随机变量及其分布

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布，讲述了离散型随机变量、分布函数、连续型随机变量、常用分布等，适用于考试复习！

随机变量及其分布

• I.随机变量及其分布函数
  • 定义
    • 在样本空间Ω上的实质函数X=X(ω),ω∈Ω,称X(ω)为随机变量
  • 离散型随机变量
    • 取值为有线多个或者无穷可数个
    • 概率分布/分布律
  • 分布函数
    • 对任意实数x,X的分布函数：F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞
    • 性质
      • F单调不降，右连续
      • P(X=x)=F(x)-F(x-0)
      • 其它
        • 0≤F(x)≤1
          • P(x₁<X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)
  • 连续型随机变量
    • 概率密度：f(x)，要求非负可积
    • 分布函数：
    • 性质
      • F(x)连续
      • F(x)单调不减，因为F'(x)=f(x)≥0
• 随机变量函数Y=g(x)的分布
  • 离散型
    • Y也是离散型，此时只需要根据分布律写出P{Y=g(xk)}=pk
  • 连续型
    • 公式法
      • f=g(x)单调，导数不为0的可导函数，h(y) 为它的反函数，（α，β）为x可能区间上的值域
    • 定义法f=g(x)单调，导数不为0的可导函数，h(y) 为它的反函数，（α，β）为x可能区间上的值域
• 常用分布
  • 0-1分布
    • 可看成单次伯努利实验
  • X~B(n,p)二项分布
    • 可看成多次伯努利实验
  • 几何分布
    • 则称X为服从参数p的几何分布
  • 超几何分布
    • 则称X为服从参数n,N,M的超几何分布
  • X~P(λ)泊松分布
    • k=0,1,2…；常数λ>0
    • 泊松定理
      • 若n↑会导致p↓，则
  • X~U(a,b)均匀分布
    • 区间(a,b),则X~U(a,b)
    • 区间[a,b],则X~U[a,b]
    • 性质
      • • 落入[c,d]可能性为该区间长度与[a,b]的比例
  • X~E(λ)指数分布
    • 性质：无记忆性
      • P{X>t}=P{X>t+s | X>s }=e^(-λt)
  • X~N(μ,σ²)正态分布
    • 标准正态分布：X~N(0,1)时，分布函数
    • 正态分布标准化：
    • Φ(-x)=1-Φ(x),Φ(0)=1/2
    • 性质