山东省考数量关系部分思维导图

山东省考数量关系部分的思维导图已整理完毕，可自己再进行补充和标注重点，事业编考试也可用，值得收藏。

数量关系（方法及题型）

• 代入排除法
  • 什么时候用
    • 特定题型
      • 年龄问题
      • 余数问题：“剩”“余”“缺”
      • 不定方程：未知数个数>方程个数
      • 多位数：研究位数变化
        • 注意： 1.看到多位数问题，优先考虑代入排除 2.计算时，选择估算，或者尾数法
    • 选项信息充分（分别、各）：选项为一组数
    • 剩二代一：排除后只剩两项，代入其中一个
  • 怎么用
    • 第一步：先排除：奇偶、倍数、尾数
    • 第二步，再代入：①最值原则②好算原则
• 倍数特性法
  • 整除型
    • 1.如果A=B*C（B、C均为整数），那么，A能被B整除，且A能被C整除
    • 2.题型： （1）平均分配物品 （2）三量关系。如经济利润问题，总收入=单价*数量。如行程问题，S=V*t
    • 整除判定法则： 1.一般用口诀法： （1）3、9看各位数字之和 （2）2、5看末1位 （3）4、25看末2位 （4）8、125看末3位 2.没口诀的用拆分法： 3.复杂倍数用因式分解 tips：注意分解后的2个数必须互质
  • 余数型
    • 1.找等量关系或列式满足“答案=ax±b”的形式，就可以考虑余数型
      • 优先考虑代入排除/猜题（根据选项之间的关系）
      • 注意：选项差距特别大，往往有坑，有坑可以猜题
  • 比例型
    • 1.如果A:B=m:n（m与n互质），互质就是化简到最简分数，不能再约分。那么 （1）A是m的倍数 （2）B是n的倍数 （3）A+B是m+n的倍数 （4）A-B是m-n的倍数 2.比例常见形式：分数、百分数、比例、倍数
      • 1.也可以列方程解方程做题，或者用线段法解题 2.切入点：看到分数、百分数、比例、倍数，优先考虑比例型倍数特性
• 方程法
  • 普通方程
    • 1.找等量关系（找和、差、倍、比的等量关系）、设未知数、列方程、解方程 2.设未知数技巧： （1）设小不设大（避免分数） （2）设比例份数（出现比例） （3）设中间量（方便列式） （4）同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）
  • 不定方程
    • 不定方程：ax+by=M，一个方程多个未知数，或是未知数个数大于方程个数，为不定方程 1.方法：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，尝试代入排除 2.奇偶：ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性 3.倍数：ax+by=M，当a或b与M有公因子时，考虑倍数特性 4.尾数：ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数
  • 不定方程组
    • 第一类：未知数一定是整数的不定方程组，如人数、机器数
      • 方法：先消元转化成不定方程，再按不定方程求解（见上条解不定方程的方法）
    • 第二类：未知数不一定是整数的不定方程组，如单价（钱数）、时间
      • （1）特值法（一般赋0）：可以赋其中一个未知数为0，从而快速计算出其他未知数 （2）配系数。不建议，比较慢，除非一眼能看出系数怎么配，如果一眼看不出，建议赋0法
• 赋值法
  • 在工程问题中讲解
• 工程问题 三量关系：总量=效率*时间
  • 给完工时间型
    • 1.方法： （1）赋总量（完工时间的公倍数） （2）算效率：效率=总量/时间 （3）根据工作过程列方程或式子 2.找公倍数训练：①短除法、②因式分解法
  • 给效率比例型
    • 1.方法 （1）赋效率（满足比例即可） （2）算总量：总量=效率*时间 （3）根据工作过程列方程或式子 2.赋效率类型： （1）直接给效率比例：甲：乙：丙=6：5：4（赋值甲、乙、丙的效率为6、5、4）或甲=2*乙（赋值乙的效率是1，甲的效率是2） （2）间接给效率比例：甲3天的工作量等于乙2天的工作量，可知3*甲=2*乙，则甲/乙=2/3，赋值甲的效率为2、乙的效率为3 （3）给具体人数或机器数：建筑公司安排100名工人去修路。默认每人的效率为1.则100名工人效率为100
  • 给具体单位型（不能赋值）
    • 给具体单位型：给出了具体数据。给了具体数据、具体单位，就不能赋值 1.设未知数 2.找等量关系列方程
  • 牛吃草类型
    • 知识点：牛吃草类型：类似一个水龙头进水，一个水龙头出口；类似行程问题的追及，本质相同 1.公式：y=（n-x）*t ；y：草地原有草量的消耗量（一般消耗完），n：牛每天吃的量，x：每天的长草量 2.原理：总净消耗量=每天净消耗*时间 3.题型判定：排比句；有增长、有消耗
