导图社区 数量关系
行测之数量关系知识导图，讲述了容斥原理、选项设置、猜题、代入排除、倍数特性、方程法、排列组合与概率、最值问题等。
行策中图形推理的导图笔记，知识点涵盖了位置规律、特征图、图形形式、思路、样式规律 （元素组成相似）、属性规律、特殊规律等。
关于申论的知识总结：包含问法明确，要素少，先判断要写的主体是正面还是负面——如“收缩”消极，特殊问法：问题有哪些，并提出合理对策，问法：问题、风险、挑战、困境等等
行测的类比和定义知识点总结。类比的语义关系，逻辑关系，对应关系，语法关系，词语拆分，补充。定义判断。考公的小伙伴看过来~
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公务员考试：申论
数量
工程问题
基础公式
工程总量=效率*天数
判断
有具体单位
效率总量的单位
无具体单位
有没有多个完工时间
有
完工时间型
无
效率比例
给具体完工时间型
完工时间是指完成同一项工程的多个完工时间
第一、赋工作总量（工作时间的最小公倍数或者比 较好算的公倍数）
第二、算效率，算出每个个体的工作效率
第三、列式求解，根据问题表述列出方程求解
注意：问题陷阱。问单独时间、总时间、某个体休息或者工作时间
给效率比例型
没有多个完工时间、没有具体的单位，有效率比例
方法
1、赋效率
直接型 甲：乙=4:3
间接型 甲的效率是乙的1.5倍 甲3天的工作总量是乙4天的工作总量
特殊型 一台机器的工作量、每个人的工作量、每 辆车的工作量默认效率都为“1”
2、根据工作过程列式计算
给具体单位
找等量关系，列式计算
牛吃草
判定题型
工作总量随着时间而变化
核心公式
Y=（N-x）*T
N：牛的头数✖️牛吃草速度
x常求量-生长速度
Y：原有量
挤时间完成工作
原来完成的量可以不用管，只看剩下的总量 最后问时间，要注意是单个量时间，还是总共用的时间
选项是最后列式约分出来的，选项中不能通过约分的数字，可以直接排除
行程问题
基础题型
基本公式
S=V*T
S一定V与T成反比
V一定S与T成正比
T一定S与V成正比
平均速度
一般：平均速度=总路程/总时间
等距离平均速度公式
适用范围：直线往返、上下坡往返
路程来回相等
读题—画图—分析
火车过桥
火车完全过桥
路程=桥长+车长
火车在桥上
路程=桥长-车长
路程=火车速度✖️时间
流水行船
基础
V顺=V船+V水——上游➡️下游
V逆=V船- V水——下游➡️上游
注意
静水速度=船速；漂流速度=水速
V船=（V顺➕V逆）/2
V水=（V顺➖V逆）/2
船加水减（都是顺-逆）
相遇追及
单次相遇
直线
相遇：同时相向而行
路程和=速度和✖️时间
追击：同时同向而行
路程差=速度差✖️时间 路程差是
环形
S=速度和✖️时间
相遇一次跑了一圈
S=速度差✖️时间
相遇一次，速度快的人多跑一圈
环形起点相遇问题
定义：各人同时回起点相遇的问题 等于返回起点时间的周期的公倍数
做题思路
先算出每个人回到起点的时间
求每个人回到起点时间的公倍数
如果两个人相遇以后速度增加，速度快的人第二圈跑的少，速度慢的人第二圈跑的多
先分析全程，算出相遇时间 再根据单个人的路线行程问题答案
直线多次相遇
相向而行 两端出发
Sn =（2n-1）Sab=速度和✖️时间
相遇一次，共走1个S全程 相遇两次，共走3个S全程
甲乙第一次相遇甲走了500m，第二次相遇甲乙一共走了3个全程，甲走了3✖️500=1500m
甲乙两人分别从AB两地出发，去对方那里卸货 计算时间分别返回各自起点问题 谁卸货时间慢，路程总时间加谁（只加单个） 卸货时间一样，时间不能叠加
同向而行 同端出发
