五年级数学上册

本图总结了五年级数学上册知识点，包括小数除法、轴对称和平移、倍数和因数、多边形的面积、分数的意义、组合图形面积等。

小学数学五年级上册(BS版) 2021.8—左右制作

• 第一单元：小数除法
  • 1.小数除法意义：
    • 已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，和整数除法意义相同
  • 2.除数是整数：
    • 从被除数的最高位除起，除到哪一位就在那一位上写商，商的小数点要与被除数的小数点对齐。例：26.5÷5；11.5÷5
    • 从被除数的最高位除起，除到被除数的末位仍有余数的，就在余数的后面添加0继续除 例：18.9÷6；26÷4
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        • 小数点移位：左缩右扩，一位10倍；灵活应用被除数、除数或商移位运算 例：乐乐和悠悠一共有896.5元，乐乐的钱数的小数点向左移动一位，他的钱数就和悠悠一样多，请问两人的钱
        • 消元思想：二元一次方程组中两个未知数，如果消去其中一个，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可先求出一个未知数，然后再求出另一个，这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫消元思想； 消元方法：1.代入消元法 2.加减消元法
        • 方法运用：消元法解决差倍问题 例：一个小数，如果把它的小数部分扩大3倍，这个数变成4.2,； 如果扩大7倍，这个数变成5.8。这个数是多少
    • 从被除数的最高位除起，如果商的中间哪一位上不够商1，就在那一位上用“0”占位 例：12.6÷12；43.23÷6；
    • 整数除以整数，如果商的整数部分不够商1，那么要在商的个位用0占位，并在0的后面点上小数点，同时在被除数个位的后面也点上小数点，添加0继续除； 例：18÷24；2.6÷5；2.52÷36
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        • 方法运用：消元法解解方程 例：学校上午买了4个足球和2干篮球，共付436.8元；下午买了同样的1个足球和2个篮球，共付人民币237元。一个篮球和一个足球各多少元？
        • 思维开放：用画线段解决平均分 例：甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱买气球。甲拿到的气球比乙拿到的气球少6个，乙、丙拿到的气球同样多。这样，乙、丙每人要给甲0.8元。每个气球的售价是多少钱？
  • 3.除数是小数
    • 计算方法：移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位；位数不够的，在被除数的末尾用0补足；然后按整数除法计算 例：5.28÷1.2；5.76÷0.03；8.4÷0.56；67.85÷0.25；56÷0.14
    • 商不变规律：被除数和除数同时乘(或除以)相同的数(0除外)，商不变。例：5.1÷0.3；54÷7.2
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        • 方法运用：用转化法解决小数位多的除法 例：0.00000247÷0.000000013
    • 商变化规律： 被除数不变，除数扩大几倍，商缩小同样倍数。除数缩小几倍，商扩大同样倍数 除数不变，被除数扩大几倍，商扩大同样倍数，被除数缩小几倍，商缩小同样倍数
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        • 思维开放：用商的变化规律解决错解题 例：小明在计算一个三位小数除以一个数时,漏掉了被除数的小数点,得到错误的商是68.09，请算出正确的商？
    • 小数除法验算与整数除法方法相同：商 x 除数 = 被除数；被除数 ÷ 商 = 除数
  • 4.积/商近似值
    • 积的近似值：先算出准确的积，再根据题目或生活习惯用四舍五入取近似值 商的近似值：先看保留几位小数，根据要求多除一位，再用四舍五入取近似值 四舍五入口诀：保留哪位看下位，拿它和5做比对;4舍5入要记牢，还有等变约等号
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        • 保留位末尾若是0，不能去掉 例：1.904保留两位≈1.90
    • 近似值解决货币兑换和汇率问题：明确兑换关系，最终结果算到千分位，然后保留两位小数（特殊要求除外，默认都保留两位小数：元 . 角分） 例：妈妈用600元人民币可兑换多少美元(1美元兑换人民币7.61元)？
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        • 四舍五入与平均数近似值应用 例：12个双数的平均数，如果保留一位小数是14.8，那么如果保留两位小数，应该是多少？
        • 列举法/比较法求被除数极值问题 例：A÷0.8=B，B是一个一位小数，保留整数是3。A最大是?最小?
