数学思想方法

小学数学与数学思想方法上篇思维导图，包括数学思想方法简介，与抽象有关、与推理有关、与模型有关的数学思想等。

数学思想方法

• 简介
  • 数学思想方法
    • 数学的灵魂
    • 人们对数学理论和内容的本质认识，是数学思想的具体化认识
  • 数学思想
    • 对数学知识的本质认识、理性认识（理论性、抽象）
  • 数学方法
    • 一般是指用数学解决问题时的方式和手段（实践性、具体）
• 与抽象有关
  • 抽象思想
    • 对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。
  • 符号化思想
    • 数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用。
  • 小学数学四大领域：1、数与代数 2、图形与几何 3、统计与概率 4、综合与实践
  • 分类思想
    • 分而治之，各个击破，综合归纳
  • 集合思想
    • 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合，简称集，其中每个事物叫做该集合的元素，简称元
  • 变中有不变思想
    • 万变不离其宗
  • 有限与无限思想
    • 透过现象看本质
• 与推理有关
  • 归纳推理
    • 是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法
  • 类比推理
    • 是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法
    • 特征：结论可真可假，需进一步证明结论可靠性
  • 演绎推理
    • 是根据一般性的真命题或逻辑规则推出特殊性命题的原理
    • 特征：当前提为真，结论必然为真
    • 常用形式：三段论，选言推理、关系推理，假言推理
  • 转化思想
    • 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不宜解决该问题时，往往会将需要解决的问题不断转化形式把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决
  • 数形结合思想
    • 通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法
  • 几何变换思想
    • 平移变换、旋转变换、反射变换、相似变换
  • 极限思想
  • 代换思想
• 与模型有关
  • 模型思想
    • 数学模型是用数学语言概括的或近似的描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构
  • 方程思想
    • 方程是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，可以用来描述现实世界中的各种数量关系
  • 函数思想
    • 函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，可以用来描述现实世界中的各种数量关系
  • 优化思想
  • 统计思想
    • 概念：一般情况下，采取抽样调查的方法，收集和分析数据样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策。
    • 方法：
      • 用样本的频率分布估计总体的分布
      • 用样本的数据特征如（平均数、中位数、众数）估计总体的数据特征
  • 随机思想
    • 随机现象如气候变化、物价变化、体育比赛、汽车流量等
    • 这些现象都离不开对数据的分析以及对事件发生可能性大小的定量刻画，从而做出合理的预测和决策。这正是统计概率研究的主要内容
• 其他
  • 数学美思想
  • 分析法和综合法
    • 都是思维的基本方法具有逻辑性
  • 反证法
    • 间接证明的一种基本方法 是演绎推理的一种
  • 假设法
    • 是转化方法的一种
  • 穷举法
    • 也叫枚举法、列举法，是指在解决计数问题的过程中，当需要计算的次数不多时通常要把计数的所有对象列举出来，从而求出其总数
    • 应用：简单的排列组合问题
  • 数学思想方法的综合应用