想是不是一处理就不乱了呀，本来很乱呀，但是一处理它就不乱了。
这就是加法中的放在一起算
放在一起不会那么乱，所以放在一起也是一种巧算的方法
例题四：2-3+4
这个2-3+4，我们也可以理解成鸡蛋的问题，但是我本来有两个鸡蛋不能给别人，三个鸡蛋，这时候我们就可以用到刚才学到的放在一起算，如果放在一起，本来有两个，最后又加了四，所以2+4=6，一共有六个区间点三就够了，六个减3=3，这样就好算了，这样的话本来可以是不能算，后面这样就变成能算的，所以巧算也能让不能算的算式变成能算的算式
这就是巧算里的调顺序计算
还可以带符号搬家，比如说把二往后挪，把四往前挪就变成了4-3+2，这个算式想一想也可以算4-3，等于1+21+2=3
带符号搬家的意思就是增增减减调调位置，这样就可以算啦
例题五1-2-5+4-1+2-3+5+3-4
这个算是看着很晕很晕
加法
可以把加法放在一起
就是1+4+2+5+3
加法就是加15
我们发现这个没有必要，因为就是1+2+3+4+5各加了一遍，再看减法也是1-2-3-4-5，也是各加了一遍，所以这个就不用看了，就直接是0
减法
同样也可以把减法放在一起
-2-5-1-3-4
算一算就知道，一共是减15
例题六：26+13-14+17-16
加法
加法就是26+13+17
我们发现这有上面，我们提到过的呀，可以凑整，所以一共就是+56
减法
减法就是，-14-16
这个减也有好朋友得数就是-30
所以答案就是26，怎么得到的这个26呢？是用56去减30，就等于26
在这些方法中有前提的，我们是把加法和减法分类了，你可不能去乱分类，如果乱分类的话，那得数就不一样了
例题七，24+19-14
我跟大家说这个用前面的方法很难算，这时我们要产生一个新的方法，可以让24先去减14，这个14都是要减的吗？要么就是在24前面减，要么就是在19面前就减24的话，就是是去加19是29，这样很简单
如果你用19去减14，就会去有点麻烦，得数是五二十四加五就等于29。虽然说这样也能算出来，但是还是要动脑去算。刚才那个根本不需动脑
这就是减法的个位巧算
例题八，51-28+19+8
加法
加法加的有51，19和8
我们先算加法就可以发现这个51和19是好朋友数，加起来就等于70再加8=78
减法
减法的有28
再用78去减28，我们发现78和28又是减法上的好朋友数，就可以直接运算等于50
凑整能巧算
只要你找到好朋友数，你就可以给他们巧算，如果巧算成功了的话，那这个计算却从一个特别特别长的式子变成了一个特别特别短的式子，就特别好算
这就是我们学过的加法，个位上找好朋友
在加法中的简便运算
加法中也有简便的计算，加法的计算要使它简便就变成了凑整
如果你想凑整就可以想到一些好朋友，他们是好朋友，所以就可以合在一起，凑成整体的数整十那种的数，比如有6和4是好朋友数
只要有好朋友，树就能凑出整十，但是如果没有就换一个，所以我们要灵活的记住这些好朋友
如果你遇到多个数加减法的话，你可以先观察，就是找好朋友数，只要找到就可以方便运算，运算还特别快
你看见好朋友数，一定要按照她这个好朋友数来算，可以凑整你就凑整，凑不出整你就普通运算
你得看着每一个数，比如说有四和六，还有五和五，只要能凑整，你就不要放弃就去凑整
我想说，凑整就是凑那些整十整百的数，如果能凑出来，最好凑不出来，不用强迫，但是也不怎么难，如果能凑出来，是计算就更好，如果凑不出来计算，就不会那么简单，但是也能计算出来
这时，我们出现了一个问题，本来是加法，现在是减法，这里的运算意义完全不一样了，变得一会儿加一会儿减，有的人就会搞不清楚，所以很多人都会去巧算，因为他不容易混，对不对？你用正常的方法来算的话，一个它就不一定能算出来了。