Sn =2nSab=速度和✖️时间
相遇一次，走两个S 相遇两次，走4个s
例题
几何问题
面积比大小
切割法
周长
面积
表面积
体积
结论类
三角形
1、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2、直角三角形———勾股定理（3、4、5、）（5、12、13）
3、相似三角形
边长比=相似比=周长比
面积比=相似比的平方
拓展⚠️立体几何中：边长比=相似比 表面积之比=边长的平方 体积之比=边长的立方
4、同底or同高
同底等高的三角形，面积相等
同底不等高的三角形，面积比是高之比
同高不同底的三角形，面积比是底之比
周长一定，图形越趋近于圆，面积越大
面积一定，图形越趋近于圆，周长越小
表面积一定，越趋近于球星，体积越大
最短距离
平面最短距离，两点连线最短
立体最短距离，需要展开
容斥原理
标准型
出现既…又…
非标准型
常识
画图
容斥极值
两集合
最大值：A、Ｂ中最小数值
最小值：A➕Ｂ➖总数
三集合
最大值
A、Ｂ、Ｃ中最小数值
最小值：A➕Ｂ➕Ｃ-2✖️总数
四集合
最小值：A➕Ｂ➕Ｃ➕D-3✖️总数
经济利润
售价=成本+利润；售价=成本✖️（1➕利润率）
利润=售价-成本；总利润=单个利润✖️数量
利润率=利润➗成本=（售价-成本）/成本
折扣=折后价➗折前价
注意：定价打八折不等于利润打八折 定价减少10元等于利润减少10元
题型
给具体价格，求具体价格（利润、成本、售价）
给比例求比例
题目关系可以简化为：A=B✖️C
用赋值法——一般赋值成本或者数量 谁是不变量就赋谁
赋值⚠️
已知利润率，利润、成本未知，赋值成本100
已知打折率，现价、原价未知，赋值原价为100
已知数量间比例关系，按照比例关系赋值
分段计费
题型：水电费、出租车费、优惠比例
方法：分段计费，汇总求和
需要考虑相差的数值在第一个范围，还是在第二个范围
注意：合并付款优惠，问合并后比之前优惠多少钱 用线段表示合并付款钱数，一个人钱数不变，另一个人合并以后折扣变化与之前的相比
只在第一个范围，相差值可以被第一个范围的单价整除
只在第二个范围，相差值能被第二个数整除
不能被这两个单价整除，则列式ax+by=c，根据倍数特性进行求解
函数最值
题型特征
单价和销量此消彼长，问何时利润、销售额达到最大
设提价、降价次数为x
根据题目列等式，求式子为0时x的两个值
求两个数的平均值，即为最值
看清题目询问降价次数、利润总额、最大销量、最优价格
鸡兔同笼
正负盈亏
需要知道单件盈利与单件亏损，总件数，总盈利数。才可以用
排列组合与概率
先算分母，能算分子则算，算不出来则约分—看选项
捆绑-先捆再排
插空
先排相邻再插空
有捆绑又有不相邻,先排能相邻的，再使用插空
枚举法
情况少于 10 种
原则：从大到小、从多到少．
相同元素分堆
分情况
两个或者多个人先后做某事
正难则反
最值问题
题干特征
放回的抽取多少、几个人分配任务 问最多、最少情况 平均数问题，问第几名最多、最少多少分
解题方法
最不利构建
答案=最不利情况➕1
数列构建
找最极端情况
构造数列
列方程，求谁设谁
求解
方阵问题
多少人拍成不同的实心方阵
基本公式：总方阵=最外层每边人数的平方
方阵最外层每边人数=方阵最外层人数➗4➕1
方阵外一层总人数比内一层人数多2人
去掉一行、一列的总人数=去掉每边人数✖️2➖1
溶液问题
混合都是大小混合
线段法
混合增长率中基期量可以现期量代替（当r相差几十个百分点的时候不能替代）
量是率的反比（率是相减、加的差值；量是直接比的）
资料分析中，问人数比例，但是没有人数的数据
用混合平均数线段法