    • 商与被除数大小关系： 除数大于1，商比被除数小；除数等于1，商与被除数相等；除数小于1，商比被除数大 （前提：除数、被除数都大于0）例：不计算比较大小类题目
  • 5.循环小数
    • 循环小数：一个数的小数从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。 例：73÷3=24.3333...；9.4÷11=0.85454...；但3.8888不是循环小数。注意写法区分
    • 循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复的数字，叫这个循环小数的循环节。 例："3"是24.3333...的循环节；"54"是0.85454...的循环节。
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        • 用循环节求循环小数指定位数上的数字 例：2÷13的商的小数点后第1000位上的数字是几？
    • 循环节的简便写法：可只写一次循环节，然后在其首位、末位数字头上各点一个圆点 例： 0.8543543543...，读作：零点八五四，五四三循环；写作：
  • 6.四则混合运算
    • 加减乘除混合算，明确顺序是关键；同级运算最好办，从左到右依次算。 两级运算都出现，先算乘除后加减；遇到括号怎么办，小括号里要优先。 例：8.5-3.5÷5;
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        • 运用分类法和图示法解决问题 例：小郭从家打车去学校，共付车费15.6元．小郭家到学校的路程最远是多少千米？出租车收费标准如下：2.5km以内(含2.5km)收费6元，超过2.5km，每千米收费1.6元（不足1km按1km计费）．
        • 除法运算性质简算:一个数连续除以几个数，可除以后几个数的积，也可调换除数位置，商不变。例：8.1÷18=8.1÷(9x2)；1.38÷0.125÷8
• 第二单元：轴对称和平移
  • 1.轴对称图形的定义
    • 定义：平面内，一个图形沿一条直线对折后，折痕两侧的部分能够完全重合的图形就叫轴对称图形；折痕所在的直线叫做对称轴。轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，对称轴画为虚线，且两端超过图形。轴对称图形是指平面内，例如小鸟，人体等是具有对称性的物体，而不是对称图形
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        • 用轴对称解决实际问题： 例：老杨去世留下两亩田地(形如右图)，杨家四兄弟因分不均反目，找苏轼主持公道，你知道怎么分才公平吗？
        • 利用列表法解决纸张多次对折问题：把一张长方形的纸沿着同一个方向连续对折n次，折出的小长方形的个数就是n个2相乘的乘积： 例：把一张长方形的纸沿着同一方向连续对折5次，在中间剪下一个正方形，那么展开后这张纸上有多少个正方形（32）
        • 例：在一条公路的同一侧有远近不同的A、B两个村庄，要在公路边上建一个公交站，建在什么位置能使公交站到A、B两个村庄的距离之和最短？思考：如果A、B在公路的两侧该怎么建？
  • 2.轴对称图形的特点
    • 沿对称轴对折后，对称轴两侧图形可以完全重合
    • 对称点到对称轴的距离相等
  • 3.方格纸画轴对称图形
    • 画图步骤： 1.定端点：确定图形每条线段的端点 2.量距离：数出各端点到对称轴的方格距离 3.描对称点：在对称轴 的另一侧描出各端点的对称点 4.连对称点：按原图形的顺序依次把描出的对称点连起来 巧记口诀：最关键，找端点，点轴距离数格算；细心找准对称点，有序连点图形现
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        • 运用轴对称图形特点补画图形：
例：请在右图中再画一个相同的小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴，你能找到几种？
        • 运用镜面对称原理解决生活中实际问题：实际时间+镜面时间=12时 例：小李在镜子中看到身后墙上的钟，实际时间最接近8时的是( )
        • 镜面对称特点： 上下不变、前后不变、 左右相反。
  • 4.轴对称图形的平移
    • 平移方法：1.找出原图关键点(或关键线段) 2.按要求格数平移关键点(或关键线段)，并描出对应点或线段。 3.按原图形连接连接对应点或线段
      • 平移特点： 物体平移后大小、方向、形状都不变，只是位置发生变化
    • 注意：图形平移几格并不是指两个图形之间相距几格，而是指原图形的关键点与平移后的图形的对应点之间的距离