从分类到画圈圈
集合思想
集合思想就是把思想集合起来
有的衣服放在衣柜，有的碗放在厨房，我们知道这就是分类
超市有放水果的地方，有放蔬菜的地方，有放肉类的地方，有放日用品的地方，有放冷藏品的地方，这就是超市的分类
分类
分类能加快我们找东西的时间，比如说一个东西，本来乱哄哄的，得找五个小时，你再收拾一下，他一分钟就，找到了。
分类说白了，就是把有共同特点的东西放在一起
例题一，你能想到哪些办法给全校同学分类？
我能想到可以按男女分
按男女分就是男的在一起，女的在一起
可以用一个圈表示女生用一个圈表示男生
每个同学一定在其中一个圈中
但也只能占一个圈，这就是按男女分的规律
我能想到按年龄分
按年龄分就是一年级和一年级在一起，二年级和二年级在一起，三年级和三年级在一起
一个圈表示一个年级
我能想到俺是我的朋友放在一个圈，不是我的朋友放在一个圈
每个同学一定在其中一个圈中，但是只能占一个圈。
例题二，你的玩具可以怎么样收到不同的抽屉里
我能想到可以按我经常玩的和不经常玩的分类，不经常玩的是一个圈，经常玩的是一个圈
我还能想到可以按颜色来分，比如红色一个圈，绿色一个
一个抽屉放红色的玩具，一个抽屉放大玩具，一个抽屉放小玩具
但是如果有一个大的红色的玩具就不好分，因为我搞不清到底是放到了红色的抽屉里，还是放到了大玩具的抽屉里
最好不重复
例题三，给全校同学按一到六年级分，分类后你们还能继续分类吗？
我们分好了年级，比如一年级，我们知道我们也能想到一个年级它肯定会有班级
所以我们得在一年级的大圈圈里画好几个小圈，表示一年级的几个班
在一年级的大圈里，每个班同学都是一年级的
分类可以一层套一层
刚才说到一年级，大圈里有一年级1班等等等等，还有一年级1班里还套小圈一个小圈是男生，一个小圈是女生
例题四，你早上从家到学校的路上，你会看到什么？听到什么？把你听到的分类成两个圈
第一个圆圈是我看到的
比如我今天早晨看到了特别多的花
我看见了一只小鸟
我看见了一只小猫在穿马路
我看到了三种
第二个圆圈是我听到的
我听到小狗在叫
我听到小鸟在唱歌
我听到了两种
那么我出门到底碰到了几样东西呢？
我现在发现和刚才的不一样了，因为我既听到了小鸟，又看到了小鸟
如果我画一个圆圈图的话，可以把看到和听到的中间有一块重合，就是说明小鸟既被看到又被听到了
我们能看到这个图，有只听见没看见的，有只看见没有听见的，但是小鸟特别特殊，他又被听见了，也被看见了
如果你画两个圈不重合，那你再看看，好像是五个，但是五个不对
因为你最后检查的时候有可能发现这个小鸟被你数了两遍
如果按两个圈重合的话，那小鸟就只被数了一遍，所以这样是正确的
例题五，两对母女一起逛街，只有三个人是为什么？
我们可以在纸上画三个小人，画的怎么样我就不管了
有可能这三个人中有一个人既是女儿又是妈妈，这三个人可能是小红小红的妈妈，小红的外婆，小红和小红妈妈是一对母女，小红妈妈和小红外婆是一对母女，这样凑成了两对母女一起逛街，这是一种方法
这就是让我们懂得，画圈圈的意义
揭开统计的面纱
大数据时代
对数据来说，我们可以提出很多的问题
统计学
那什么是统计学呢？
用大不列颠百科全书说：就是收集数据和分析数据
数据是无处不在的，所以统计也是无处不在的
概率
确定的事情
一定会发生的，我们叫必然事件
如果在必然的事情中，就用一定肯定
一定不发生的，我们叫不可能的事件
我们一般都用不可能来表示这个意思
他们看似是相对的，但是我们能发现一点相同的就是结局已经定了
不确定的事情
不确定事件是比较随机的，所以也叫随机事件
随机事件，我们一般用可能
这就是不一定行
不确定中的规律
有的事很可能
有的是经常发生
