不等式

比大小：①没根号、②有根号、函数图像法；线性规划：由变量x,y组成的不等式或方程(组)、由变量x,y组成的一次不等式或方程(组)、关于x,y的函数解析式、关于x,y的一次解析式。

不等式

• 比大小
  • ①没根号
    • ❶作差法
      • 和0比
    • ❷作商法
      • 和1比
  • ②有根号
    • 去根号后
      • 和相等
        • ❸平方法
      • 差相等
        • ❹分子有理化
          • 分子同，比分母
  • ❺函数图像法
• 运算
  • 已知a，b范围
    • 求a-b范围
      • a+(-b)
    • 求a/b范围
      • ➪a×1/b
    • b变号
  • 待定系数法
    • 已知a+b,a-b范围， 求2a+3b范围
      • 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b) 解出x,y➪求和
• 问法
  • 恒成立
    • 全部满足
  • 能成立
    • 唯一满足
  • eg: x≥y
    • 恒成立:ⅹ最小值满足
    • 能成为:ⅹ最大值满足
• 高次𣎴等式范围
  • 序轴标根法
    • ⅹ前系数为正
    • 奇穿偶不穿
• 均值不等式
  • 非含参
    • ❶直接告诉一定值或该定值可求， 求另一最值
      • 根据均值不等式直接推
    • ❷常数构造
      • 例:已知x＞2，求x+1/x-2最小值
      • 思路: ∵积不是定值，故设法将其凑为定值 在原式的基础上–2，将其转化为x-2+1/x-2
    • ❸已知和积混和式
      • 两个未知数
      • 替换思想
        • 求 和或积 的最值利用均值不等式 将混合式中积替换为 和或积
        • 例:已知x＞0,y＞0,2(x+y)+4xy=3 求x+y的最小值
          • 思路: ∵求和的最小值，故将4xy替换为和的形式 ∵xy≤(x+y)²/4 ∴2(x+y)+(x+y)²≥3❗注意符号的改变 利用整体思想，将x+y视作整体 ∵x+y＞0 ∴解得(x+y)min=1
      • 乘1法
        • 将所给等式两边同除最复杂的一项， 使等式一边为1， 再使所求式与该变式相乘， 化简后利用均值不等式计算
          • 模板: 已知正数x,y满足Ax+By=Cxy①， 求Dx+Ey②和的最小值 该值为 (2√ABDE+AE+BD)/C
            • 巧记:(2√一次项系数之积+一次项系数x,y交错相乘积之和)/二次项系数
          • 思路: 在①式两侧同除Cxy，变形为A/Cy+B/Cx=1③ 令②式乘③式等号左部分，变形为ADx/Cy+BEy/Cx+(BD+AE)/C④ 利用均值不等式:④≥2√ABDE/C²+(AE+BD)/C=(2√ABDE+AE+BD)/C 故当且仅当ADx/Cy=BEy/Cx时，②式有最小值
            • 注:验证时用④式而非②式
      • 消元法
        • 利用所给式将某一未知数用另一未知数替换， 代入所求式中，利用常数构造
          • eg:已知ab=a+b+1 求a+2b最小值
            • ∵b=a+1/a-1 ∴a+2b=a-1+2(a+1)/(a-1)+1 ∴最小值为7
    • ❹系数构造
      • 高次乘积型
      • 模板: 已知Ax²+By²=C，求(Dx²+F)(Ey²+G)最小值 该值为(DEF+ABG+ACE)²/4ABDE
        • ⑴将D,F转化为A,B: A/D(Ax²+DF/A)×E/B(By²+BG/E)① ⑵利用均值不等式: ①式≤AE/BD×(C+DF/A+BG/E)²/4 ⑶化简: ①式≤(DEF+ABG+ACE)²/4ABDE
          • 注:验证时用①式而非原式
  • 含参
    • ❶分类讨论
      • 实根分布:
        • ①开囗②Δ③对称轴④边界值正负
    • ❷分离参数
      • 将参数单独放到等号一边， 讨论另一边最值
        • eg:x²+ax+1≥0对一切x∈[0，1]成立 求a的最小值
          • a≥-x+1/x➪利用对勾函数
    • ❸主元变换
      • 将参数视为未知数
• 线性规划
  • ①两法求可行域
    • ❶化系数法