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        • 用平移解决实际问题： 例：如图BC垂直于地面，高度5.076m，要在AC上建造台阶，如果每级台阶的高度不超过20cm，那至少要建多少级台阶？
        • 例：如图一块边长为8m的正方形土地,上面修了横竖各两条道路,宽都是1m, 空白部分都种上草皮,请利用平移知识求出种草皮的土地面积
  • 5.复杂的图案设计
    • 应用平移或轴对称设计图案，要先选好基本图案，平移要确定好平移的格式和方向；轴对称要确定好对称轴，选好关键点或线段
    • 平移、轴对称是设计图案的常用方法，可单独也可同时使用，但并不是所有的图案都一定要运用这两种方法，非对称也是一种美
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        • 如图所示，4盏霓虹灯安装在大正方形的4个小正方形框里，3秒后，上下的灯互换图案，又过了3秒，左右的等互换图案，…，重复这样的变化规律．请画出经过1分钟霓虹灯的排列图案．
• 第三单元：倍数和因数
  • 1.倍数和因数
    • 意义：如果a x b= c(a,b,c均为非零的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数
    • 倍数和因数的关系：倍数和因数是乘法算式中积和乘数的关系，是两个不同但又相互依存的概念，没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数，应该说谁是谁的倍数或因数，就像父子关系。
    • 0的特殊性：在自然数中，0是一个特殊的数，0乘以任何数都等于0，0是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。所以讨论它没有太大意义，一般排除。
    • 倍和倍数的区别：倍的概念比倍数广，倍适用于小数、分数、整数；而倍数只是相对于因数而言的，只适用于0除外的自然数；例：0.9x2=1.8不存在倍数和因数的关系
    • 找倍数
      • 列乘法算式找倍数 例：7,14,17,25,77哪些数是7的倍数？ 用7分别和自然数1，2，3...相乘，所得到的积都是7的倍数
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          • 找一个数的倍数，用“列乘法算式”的方法简单； 判断一个数是不是另一个数的倍数，用“列除法算式”方法简单
      • 列除法算式找倍数 例：7,14,17,25,77哪些数是7的倍数 用上面的数分别除以7，能整除的那个数就是7的倍数
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          • 用归纳法解决倍数问题：如果两个数是同一个数的倍数，那么这两个数的差或和也是这个数的倍数 例：36是6的倍数，24是6的倍数，36与24的差(和)是6的倍数吗？
          • 用于倍数知识解决实际问题 例：五一班进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班多少人吗？（48人）
      • 倍数表示法：
        • 1.列举法：从这个数本身写起，从小到大，逗号分隔，末位省略号代替 例：7的倍数：7，14，21，28，35，...
        • 2.集合法：画一个椭圆，在椭圆上或下面写上“*的倍数”表示它的倍数的集合，椭圆内和列举法一样的写法
      • 倍数的特征：一个数的倍数的个数无限，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数
    • 找因数
      • 利用拼长方形的方法（面积=长x宽）类推出找因数的方法，例如找12的全部因数
      • 列乘法算式找因数，从自然数1找起，一对一对的找，看看那两个数的乘积是这个数，它们就是这个数的因数。
      • 列除法算式找因数，看看这个数可以被哪些数整除，这些除数和商就是这个数的因数
      • 因数表示法：
        • 1.列举法：把该数的因数按从小到大的顺序排列起来，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后加句号 例：18的因数：1，2，3，6，9，18。
        • 2.集合法：画一个椭圆，在椭圆上或下面写上“*的因数”表示它的因数的集合，椭圆内和列举法一样的写法，但末尾不加句号。
      • 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身
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          • 用因数和倍数知识解决问题(先找出全部因数，再从因数中找倍数) 例：有一个数，既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是？(5,10,20,40)