有的是偶尔发生
这些都是说可能性的大小
例题一：你有一个盒子，盒子里有四个篮球，三个红球，如果你的手能伸到这个盒子里，摸出一个球，你觉得摸出红球的概率大，还是摸出蓝球的概率大？
我们的直觉告诉我们，红球有三个，篮球有四个，那自然是篮球更容易被我们摸到了，因为它的个数多概率就大
我摸的时候我可能摸到一个篮球，也可能摸到一个红球
这样理解的话，可能性就是谁多谁的可能性就大
例题二，小明有一个盒子，他的盒子里装了三个红球，四个篮球，小红也有一个盒子，小红的盒子里装了五个篮球，三个红球，谁摸到红球的概率大？
这个题我们可以这样想，如果把小明的盒子里只有三个红球，只有一个篮球小红的盒子里呢，有三个红球，有20个篮球，那你的直觉会告诉你小红的概率会特别低
还可以这样看，比如说他们俩在大海捞针，小红他是在一个特别大的大海里捞针，小明却是在一个小杯子里捞针，这样你就能看懂了
找相同变相同
水位不同，杯子相同
有两个杯子，1号杯水位低，2号杯水位高，所以2号杯的水比1号杯的水多
水位相同，杯子不同
例题二1号杯子宽2号杯子窄1号杯子和2号杯子水位相同，请问哪杯水更多？
上一个和这一个都是在找相同
例题三，1号杯下窄上宽，2号杯上下一样宽，这两个杯子的水位相同，问你哪杯水更多？
我们看水一般都是看高度，其实这不止高度还有宽窄
2号杯是整整的半杯
1号杯不到半杯
所以2号杯多
长度相同，时间不同
例题四，小明和小强约定，每人绕操场跑五圈。小明花了30分钟，小强花了60分钟，谁跑得快？
跑的时间相同，跑的距离不同，谁跑的距离长谁就跑得快
跑步的路程一样，用的时间不同，谁用的时间短，谁就跑得快
时间不同，路程也不同
例题五，小明和小强一起绕操场跑步，小明三分钟跑了一圈，小强六分钟跑了三圈，谁跑的快？
如果把这两个信息换成时间相同的话
小明就是六分钟二圈，小强就是六分钟三圈，这样我们一看就知道了，肯定是小强跑得快
如果把这两个信息换成路程相同
小明跑三圈要九分钟，小强跑三圈要六分钟，所以小强跑的快
如果时间不同，路程也不同的话，我们就要搭一个桥梁，让一个变得相同，但是不一定是路程，也不一定是时间
水相同多，糖不同多
例题六1号杯和2号杯的水量相同1号杯加2块方糖，2号杯加3块方糖，哪杯水更甜？
谁放的糖更多谁就甜
所以放3块糖的肯定比放2块糖的甜
水相同，糖多的甜
水不相同，糖相同
例题七，1号杯的水少，2号杯的水多，1号杯和2号杯都加入2块方糖，哪杯水更甜？
在生活中我们就可以发现你倒的水越少，它就会更甜，所以这一题是第一杯水更甜
糖相同水少的甜
水不相同，糖也不相同
例题八，1号杯有一份水加2块糖，2号杯有两份水加3块糖，哪杯水更甜？
我们在解这道题的时候，可以用一个方法，可以再设计一个3号杯，3号杯和1号杯，一模一样，也是一份水，2块方糖，这样的话，可以把3号杯和1号杯合起来，就相当于两份水，4块糖，再看2号杯，它只有3块糖，也是两份水，但是2号杯只有3块糖，1号杯有4块糖，所以1号杯更甜，如果在去除第3号杯的话，还是第1号杯更甜
我就所以说1号杯更甜
把不相同的条件变相同，两个条件都不同，把一个条件变相同，如果有一个相同的条件的话，就不用再变了
枚举法初步
初步就是最最最简单的那一个
例题一，爸爸姓徐，妈妈姓王，他们说好用，一个人的姓左，孩子的姓，另一个人的姓，作为孩子的名，孩子的姓名有哪几种可能？
看这个问题，一般人都会看姓，比如说要么是徐王，要么是王徐，这两个名字的姓不一样，就可以说明它没有重复
例题二，“胡”“小”“群”三个字各用一次，能起出几种名字？
胡开头
圈一“胡小群”
圈二“胡群小”
小开头
圈一“小胡群”
圈二“小群胡”
群开头
圈一“群小胡”
圈二“群胡小”