      • y R kx+b
        • y的系数化为1
        • ＞ 钝角区
        • ＜ 锐角区
    • ❷特殊点法
      • Ax+By+C R 0
        • ❶c=0，直线过原点
          • 代(1,0)或(0,1)
        • ❷c＞0，原点所在区域为直线＞0部分
        • ❸c＜0，原点所在区域为直线＜0部分
  • ②三类题型
    • ❶找点
      • ⑴一般式
        • 求z=Ax+By的最值
          • 1.画可行域
          • 2.找点(B,0)及(0,A)，连线
          • 3.平移，找z最值
            • ❶B＞0，截距↑，z↑
            • ❷B＜0，截距↑，z↓
      • ⑵斜率式
        • 通式:z=y-b/x-a
          • 变式:z=x-a/y-b
            • z变倒数
        • 求斜率最值
          • 1.画可行域
          • 2.找定点(a,b)
          • 3.使定点与可行域内动点 构成的直线斜率达到最值
          • 4.求出该动点坐标， 与定点一起求出斜率
      • 一般最值在顶点处
    • ❷找线
      • ⑶距离式
        • 已知含x,y的二次式， 求该式最值
          • 1.画可行域
          • 2.找定点(a,b)
          • 3.使定点与可行域内动点间 的距离最小或大
          • 4.利用点到直线距离公式， 求出此距离(一般求d²)
            • d=丨Ax+By+C丨/√A²+B²
        • 通式:z=(x-a)²+(y-b)²
        • 一般最值在直线处
    • ❹求范围
• 轮换对称思想
  • eg:若a+2b+2ab=8，求a+2b最小值
  • 此题中将a换为2b对等式无影响， 故在a=2b时取最值
• 构造思想:
  • 和定⇔相反数
  • 积定⇔倒数
• 不等式链
  • 2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√(a²+b²)/2
• 均值不等式
  • 基本不等式:a+b/2≥√ab
    • 算术平均≥几何平均
    • 成立条件
      • 一正:各项均为正
      • 二定:积或和为定值
      • 三相等:等号能取得
      • 题型一:判断命题正确性
    • 最值
      • ab定，a+b有最小值
        • 积定和最小
          • 巧记:和比积少两点， 故和有最小积有最大
      • a+b定，ab有最大值
        • 和定积最大
• 八大性质:
  • ❶反身性:
    • aRa
      • R:某种关系
  • ❷对称性:
    • 若aRb则bRa
  • ❸传递性:
    • 若aRb，bRc，则aRc
  • ❹可加性:
    • 若a＞b，则a+c＞b+c
    • a＞b，c＞d，则a+c＞b+c
      • 注:减不成立
  • ❺可乘性:
    • 若a＞b
      • c＞0，则ac＞bc
      • c＜0，则ac＜bc
    • 若a＞b＞0，c＞d＞0 则ac＞bd
      • 注:除不成立
  • ❻乘方法则:
    • 若a＞b＞0，则aⁿ＞bⁿ (n∈N*)
  • ❼开方法则:
    • 若a＞b＞0，则ⁿ√a＞ⁿ√b (n∈N*)
  • ❽倒数法则:
    • 若a＞b＞0，则1/a＜1/b
    • 若a＜b＜0，则1/a＞1/b
• 线性规划
  • 相关概念
    • 约束条件
      • 由变量x,y组成的不等式或方程(组)
    • 线性约束条件
      • 由变量x,y组成的一次不等式或方程(组)
    • 目标函数
      • 关于x,y的函数解析式
    • 线性目标函数
      • 关于x,y的一次解析式
    • 可行解
      • 满足线性约束条件的解
    • 可行域
      • 所有可行解组成的集合
    • 最优解
      • 使目标函数取得最值的可行解
    • 线性规划问题
      • 在线性约束条件下 求线性目标函数的最值问题
• 等式中有所求式
• 等式中无所求式