  • 2.2/5/3/9的倍数的特征
    • 2/5/3/9的倍数的特征： 个位是2,4,6,8,0的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数； 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数((能被3整除))，这个数就是3的倍数； 一个数各个数位上的数字之和是9的倍数((能被9整除))，这个数就是9的倍数; 一个数是9的倍数，那么这个数一定是3的倍数，但是3的倍数不一定是9的倍数
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        • 用集合法解决找倍数问题 例：用0，5，6组成的三位数中，2的倍数的数有哪些？5的倍数的数有哪些？既是2的又是5的倍数有哪些？(每个数字只能用一次)(506,560,650；560,650,605；560,650)
        • 根据特殊数字的倍数特征解决复杂找数问题。例：同时是2、3、5、9的倍数的两位数是( 90 )，最小的三位数是(180 )
        • 运用列表法解决组数问题 例：5口口0是有两个相同数字的四位数，它同时是2，3，5的倍数，这个四位数最大时多少？最小是多少？（5880，5010）
  • 3.奇数和偶数
    • 是2的倍数(能被2整除)的数叫偶数，可用2a(a是自然数)表示，不是2的倍数的数叫奇数，可用2a+1表示
    • 自然数中，最小的偶数是0；最小的奇数是1，没有最大的偶数和奇数，其个数都是无限的
    • 1.在连续自然数中，奇、偶数不断交替出现的；两个连续自然数中必有一个奇数和一个偶数 2.奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数+偶数+...+偶数=偶数。 3.奇数-奇数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数。 4.相邻的两个偶数（或奇数）相差2。 5.n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；算式中有一个是偶数，则乘积是偶数 6.奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8。 7.奇数除以2余数为1。
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        • 运用相邻偶数排列特点解决实际问题。例：五个连续偶数的和是100，其中最大的一个偶数是多少？（24）
        • 运用奇偶数排列规律解决实际问题 例：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，求前100个数中，有多少个偶数？（33个）
  • 4.质数和合数
    • 非零自然数分为三类：质数、合数和1； 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）如2，3，5，7 2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如4，6，8，10 3.1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数
    • 最小的偶数是0, 最小的奇数是1；最小的质数是2, 最小的合数是4；
    • 判断一个数是质数还是合数的方法： 1.看这个数的因数的个数，只有1和它本身两个因数的数是质数，其他的是合数； 2.用所有比这个数小的质数从小到大依次去除这个数，若有余数就是质数，否则就是合数
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        • 根据质数特征解决实际问题 例：用0,1,4,5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数分别是？(5, 401)
        • 根据质数和奇偶数的关系解决知和求积问题。例：三个不同的质数相加的和是82，这三个质数相乘的积最大时多少？(2x37x43=3182)
    • 分解质因数： 每一个合数都可以由几个质数相乘得到，把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫分解质因数，例：30=2x3x5，其中2，3，5每个质数都是30这个合数的因数，叫做这个合数的质因数；如果这个合数是偶数(质数相乘的积)，那么它的这几个相乘的质因数里一定有2