例题三，有红黄蓝绿四张卡片排成一行绿色卡片，一定要排在第二张卡片，有几种排法？
其中第二个是确定的，一定是绿色
红开头
圈一红绿黄蓝
圈二红绿蓝黄
黄开头
圈一黄绿红蓝
圈二黄绿蓝红
蓝开头
圈一蓝绿红黄
圈二蓝绿黄红
例题四，小红小明小强三个小朋友，每两个握手一次，一共握了几次手？
小红
跟小明握手
跟小强握手
小明
跟小红握手
跟小强握手
小强
跟小红握手
跟小明握手
如图所示，他们只需要握三次就够了
有可能重复计算
例题五小红，小明，小强，小兰，四个小朋友，每两个握手一次，一共握了几次手？
我们画个图画，四个小人，各表示，小红，小明，小强，小蓝
小红
3
小强
2
小明
1
小兰
0
加起来就是3+2+1+0=6
例题六10个小朋友，每两个握手一次，一共握了几次手？
我不知道你们找没找到规律，但是我找到了规律。有十个小朋友的话，那就是10-1=9所以就是9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45
这其实就是从十个人里随机抽出俩人，让他俩握手
千万不要重复计算
例题七，小红有一件红色的校服，一件蓝色的校服，一条黑色的校裤，一条白色的校裤，一条灰色的校裤，小红去学校有几种方法？
如果先确定校服的话，可以红配黑，红配白，红配灰一共三种
也可以穿蓝色的校服，可以蓝配黑蓝配白蓝配灰
也可以先确定校裤，也可以是黑配红黑配蓝
可以是白配红白配蓝
可以灰配蓝灰配红
所以是六
例题八，一只小蚂蚁要从a经过b爬到c，有几条不同的路线。（每个点经过一次）
如图所示
我们可以把a从下面往上走的叫做圈一路线a从上走的叫做圈二路线
走到b有三条路到c我们看图就可以知道有斜着的和另外两条
所以从a到b有两条路，咱单曲一条看一条就有三条能往c走，所以3+3也就是六条路
每一局都是有次序的枚举，就相当于列举
技术问题
分堆与枚举
分堆就是我有十个苹果，把它分成两堆，就是分堆
回顾一下，以前我们在学巧算的时候，我们要干一件事儿，是要凑整，只要找到了凑整的方法，这个算式会特别好算
也就是说，我们要找到好朋友数
十以内的好朋友数
1+9=10
2+8=10
3+7=10
4+6=10
5+5=10
看到这个，我们会问，凭什么我们这么确定呢？有没有漏掉呢？
我们要验证，可以先确定这加起来一定是10
如果你多写了，那你这就是浪费时间
有一个方法可以解决
按大的数
按大的数就是前面是大的，后面是小 比如
6、4
7、3
8、2
9、1
中间还有一个相等的
就是
5、5
按小的数
按小的数就是前面是小的，后面是大的，比如
1、9
2、8
3、7
4、6
七个苹果放到两个一样的袋子里，不能有空袋子，有几种放法？
较少的一堆
1、2、3
较小的是从小往大写
较多的一堆
6、5、4
较大的是从大往小写
七个苹果放到三个袋子，不能有空袋子，有几种放法？
多
5
4
中
1
2
少
1
1
一共有四种
九个苹果放到三个一样的袋子里，不能有空袋子，有几种方法？
多
7654543
中
1234233
少
1111223
7种
九个苹果放到三个一样的袋子里，最少的袋子要放二个苹果，有几种方法？
这个就不用算了，直接看一看上一个题，上一个题一共有七种，我们看一看符合这，个题的条件的只有下面三种，所以三种
上一个方法是不好的，前提是你得做过上一个题
要用正常的枚举法
2、2、5
2、3、4
3、3、3
一共有三种
有写着一到六的六张卡片，取出三张使数字的和为九和有几种不同的取法
1、2、6
1、3、4
2、3、4
只有3种取法
先写小的，再写大的
等量代换第16讲
第一个算式，圆圈加圆圈等于六，第二个算式，圆圈加三角等于十，圆圈等于问号，三角等于问号
