高等数学

本导图汇总了高等数学的知识点，包括函数、函数的极限、函数的连续性、导数与微分、中值定理、渐近线与曲率等。

高等数学

• 一、函数
  • 函数
    • 函数的定义
      • 设x和y是两个变量(均在实数集R内取值)，D是一个给定的非空数集，如果对于每个数x∈D，按照某个对应法则f，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)。其中D称为函数y=f(x)的定义域，x称为自变量，y称为因变量。函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域。
    • 函数的性质
      • 有界性
        • 设y=f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，对于任意x∈I，恒有|f(x)|≤M，则称y=f(x)在区间I上有界；否则称为无界。 如果存在实数M1，对于任意x∈I，恒有f(x)≤M1，则称y=f(x)在区间I上有上界； 如果存在实数M2，对于任意x∈I，恒有f(x)≥M2，则称y=f(x)在区间I上有下界； y=f(x)在区间I上有界⟺既有上界又有下界。
      • 单调性
        • 设y=f(x)在区间I上有定义，如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，则称y=f(x)在区间I上是单调增加(或单调减小)的。
      • 周期性
        • 设f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的常数T，使得对于任一x∈D，有x±T∈D且f(x±T)=f(x)，则f(x)称为周期函数，T称为f(x)的周期。通常把满足上式的最小正数T称为f(x)的周期。
      • 奇偶性
        • 设f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一x∈D，恒有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，则称f(x)为偶函数(或奇函数)。偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
    • 复合函数
      • 设y=f(u)，u=φ(x)，若φ(x)的值域与f(u)的定义域有非空交集，则由y=f(u)及u=φ(x)可复合而成复合函数y=f[φ(x)]，u称为中间变量。
    • 反函数
      • 设y=f(x)的定义域为D，值域为W。若∀y∈W，存在唯一确定的x∈D，满足y=f(x)，则得到的x是y的函数，记为x=φ(y)，称为y=f(x)的反函数，习惯成记为y=f-1(x)。
    • 隐函数
      • 设有关系式F(x,y)=0，若对∀x∈D，存在唯一确定的y满足F(x,y)=0与x相对应，由此确定的y与x的函数关系y=y(x)称为由方程F(x,y)=0所确定的隐函数。
  • 基本初等函数及初等函数
    • 基本初等函数
      • 幂函数
      • 指数函数
      • 对称函数
      • 三角函数
      • 反三角函数
    • 初等函数
      • 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。
  • 常用函数
    • 绝对值函数
    • 符号函数
    • 取整函数
    • 狄利克雷函数
    • 最值函数
    • 双曲函数
      • 双曲正弦函数
      • 双曲余弦函数
      • 双曲正切函数
      • 双曲余切函数
      • 双曲正割函数
      • 双曲余割函数
      • 反双曲正弦函数
      • 反双曲余弦函数
      • 反双曲正切函数
• 二、函数的极限
  • 1 极限的定义
    • 数列极限的定义
    • 当 x→∞ 时 f(x) 的极限
    • 当 x→x0​ 时 (x0 为有限值) f(x) 的极限
    • 当 x→x0 时 (x0为有限值) f(x) 的左右极限
  • 2 数列极限的基本性质
    • 极限的唯一性
    • 收敛数列的有界性
    • 收敛数列的保号性
      • • 推论1
        • 推论2
    • 收敛数列与其子数列间的关系
  • 3 函数极限的基本性质
    • 极限的唯一性
    • 函数极限的局部有界性
    • 函数极限的局部保号性
    • 函数极限与数列极限的关系
    • 复合函数的极限
  • 4 无穷小量与无穷大量
    • 定义
      • 无穷小量
      • 无穷大量
    • 性质
      • 性质 1
      • 性质 2
        • 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量
        • 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量
        • 无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量
    • 无穷小量的比较
      • 等价无穷小替换定理
    • 常用等价无穷小
  • 5 极限的四则运算
  • 6 极限存在的判别方法
    • 单调有界定律
    • 夹逼定律
• 三、函数的连续性
  • 1 函数的连续性定义
  • 2 函数的间断点分类
    • 第一类间断点 (左右极限都存在)
      • 可去间断点(左极限 = 右极限)
      • 跳跃间断点(左极限≠右极限)
    • 第二类间断点
      • 除第一类间断点之外的间断点
  • 3 连续函数的运算性质
  • 4 闭区间上连续函数的性质
    • 有界性与最大值最小值定理
    • 介值定理
      • • 推论
    • 零点定理
• 四、导数与微分
  • 1 导数的定义
  • 2 微分的定义
  • 3 可导、可微与连续三者之间的关系
  • 4 导数的计算
    • 基本初等函数的导数公式
    • 函数的和、差、积、商的求导法则
      • 设u=u(x)，v=v(x)都可导，则
    • 反函数的求导法则
    • 复合函数的求导法则
  • 5 高阶导数公式
• 五、中值定理
  • 1 罗尔(Rolle)定理
  • 2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
  • 3 柯西(Cauchy)定理
  • 4 洛必达法则
  • 5 泰勒(Taylor)定理
    • 泰勒定理
    • 麦克劳林公式
    • 一些初等函数的麦克劳林公式
  • 6 四个中值定理之间的关系
• 六、函数单调性与凹凸性
  • 1 函数的单调性与极值
    • 1.1 单调性
      • • 定理
    • 1.2 极值
    • 1.3 驻点
      • • 定理 (第一充分判别定理)
        • 定理 (第二充分判别定理)
        • 推论
  • 2 函数的凹凸性与拐点
    • 2.1 凹凸性
      • 对于可导函数f(x)的图形
        • 定理
    • 2.2 拐点
      • • 定理 1
        • 定理 2
        • 推论
• 七、渐近线与曲率
  • 1 渐近线
    • • 斜渐近线
      • 水平渐近线
      • 垂直渐近线
  • 2 曲率
    • 弧微分公式
    • 曲率
    • 曲率半径
• 八、不定积分
  • 1 不定积分的定义
    • 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。其中F是f的不定积分。
  • 2 不定积分的基本性质
  • 3 基本积分公式
  • 4 不定积分法
    • 第一类换元积分法
    • 第二类换元积分法
    • 分部积分法
• 九、定积分
  • 1 定积分的定义
    • • 定理 1
      • 定理 2
  • 2 定积分的性质
  • 3 重要定理、公式、关系
  • 4 换元积分公式与分部积分公式
  • 5 反常积分
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
  • 6 定积分的几何应用
    • 平面图形的面积
    • 平面曲线的弧长
    • 旋转体的体积
    • 旋转体的侧面积
    • 平行截面面积已知的立体体积
• 十、微分方程
  • 1 一阶微分方程
    • 变量可分离微分方程
      • 定义
      • 通解
    • 齐次微分方程
      • 定义
      • 通解
    • 一阶齐次线性微分方程
      • 定义
      • 通解
    • 一阶非齐次线性微分方程
      • 定义
      • 通解
    • 伯努利微分方程
      • 定义
      • 通解
    • 全微分方程
      • 定义
      • 通解
  • 2 可降阶的高阶微分方程
  • 3 二阶线性微分方程
    • • 定理 1
      • 定理 2
      • 定理 3
      • 定理 4 (叠加原理)
  • 4 二阶常系数线性微分方程
    • 二阶常系数齐次线性微分方程
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程
  • 5 n阶常系数齐次线性微分方程
  • 6 欧拉方程