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        • 用分解质因数的知识解决实际问题： 例：刘小华是一名五年级学生,他参加数学竞赛，赛后小华说:"我的分数和名次、年龄都是质数,它们的乘积是2134,"你知道他的成绩和名次各是多少吗? （2134=2*11*97）
    • 质数×质数=合数；合数×合数=合数；质数×合数=合数； 除2以外所有的质数都是奇数；除2以外任意两个质数的和都是偶数
      • 100以内质数歌
        • 二三五七和十一； 十三后面是十七； 还有十九别忘记； 二三九,三一七； 四一四三,四十七； 五三九,六一七； 七一,七三,七十九； 八三,八九,九十七
• 第四单元：多边形的面积
  • 1.方格子纸上 比较图形面积
    • 数方格法： 比较图形所占的方格数量，直观但有局限性
    • 重叠法： 借助平移或沿对称轴对折，观察两个图形重叠情况，重合面积相等，否则较大图形的面积大。
    • 分割移补法： 两个图形形状不同，不能完全重合时，可以把图形进行分割、移补，变成相似的图形再比较
    • 拼组法： 把两个图形拼组在一起，看是否与其他图形相同
    • 注意：图形使用割补法可以保证图形的面积不变，但是可能会改变图形的周长；另外两个图形的面积大小与他们的形状没有关系。
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        • 运用分割法解决复杂的图形面积问题 例：航航用七巧板拼成一个大正方形，他量出这个大正方形的边长是10cm，七巧板中平行四边形(阴影)的面积是多少？
        • 运用长方形和正方形面积和画图法解决问题： 例：刘老师搬进新居，她去超市买了一块长9m、宽4m的地毯，回来后把它剪了两次，拼成一款正方形的地毯，应该怎样剪拼？
  • 2.认识底和高
    • 梯形的底和高： 梯形中相互平行的两条边为梯形的上底和下底，上底和下底直接的垂直线段就是梯形的高，梯形有无数条高。
    • 平行四边形的底和高： 从平行四边形一条边上的任意一点向它的对边画一条垂直线段，就是平行四边形的高，这条对边就是这条高所对应的底。平行四边形有无数条高；在平行四边形中，底和高是相对应的，有两组对应的底和高
    • 三角形的底和高： 三角形每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是对应的底和高。三角形都有三条高。注意锐角、直角和钝角三角形他们三条高的位置（内部、直角边、外部）。
  • 3.图形高的画法
    • 梯形：在梯形的上底或下底任意找一点，从这个点向对边的底画垂线，两底之间的垂直线段就是梯形的高
    • 平行四边形：以任意一边为底，从对边上的一点向底边画垂线，两边之间的垂直线段就是平行四边形的高
    • 三角形：以任意一边为底，从底边所对顶点向底边画垂直线，顶点和底边之间的垂直线段就是三角形的高
    • 注意：画高时用虚线，并标注上垂直符号
    • 画给定底和高的平面图形：先画给定的底，再根据底确定给定的高，最后画其他边，等底等高的同一种图形可以画出无数个
      • 课后 提升
        • 用画图或逆推法解三角形剪拼成正方形问题。例：哪种三角形沿高剪开后能拼成正方形？(等腰直角三角形特点：以斜边为底时所对应的高正好时斜边的一半，这是解题关键)
        • 用画图法解图形分割问题。例：把一个平行四边形剪成两个完全相同的图形，且没有剩余，可以剪成几种规则的图形？（3种剪法）
  • 4.图形面积的计算
    • 平行四边形面积=底 x 高，字母表示：S=ah；a=S÷h; h=S÷a（要用一组对应的底和高）
      • 一个平行四边形，如果形状发生了变化，周长不变，但面积会变化，因为它的高发生了变化，形状越接近长方形，面积越大
      • 在同一个平行四边形中，不同的底和它对应的高的乘积相等，都等于平行四边形的面积，用该特点可灵活解周长和面积关系的问题。
      • 用分割法解决图形面积问题： 例：平行四边形ABCD的面积是48平方厘米，E、F分别是BC,CD的中点,求图中阴影部分的面积（42平方厘米）
      • 用假设和方程解图形面积问题： 例：平行四边形ABCD的面积是48平方厘米，E、F分别是上下两边的中点,求图AECF的面积（42平方厘米）
    • 三角形面积=底 x 高 ÷ 2，字母表示：S=ah÷2； a=Sx2÷h；h=Sx2÷a；（只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成一个平行四边形，面积相同的三角形并不一定可以拼成）
      • 在画钝角三角形钝角边上的高时，因高在三角形外，需画延长线延长底边，但钝角三角形的面积与底边的延长线的长度无关。