数列
星期推断
出现周几，问多少天后是周几 今年几月几号是周几，问去年/明年这一天是周几
解题思路
整年推断
过一个平年星期天数➕1
过一个闰年星期天数➕2
每连续7天，必有周一到周日各1天
每连续28天，必有周一到周日各4天
遇一个月内一号或者29号为周几 先取连续的28天，求前取后，求后取前
日期
和
不跨月是等差数列，d=7
跨月可以代入计算
积
倍数特性：3or9
比赛问题
淘汰赛
仅需决冠军亚军比赛场数=参赛选手数➖1
需觉前四名场次=参赛选手数
循环赛（默认为单循环赛）
单循环C
参赛选手数✖️（参赛选手数➖1）➗2
双循环A
参赛选手数✖️（参赛选手数-1）
植树问题
1、找公倍数
2、看两端种不种树
两端均不植树
棵树=总长➗间距➖1
只有一端植树
棵树=总长➗间距
两端均种树
棵树=总长➗间距➕1
题干要求
提问方式：两边总数量、单边数量、每人种植几颗
年龄问题
算得是周岁
年龄差永远不变
年龄倍数递减
列表格—横着写人，竖着写时间，表格填年龄
2025年时45的平方；1936年是44的平方
时间问题
钟表问题
两个小时之间时针间隔为60
两个小格之间的是6
时针每分钟走0.5
分钟每分走6
周期问题
出现循环或周期，问过/第N天/次是什么
找周期：确定周期的起点和长度
算余数：总数➗周期长度=多少个周期……余数n
做等价
第几个：余几数几
过几个：余几加几 过几个=第n➕1个
周期相遇
题型：多个周期出现，问相遇时间
解题思路：找多个周期的最小公倍数
注意：每隔n天=每（n➕1）天
余数为0，则为周期最后一个
问谁最多排几次，将他放在第一个进行排列 问最少排几次，将他放在周期末尾
eg：甲乙丙三人轮流值班一周内要求乙值班天数最多，问最多的天数是多少
按照此排列：乙丙甲、乙丙甲、乙➡️乙一共值班天数为3天
统筹问题
过一个平年星期数➕1；过一个闰年星期数➕2
连续周期上班
连续7天，必有周一到周日
连续28天，必有周一到周日各4天
计算方法
连续取28天，求前取后，求后取前
三大方法
代入排除
题型：年龄、余数、不定方程、多位数
选项：选项为一组数或者题目中有明显的一组数
初步看题排、排除后剩余两个选项
利用三种特性排除
直接带入选项验证，从最值、整数、好算的数
题干
已知起始求结果➡️正退
已知结果求起始➡️倒退
遇矛盾就排除，全符合就选择
倍数特性
整除型
题型可以化解为A=B*C的形式
用加减法、乘法口诀
用因式分解
用拆分法
个位和十位数字对调相➖以后是9的倍数
猜题
行程问题：总量=效率X时间 总量往往能被时间或者效率整除
行程问题：路程=速度X时间 路程往往能被速度整除 时间有时候是分数
经济利润问题：总价=单价X数量 总价往往能被单价或者数量整除
余数型
余同加余
和同加和
差同减差
比例型
A/ B=m/n m、n互质
A是m的倍数
B是n的倍数
A +B是m+n的倍数
A-B是m-n的倍数
方程法
一般方程
设未知数原则
设小不设大
设中间量
设所求量
遇比例设份数
不定方程
奇偶特性：M=ax+by，a、b为一奇一偶
倍数特性：M=ax+by，a或b与M有公因数，可以约分
尾数特性：M=ax+by，M尾数为0或5时
不定方程组
x、y为整数（人数、个数、车），消元法
需要、不一定为整数（钱数、时间）
具体数值：猜中间数值的两个选项之一
区间范围：猜中间范围之一
文字描述
先比较大小，再猜题（要先排除两个选项）
概率（比例，百分数）
选项之间有两个选项加和为“1”，猜这两个之一
没有加和为“1”的选项，猜分子、分母相加和最小的选项
几何图形
长度：用尺子量，算比例
选项设置
具体数字
区间范围
概率（比例）
