第六章 统计量及其抽样分布_backup_26233a

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第六章 统计量及其抽样分布

• 统计量
  • 1)概念：设x1、x2....xn是总体X中的样本，T(x1......xn)不依赖于任何未知参数，则称函数T(x1......xn)为一个统计量，统计量是样本的函数
  • 2)常用统计量P117
    • 样本均值：反映总体均值
    • 样本方差：反映总体方差
    • 样本变异系数：
    • 样本k阶原点矩：
      • m1即为样本均值
      • 总体k阶原点矩为
    • 样本k阶中心矩：
      • v2即为样本方差
      • 总体k阶中心矩为：
    • 样本偏度：
    • 样本峰度：
    • 偏度与峰度均可用k阶中心距表示，分别为
• 由正态分布导出的几个重要分布
  • 1)抽样分布：总体X分布类型已知，对任一自然数n都能导出统计量T=T(x1、x2......xn)，的分布的数学表达式，则称这种分布为精确的抽样分布
  • 2)卡方分布
    • 设随机变量x1、x2...xn相互独立，且xi(i=1、2...n)服从N(0,1),则它们的平方和服从于自由度为n的卡方分布
    • n为自由度，n越大，概率密度曲线越趋于对称，当n趋近于无穷，其概率密度曲线接近正态分布
    • 当X与Y分别独立，其具有可加性
    • 当n很大时，
  • 3)T分布
    • 假设X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从自由度为n的卡方分布，X与Y独立，那么的分布称为自由度为n的t分布,记为Z~t(n)
    • t分布的密度函数是一偶函数
    • n=1时，为柯西分布；n≥2时，E(t)=0；n≥3时，D(t)=n/(n-2)
    • 当n≥30时，t分布与标准正态分布接近
    • 设X1,X2...Xn是来自正态分布N(μ,σ^2),则
    • X、Y独立，分别服从N(μ1,σ^2)与N(μ2,σ^2),则
  • 4)F分布
    • 设随机变量Y与Z独立，且Y与Z分别服从自由度为m与n的卡方分布，且则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为X~F(m,n)
    • F分布的p分位数Fp(v1,v2)可查表得，且
• 样本均值得分布与中心极限定理
  • 样本均值的分布
    • 1)对于任意均值为μ，方差为σ^2的总体，
    • 2)当总体分布为正态分布N(μ,σ^2)时,X拔的抽样分布服从,两个参数分别为期望与方差
    • 3)对于任意总体，当n较大时，X拔近似服从
  • 中心极限定理
    • 从均值为μ，方差为σ方的任一总体中抽取样本量为n的样本，当n足够大时，X拔近似服从
    • 一般大于30称为大样本，小于30称为小样本