• 行程问题 三量关系：路程=速度*时间
  • 基础行程
    • 普通行程： 1.基本公式考查：路程=速度*时间，即S=V*t。一定要找到等量关系，根据路程和时间找，很少根据速度找，速度要么已知要么是所求 （1）火车完全通过桥：总路程=Q桥+L车。火车头触碰到桥的一瞬间到车尾离开。 （2）火车完全在桥上：总路程=Q桥-L车。车尾上桥到车头还没离开桥面，火车完全在桥上 （3）没有考察部分在桥上的 2.等距离平均速度
    • 普通行程： 1.基本公式考查：路程=速度*时间 2.等距离平均速度：两段距离相等，假设第一段距离为S，第二段距离也为S，第一段速度为V1，第二段速度为V2 （1）公式：V平均=（2*V1V2）/（V1+V2） （2）推导：等距离V平均=总路程/总时间=2S/【(S/V1)+(S/V2)】=2÷【(V1+V2)/(V1V2)】=（2V1V2)/(V1+V2) （3）适用于：等距离两端、直线往返、上下坡往返 （4）考查比较少，上一次考查为2015年山东省考，事业单位考查比较多
      • 注意： 1.等距离平均速度即两段距离相等 2.等时间平均速度：（V1+V2）/2，两段时间相等，V平均=总路程/总时间=（t/V1+t/V2）/2t=（V1+V2）/2。此种比较简单，所以不考查
  • 相对行程
    • 相对行程：比较难，考的也比较多 1.相遇追及：考查比较多 2.多次运动：考查比较少 3.流水行船：考查次多
      • 直线相遇：两人同时相向而行 1.相遇：两个人一人从左边走，一人从右边走，两人共同走的路程 2.相向而行：头碰头、背靠背，方向相反 3.公式：S和=（V1+V2）*t
      • 直线追及：两人同时同向而行 1.追及是同向而行，有时候会说成“相遇”。根据方向判定。相遇是头碰头、背靠背，方向相反；追及时，方向相同 2.推导：见讲义 3.公式：S差=（V1-V2）*t。S差：追及开始时两人相差的距离
      • 1.环形相遇： （1）不同点出发，此时与直线相遇问题相同，所以很少考查 （2）同点相向出发（考查较多） ①公式：S和=（V1+V2）*t ②本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和 2.环形追及 （1）不同点出发：路程差S差=（V1-V2）*t，与直线追及相同，所以很少考查 （2）同点同向出发（考查较多）：本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈
      • 多次往返迎面相遇：讨论直线上多次往返相遇问题 1.两端出发： （1）画图分析 （2）两端出发相遇：第一次相遇，共走1S；第二次相遇，共走3S（从 出发点开始计算）；第n次相遇，共走（2n-1）*S=（V1+V2）*t 2.一端出发： （1）画图分析 （2）一端出发相遇：第一次相遇，共走2S；第二次相遇，共走4S；第n次相遇，共走2nS=（V1+V2）*t 3.区分方法：画图分析，两端出发第一次相遇时，两人路程和为1个S，对应（2n-1）S
      • 流水行船：平均3~4年考一次，上一次是在2017年山东省考中考查 1.公式：背诵、熟练运用 （1）基础公式：V顺=V船+V水①；V逆=V船-V水② （2）推导公式：①+②得，2*V船=V顺+V逆，则V船=（V顺+V逆）/2；①-②得，2*V水=V顺-V逆，则V水=（V顺-V逆）/2 2.注：静水速度（水静止）=船速、漂流速度（船速为零）=水速
  • 比例行程：即比例法，也可以用方程法做，但比较麻烦
    • 比例行程：知识点相对较难，但近几年考题比较简单 1.三量关系：路程=速度*时间（S=V*t） 2.三量关系： （1）路程一定（相同），速度与时间成反比 （2）速度一定（相同），路程与时间成正比 （3）时间一定（相同），路程与时间成正比
      • 梳理： 1.何时用比例法？ 答：用方程法解题时，发现未知数特别多（或者感觉少条件），此时往往考比例行程 2.例1：没有给出速度和时间，只给出路程，如果设未知数需要有很多未知数，此时用比例法 3.例2：没有给出老王和老李的速度和时间，设未知数比较多，此时用比例法
• 经济利润问题
  • 一、基础经济 经济利润问题：山东省考一般考查1题左右。经济利润最重要的就是公式，记住公式比较容易找等量关系列方程
    • 1.常用公式： （1）利润=售价-进价 （2）利润率=利润/进价 （3）售价=进价*（1+利润率）。推导：售价=进价+利润=进价+进价*利润率=进价*（1+利润率），和现期、 基期、增长率类似 （4）折扣=折后价/折前价 （5）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量