      • 抓不变量法解三角形面积： 例：一个三角形，如果高增加8厘米，底不变，则面积增加20平方厘米；如果高不变，底减少4厘米,则面积减少28平方厘米。求原三角形面积？(35平方厘米) 三角形的高和底增加或减少时的关系： 增加(减少)的底 x 高(不变)÷2=增加(减少)的面积；增加(减少)的高 x 底(不变)÷2=增加(减少)的面积
      • 用剔除法或分割法解决图形面积问题： 例：求图中阴影面积(54平方厘米) 1、剔除法：两个正方形剔除掉两个空白三角形的面积 2、分割法：把阴影部分分割成两个三角形并计算面积后相加
    • 梯形面积=(上底+下底) x 高 ÷ 2， 字母表示：S=(a+b) x h÷2；只有完全相同的两个梯形才能拼成平行四边形
      • 运用各图形具有相同的高或底求图形面积： 例：如图阴影部分的面积是24平方厘米，求梯形面积 （38平方厘米）
      • 用代换法求梯形面积（把阴影换成可求的其他图形）： 例：三角形ABC和EFD是完全相同的直角三角形，如图把他们叠放在一起，求阴影面积（7平方厘米）
• 第五单元：分数的意义
  • 1.分数的意义
    • 整体1的含义：一个物体或者一些物体都可以看作一个整体，这个整体可用自然数1表示，叫做整体1
    • 分数意义：把一个整体平均分成若干份，其中一份或几份可用分数表示，写作1/m或n/m(m,n为自然数且m≠0)；分子表示所取的份数，分数线表示平均分，分母表示把这个整体1平均分成的总份数
    • 根据分数所表示的数量可以求出对应的整体数量，分母是几，整体就被平均分成几份；同一个分数对应的整体越大，表示的具体数量就越大；同一个分数表示的具体数量大，对应的整体就大；
      • 判断分数所表示的具体数量大小时，除了要看分数本身的大小，还要看所对应的整体1的大小；例：有甲乙两个正方形，乙正方形面积的1/2一定大于甲正方形面积的1/4吗？
      • 整体1的变换。例：小红看一本书，第一天看了它的1/4，第二天看了剩下的1/4，她两天看的页数一样多吗？哪天看的多？
  • 2.分数单位
    • 把整体1平均分成若干份，取其中的一份的数，叫做分数单位, 即分子是1，分母是正整数的分数，又叫单位分数，记为1/m
    • 分数单位的大小：分母越大，分数单位越小；分母越小，分数单位越大
    • 一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，这个分数里就有几个分数单位
      • 画线段解分数问题，例：小明邮票数的1/4是8张，小刚邮票数的1/3是9张，那谁的邮票多？
    • 分母相同的分数，其分数单位相同；分母不同的分数，分数单位不同
  • 3.真/假分数
    • 真分数：指大于0小于1的所有分数，分母大于分子；为表示“用自然数无法数的比1小的连续量”而发明了分数，真分数就像一开始发明分数的理由一样，用来表示小于1的量
    • 假分数：分子大于或者等于分母的分数，假分数大于1或等于1；任何非零的整数都可以写成分母是1的假分数
      • 例：用数字1，4，8，9分别组成最大/最小的带分数，最大/最小的真分数(不重复)
      • 例：一个分数，分子和分母的和是30，分子增加8后，分数值就等于1，原分数是
    • 带分数(也是假分数)：由整数(≠0)和真分数合成的数，带分数是假分数的另一种书写形式，读作几又几分之几；分数只分两类：真分数、假分数
  • 4.分数与除法
    • 分数与除法关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值就是商
      • 分数不但可以表示部分与整体的关系，也可表示具体数量，表具体数量要加单位
    • 带分数化为假分数：用整数与分母的乘积再加上原来的分子作为分子，分母不变. 假分数化为带分数：分子除以分母，如果没有余数就化为整数，如有余数，化为商又余数/分母
      • 逆推法接分数互化：例：一个带分数，它分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是28，这个带分数可能是
    • 求一个数是另一个数(≠0)的几分之几：用一个数除以另一个数得到的商就表示两个数的关系，没有单位名称
      • 把2m长的绳子平分5段，每段是全长的();每段绳子是()m
    • 除法和分数虽然有一定联系，但代表的意义不同，不能说两者意义一样或者相同，比如
      • 分析法解周期排列问题：有红、白、黑三种颜色的珠子共89颗，按1颗红、3颗白、2颗黑的顺序循环排列，三种珠子数量各占全部珠子的几分之几？
  • 5.分数基本性质
    • 分数基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变，用不同图形方格涂色理解分数的基本性质
      • 解分数值不变问题：一个分数是16/20,如果把它的分子减去12，要使它大小不变，那么分母应该减去多少？
    • 根据分数基本性质，可把一个分数化成无数个和它相等的分数