这算是看似有两个加起来，但是其实只有一个让我们知道。
如果圆圈加圆圈等于六，那圆圈就等于三，圆圈等于三了。第二个算式应该就是三角，所以三角等于七
这就是等量代换
圆圈加三角等于六，圆圈等于三角加三角，圆圈等于几？三角等于几？
一个圆圈等于两个三角
这样就可以知道，可以把第一个算式的圆圈换成两个三角，后面也是一个三角，所以说是三个三角等于六
圆圈减三角等于圆圈等于三角加三角，圆圈等于几三角等于几？
这样一看，所以说是圆圈等于两个三角，你就把第一个算式的圆圈替换成两个三角，两个三角减去一个三角等于6三角等于六的话，那两个三角就是6+6=12，再看看第一个算式12-6确实等于六
按这样看，这两个题都是要把第一个算式凑成一样的，两个都是三角或者两个都是圆圈，这样只要你把第一个算式凑成了一样的，那就好算了
薯条加汉堡等于18薯条，加汉堡，加汉堡等于30薯条，等于多少汉堡，等于多少？
看这个例子，我们发现第一个算式和第二个算式就差了一个汉堡，所以我们用30-18=12，一个汉堡就是12再看12，可以从18里取12就是薯条，所以薯条等于6汉堡等于12
圆圈加圆圈加三角等于12，三角加三角加圆圈加圆圈等于16，圆圈等于多少，三角等于多少？
第一个里有圆圈，圆圈，三角，第二个里有三角圆圈，圆圈就说明这两个是一样的，第一个算式和第二个算式差了四，所以说一个三角就是四，12-4=8，所以说圆圈加圆圈等于八，再用8除以4=2，圆圈等于四，再看第二个算式4+4+4+4=16所以三角等于四圆圈也等于四
圆圈加圆圈加圆圈加三角加三角等于25圆圈加三角等于11圆圈等于几三角等于几？
看第一个算式和第二个算式，第二个算式，圆圈加三角，那第一个算式里也有圆圈加三角，而且是两对两对，就是22，25里拿出22还剩三，所以圆圈就等于三，再看第二个三加几等于十一，三加八，等于11，所以圆圈等于33角等于八
空瓶换水
如果两个空瓶可以换一瓶水，小明有五个空瓶，最多可以换到几瓶水？
先画五个圆圈两个合并为一瓶水，所以有两瓶水还余下来一个空瓶子，这两瓶水喝完了，就是两个空瓶子，这三个空瓶子又可以换一瓶水和一个空瓶子，所以我们再把换来的一瓶水再喝掉，就剩又剩了两个空瓶子，又能换一杯水，所以又能换一瓶水，所以说我们要用22+1+1=4，这个算式来表示
某种饮料一元一瓶，每瓶饮料瓶的盖上有一张贴纸，三张贴纸可以再找商家换一瓶饮料。小明一共有七元钱，他最多可以喝到几瓶饮料
小明有七元，所以他能换七瓶饮料，可以写一个七然后呢，喝完这七瓶饮料，剩下的，瓶盖又能换两瓶饮料和一个空瓶这两瓶饮料喝完后又成了两个空瓶，又凑成了三个瓶盖，又能换一瓶，所以是7+2+1=10瓶
可乐店规定，每三个空可乐瓶可以换一瓶可乐小明，现在有十个空瓶，如果商店还可以借给小明一些空瓶，但是要求喝完后可乐瓶归还小明，最后可以喝到几瓶？
小明有十个可乐瓶，那他可以换三瓶可乐和一个空瓶，这三瓶可乐喝完还能换一瓶可乐和一个空瓶，再把这一瓶可乐喝完，就是两个空瓶，再向商家借一个空瓶，就能再换来一瓶可乐，当他喝完这瓶可乐的时候，再回到商家那块儿，把这把这个空瓶还给商家，所以说是他喝了3+1+1=5瓶可乐
某种饮料一元一瓶，每瓶饮料的盖上有一张贴纸，四张贴纸可以再找商家换一瓶饮料。小明一共有九元钱，如果可以找商家借给小明一些贴纸，但是喝完要归还，小明最多可以喝到几瓶饮料？
先画酒瓶饮料，喝完了这九瓶饮料的话就有九个空瓶，九个空瓶能换两瓶饮料和一个空瓶，再喝完这两瓶饮料就剩三个空瓶了，小明只需要借一个空瓶就可以，再有一瓶可乐，然后呢，喝完这瓶可乐，再把这个瓶给商家，所以说是他喝了9+2+1=12瓶
可借瓶子时空瓶换水，本质上是一个等量代换的问题