    • 2.常考类型 （1）基础经济（考查较多） ①已知具体价格，求具体价格（利润、成本、售价）；列式、列方程 ②已知比例，求比例（利润率，折扣）：赋值法 （2）分段计费（考查相对较少）
  • 二、分段计费：难度不大，有点绕
    • 1.题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同。 2.计算方法：分段计算、汇总求和
• 高频几何问题
  • 几何问题：山东省考考查不多，平均一年考查1题，国考考查较多，接近2题
    • 1.公式类： （1）规则图形。直接套公式 （2）不规则图形。经过割、补、平、移，再套公式 （3）勾股定理相关
      • 几何公式： 1.周长： （1）正方形：4a；长方形：2*（a+b） （2）圆形：2πR；弧长：2πR*n°/360°，弧长相当于圆的一部分，已知圆形周长为2πR，则n°对应的弧长为2πR*n°/360° 2.面积： （1）正方形：a²；长方形：a*b （2）三角形：a*h/2；圆形：πR²；扇形：πR²*n°/360° （3）梯形：1/2*（a+b）*h；菱形：对角线乘积/2 3.表面积： （1）正方体：6a²；长方体：2*（ab+ac+bc） （2）圆柱体：2πR²+2πRh；球体（考查较少）：4πR² 4.体积： （1）正方体：a的三次方；长方体：a*b*c （2）柱体：S*h；椎体：S*h/3。无论是三、四、五棱锥、圆锥，体积公式都是S*h/3。球体：4πR的三次方/3
      • 勾股定理相关：a²+b²=c²、特殊角三角形三边关系 1.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）、（7、24、25） 2.特殊角三角形三边关系： （1）30°直角三角形：30°所对的直角边等于斜边的一半、另外直角边为√3倍，对应的边长比为1：2：√3 （2）45°直角三角形（等腰直角三角形）：对应的边长比为1：1：√2
    • 2.结论类 1.相似三角形 2.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比 3.几何最值理论 4.平面最短距离
      • 相似三角形： 1.判定：两个三角形的三个角分别对应相等，则三角形相似 2.结论：对应边之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
      • 几何最值理论： 1.平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大。如正方形比三角形更接近圆，正六边形比正方形更接近圆，正方形比长方形更接近圆 2.立体图形中，表面积一定，越接近于球，体积越大
      • 平面最短路径： 1.方法：平面反射，点到线做镜面对称，再连接
• 最值问题
  • 最值问题平均每年考查1道 考查类型：山东省考考查比较多的是后两类，函数最值联考考查比较多 （1）函数最值 （2）构造数列 （3）最不利构造
    • 函数最值： 1.题型判定：单价和销量此消彼长，或问何时总价/总利润最高？ 2.计算方法（两点式）： （1）设提价次数为x （2）令总利润/总售价为0时，解得x1、x2 （3）当x=（x1+x2）/2时，取得最值
      • 注意 1.方法： （1）看条件列式子：两括号相乘 （2）求出使算式等于0的两个x的值 （3）计算两个x的平均值，进而得到问题所求 2.如果不会做，可以采用代入排除，四个选项都代入，估计3分钟能做出来
    • 最不利构造：比较好玩的题型，相当于“爱情故事” 1.题型特征：至少。。。保证。。。，或类似问法，如至少。。。一定。。。 2.方法：最不利情况（最坏情况）+1，即把所有最坏情况考虑到，最后加1，即可成功 3.引例： 4.分类型最不利构造三步走： （1）分类 （2）每类离成功差1，不够全取 （3）再加1
      • 注意 1.分类 2.每类离成功差1，不够全取 3.再加 4.需要理解“最多”的逻辑含义，如：
    • 构造数列：考查逻辑。如果逻辑判断学得比较好，构造数列问题一定会学好 1.题型特征：最。。。最。。。，排名第几。。。最。。。 如体重最轻的最轻多少斤、体重最轻的最重多少斤、体重最重的最轻多少斤、排名第二的最多是多少、排名第三的最少是多少 2.方法： （1）排序定位 （2）反推其他 （3）加和求解
      • 注意： 1.构造一个名次 2.求谁设谁 3.反推其他 4.加和求解 5.①答案非整数时：问最少向上取整、问最多向下取整 ②条件中是否给出主体个数互不相同 口诀： （1）多退少补，看到“至少”补上即可 （2）例：问最多为8.9，答案为小于8.9的最小整数，则结果为8
• 容斥定理