      • 逆推法解复杂分数：一个分数，分母比分子大25，分子分母同时除以一个不为零的数后得4/9，原分数是?25÷(9-4)=5->20/45
  • 6.找最大公因数
    • 几个数相同的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数 求几个数的公因数和最大公因数：先分别找出它们各自所有的公因数，再从中找出两个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数
      • 公因数表示 1.例举法：12和18的公因数有1，2，3，6；12和18的最大公因数是6； 2-集合法：
      • 运用转化法解分物问题（求几个数的公因数，最大或最多的份数，就是求这几个数的最大公因数） 例：若把110块糖平均份给全班同学，则多出5块；若把210块糖平分给全班同学，则正好分完，若把240块糖平均分给全班同学，则少5块，那该班最多多少人(105,210和245的最大公因数35)
      • 用最大公因数和植树策略：例：桥头公园有一个三角形的喷水池（三条边分别是48dm、72dm、56dm），设计师想在喷水池的三条边上等距离地插红旗(三个订单各插一面)，至少要准备多少面旗？(间距是三边的最大公因数(48+72+56)÷8=22)
  • 7.约分与最简分数
    • 约分：把一个分数的分子、分母同时除以它们的公因数，分数的大小不变，这个过程叫约分
    • 最简分数：分子、分母只含有公因数1，不能再约分了，这个分数就是最简分数；在以后的计算中，如没有特殊要求，计算结果一般都要化成最简分数
      • 拓展：分子和分母是两个相邻自然数(≠0)d的分数一定是最简分数；分子和分母是两个不同质数的分数一定是最简分数
    • 约分的方法： 逐次约分法：用分子和分母的公因数(1除外)逐次去除分子和分母，直到得出最简分数 一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母，直接得到在最简分数
      • 约分 书写 格式
    • 约分技巧： 1.当分数的分母是分子的倍数时，分子和分母同时除以分子，约分得到分子是1的最简分数 2.当分数的分子和分母都是整百、整十数时，可先划去分子、分母末尾同样多的0，再约分 3.当分数的分子和分母比较大，难以一次约分时，可考虑能否用2,3,5,7逐次约分 4.遇到带分数约分时，整数部分不变，只把它分数部分约分即可
      • 当分数的分子、分母加上或减去同一个数时，分子和分母的差不变： 例：分数5/13的分子、分母加上同一个数，约分后得到1/2，加上的这个数时多少(3)
      • 逐步倒推法解约分还原： 例：把一个分数约分，用2约了两次，用5约了一次，约成最简分数5/6，求原分数(100/120)
  • 8.找最小公倍数
    • 几个数的公有倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作它们的最小公倍数； 因一个数的倍数无限多，所以若干个数的公倍数也无限多，只有最小的公倍数没有最大的公倍数； 当较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是那个较大的数,例：3和24的最小公倍数是24
      • 公倍数表示： 1-列举法：4和6的公倍数有12,24,36,... 4和6的最小公倍数是12； 2-集合法：
      • 两个数的最小公倍数求法： 1-列举法：先写出这两个数各自的倍数，再从中找出它们的公倍数和最小公倍数； 2-试除法：先写出这两个数中较大数的倍数，再用这些倍数从小到大的依次除以较小数，第一个除以较小数没有余数的的数就是它们的最小公倍数，例：找10,15的最小公倍数(30)
      • 用转化法求最小公倍数；例：小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，那最少有多少人做游戏？(22)
      • 用最小公倍数解实际问题；例：马路的一侧从头到尾有106棵树，原来每相邻两棵树之间距离是9m，现在改成相邻两棵树间距为15m，那有多少树不需要移动？(945÷45+1=22)
  • 9.分数大小与通分
    • 两个异分母分数比较大小方法：1-画图比较大小；2-化成同分母分数比较大小
    • 通分含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等且分母相同的分数，这个过程叫通分，根据分数的基本性质可知，通分目的是统一分数单位，不改变分数的大小。
      • 用通分逆推面积大小(注：占哪个图形的面积越大，这个图形的面积反而越小) 例：一个正方形的面积占一个三角形面积的4/11，占梯形面积的1/8，占平行四边形面积的8/9，请比较这四个图形的大小？(正<平<三<梯)