  • 1.容斥原理本质：去重补漏 2.考查类型： （1）两集合容斥原理 （2）三集合容斥原理 3.解题方法： （1）公式法（考查多）： 两集合：A+B-AB+都不=总数； 三集合：A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不=总数（标准型）； A+B+C-（只AB+ABC）-（只BC+ABC）-（只AC+ABC）+ABC+都不=总数（非标准型，只满足两种=满足两种，两门及格，另一门不及格）； 满足一项+满足两项+满足三项+都不=总数（常识型） （2）画图法（考查少）
    • 三集合标准型与非标准型的区分： 1.标准型判定：分别给出或求解两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C） 2.非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）
    • 容斥原理的方法选择： 1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分 2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足某一个条件） 画图法三步走（出现“只。。。”，优先画图）： （1）第一步，画圈圈：两集合画两个圈、三集合画三个圈 （2）第二步，标数字（从里到外，注意去重） （3）第三步，列算式
• 排列组合与概率
  • 排列组合问题
    • 基础题型
      • 1.两个原理 （1）加法原理：分类用加法 ①一步完成 ②要么。。。要么 ③或 （2）乘法原理：分步用乘法 ①多步完成 ②既。。。又 ③且 2.补例： 3.两个概念： （1）排列（A）：与顺序有关 （2）组合（C）：与顺序无关 4.注意： （1）A和C指的是上角标有无顺序，和其他无关 （2）例如 5.判定标准：从主体当中任意的挑出两个，调换顺序： （1）对结果有影响，与顺序有关（排列） （2）对结果无影响，与顺序无关（组合）
        • 排列组合思维逻辑三步走： 1.目标是什么？ 2.如何完成目标？（加法原理还是乘法原理） 3.排列还是组合？打乱顺序： （1）对结果有影响：排列 （2）对结果无影响：组合 （3）备注：有些题目前两步即可完成：第二步和第三步顺序有时会颠倒
    • 经典题型： 1.枚举法 2.捆绑法 3.插空法 4.插板法。考查较少，一般小型考试，例如：事业单位或者三支一扶会考查
      • 枚举法 1.观察选项，如果数据不大（选项不大，数字≤10），可以利用枚举的方法 2.注意：别查漏了，最好按照一个标准，从大到小
      • 捆绑法 1.只要看到“在一起”、“相邻”、“相连”，可以用捆绑法 2.补例： 3.方法： （1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。 （2）再排：将捆绑后的看成一个元素（看成大胖子），进行后续排列
        • 记住常考的排列组合数： 1.A（3，3）=3*2*1=6 2.A（4，4）=4*A（3，3）=4*6=24 3.A（5，5）=5*A（4，4）=5*24=120 4.C（4，2）=（4*3）/（2*1）=2*3=6 5.C（5，2）=（5*4）/（2*1）=5*2=10 6.C（6，2）=（6*5）/（2*1）=3*5=15
      • 插空法：不在一起、不相邻、不相连 1.补例： 2.方法： （1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位 （2）再插：将不相邻的元素插入到空位中
      • 插板法 1.补例： 2.用法特征（必须同时满足） （1）必须是相同的东西 （2）每人至少一个 3.方法： （1）n个物品形成n-1个空，分给m个人，每人至少一个，需要m-1个板子 （2）共有C（n-1，m-1）种分法
        • 1.插板法事业单位考的多，公务员考试很少考 2.若记不住插板法的公式，可以自己画图
          • 1.插板法用法特征：相同的东西：每人至少分一个 2.若出现每人至少分多个，先转化为每人至少分1个
  • 概率问题（比排列组合问题要简单一点，但是建立在排列组合问题基础之上）
    • 1.给情况求概率：概率=满足要求的情况数/所有的情况数 2.给概率求概率： （1）分类用加法（一步完成；要么。。。要么；或）：P=P1+P2+....+Pn （2）分步用乘法（多步完成：既。。。又。。。；且）：P=P1*P2*...*Pn 3.逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率
      • 两个人（物）在一起的概率：先让一个人（物）随便挑，再让第二个人（物）去找他。跟屁虫原理用来求解在一起的概率题
• 除高频题型外还有小题型：溶液问题、周期问题、线段法等
• 中：简：难=5：3：2， 做3~4道简单题，其他6~7道统一猜一个选项， （山东省考B、C项特别多）， 不知道哪个简单，和差倍比、经济利润、工程问题可以优先做