    • 通分方法：用原来几个分数分母的公倍数作为公分母，通常选用最小公倍数作公分母(最小公分母)，再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数
      • 当分子和分母比较大且分数值接近1时，可用'1'减的方法比较分数大小；例：比较大小
    • 通分和约分的异同点： 1-相同点：都是根据分数的基本性质，保持分数的大小不变； 2-不同点：约分是对一个分数进行的，通分至少对两个分数进行；约分是分子分母同除以一个不为0的数，通分是分子分母同乘一个不为0的数
• 第六单元：组合图形面积
  • 组合图形面积算法
    • 计算组合图形面积：运用分割、割补、添补等方法，把组合图形转化成简单的规则图形，然后分别计算规则图形面积，再通过加、减计算出原图形的面积；做分割、添补时要画虚线 1.分割法：将组合图形进行合理分割，分割成几个规则的图形 2.割补法：割下组合图形不规则的部分，补在适当的位置，形成规则的图形 3.添补法：将组合图形所缺失的部分进行添补，组成规则图形
      • 采用哪种方式分割图形，要考虑是否有足够已知条件求分割后图形的面积，并要考虑哪种计算更简便
      • 用割补法求不规则图形面积 例：如图四边形ABCD的面积是25平方厘米，如果AD=CD，DE=BE，AE=2.5厘米，那四边形BCDE的面积是多少(18.75)
      • 用等量代换法求阴影面积 例：如图四边形ABCD是边长10厘米的正方形，三角形ABF的面积比三角形CEF的面积大20平方厘米，求阴影部分面积（30）
  • 面积单位公顷
    • 公顷：是测量和计算土地面积的常用单位，边长100m的正方形面积是1公顷，即1公顷=10000平方米 公顷和平方米换算：可直接移动小数点，平方米换公顷小数点向左移动四位；公顷换平方米小数点向右移动四位
  • 面积单位平方千米
    • 平方千米：平方千米是比公顷还大的面积单位，边长是1000m的正方形面积是1平方千米，即1平方千米=1000000平方米=100公顷
      • 用分割法解土地面积 例：一块长1700m,宽1500m的长方形耕地，退耕还林后长减少了500m,宽减少了300m,现在的耕地面积比原来减少了多少公顷（111公顷）用两种算法
      • 用转化法解复杂面积： 例：下图正方形ABCD和正方形DEFG是人造林地，三角形CDH这块地已经种植了松树，已知三角形AFH这块地面积是7平方千米，求说种植松树的这块地的面积是什么？（7，设两个正方形边长为a,b，通过列公式可知梯形和大三角形面积相等）
• 第七单元：可能性
  • 等可能性与游戏规则的公平性
    • 等可能性：像抛硬币那样，正面和反面朝上的可能性随机且相等，即事件发生的可能性相等，就是等可能性
    • 判断一个游戏规则是否公平，可以找出所有可能出现的情况，若每种情况出现的可能性相等，则公平，否则不公平
    • 判断是否等可能性，要客观仔细，把影响可能性大小的因素考虑全面： 例：抛一枚瓶盖，盖面朝上和朝下的可能性就不相等，因为瓶盖构造不均匀，重心偏向盖面，盖面朝下的可能性更大
    • 游戏规则公平，可能性相等，但由于随机现象的不确定性，并不表示实际的结果相等 例：口袋有黑白各10枚棋子(除了颜色不同，其他完全一样)，从中任意摸出一枚，摸完后放回，虽然摸出黑棋子和白棋子的可能性是相等的，但不一定刚好摸出5枚黑棋和5枚白棋
      • 用列表法判断游戏规则是否公平；例：一班和二班进行足球比赛，两班的队长用“剪刀、石头、布”决定哪个班先开球公平吗（列表各种可能性，判断获胜、平手、失败可能性双方是否相等）
      • 用枚举法和数的奇偶性判断游戏规则是否公平；例：淘气和笑笑一起玩卡片游戏，他们把标有数字1，2，3，4的四张卡片面朝下扣在桌面并打乱，每次任意摸出两张，两张卡片上的数字相加之和是奇数算淘气胜，如果是偶数算笑笑胜，游戏规则是否公平(各个数字分别两两相加，看结果出现偶数和奇数的可能性不同，则不公平)
  • 可能性的大小与物体数量的关系
    • 事件发生的可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应的物体数量可能就越多，可能性越小，对应的物体数量可能性就越少。
      • 运用分数知识解不确定问题 例：小李和小张要参加围棋比赛，小李以往历次参加比赛的总成绩是12胜7负，小张历次参加的总成绩是18胜10负，这次比赛谁获胜的可能性更大？
      • 运用列举法和排列组合解可能性大小问题 例：一个口袋里装有3条除颜色外其他都相同的手帕（1蓝、2红），闭上眼睛，从口袋一次摸出2条手帕，摸出1蓝1红的可能性大，还是摸出2红的可能性大？(1蓝1红)
    • 随机现象虽然对于个别试验无法预知结果，但如果在相同条件下进行大量的重复试验时会呈现规律性，称为随机现象的统计规律 例：盒子里有红黄两种颜色的球，但不知道哪种颜色多，可以根据重复从箱子里摸出的红球或黄球的数量统计，猜测哪个多，但只有通过大量重复试验才能推测可能性，如果只是摸一两次就判断谁多是错误的。