5.1,2,3 弧度制与三角函数相关公式

高中数学弧度制与三角函数相关公式知识点梳理，主要包含：1.角的概念、表示、分类、运算 2.象限角、轴线角及与终边相同的角 3.弧度制 4.三角函数的概念（正弦、余弦、正切）、同角三角函数的基本关系式及变形公式 5.诱导公式

5.1,2,3 弧度制与三角函数相关公式

• 任意角和弧度制
  • 任意角
    • 角的概念
      • 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
    • 角的表示
      • 始边
        • 射线的起始位置OA
      • 终边
        • 射线的终止位置OP
      • 顶点
        • 射线的端点O
      • 记法
        • 图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOP”
      • • 在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转方向
    • 角的分类
      • 正角
        • 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
      • 负角
        • 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
      • 零角
        • 一条射线没有做任何旋转
      • • 画图表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负
    • 角的相等
      • 两个角的旋转方向相同且旋转量相等，这两个角就相等
    • 角的运算
      • 求和
        • 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β
        • α+β角的始边为α的始边与，终边为β的终边
        • γ=α+β
      • 求差
        • 互为相反角
          • 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所形成的两个角叫做互为相反角
          • 角α的相反角记为-α
        • 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们把α-β=α+（-β）
        • γ=α-β
  • 象限角与终边相同的角
    • 象限角
      • 在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
      • • 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小
        • 不能说第二象限角比第一象限角大
    • 轴线角
      • 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角
    • 终边相同的角
      • 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={βlβ=α+k·360°，k∈Z}
      • 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
      • • 当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等
        • 终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍
  • 角的集合
    • 象限角的集合
      • 第一象限角的集合
        • {xlk·360°＜x＜90°+k·360°,k∈Z}
      • 第二象限角的集合
        • {xl90°+k·360°＜x＜180°+k·360°,k∈Z}
      • 第三象限角的集合
        • {xl180°+k·360°＜x＜270°+k·360°,k∈Z}
      • 第四象限角的集合
        • {xl270°+k·360°＜x＜360°+k·360°,k∈Z}
      • • 锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角
        • 几何法
    • 轴线角的集合
      • ①终边在x轴非负半轴上
        • S={βlβ=k·360°，k∈Z}
      • ②终边在y轴非负半轴上
        • S={βlβ=90°+k·360°，k∈Z}
      • ③终边在x轴非正半轴上
        • S={βlβ=180°+k·360°，k∈Z}
      • ④终边在y轴非正半轴上
        • S={βlβ=270°+k·360°，k∈Z}
        • S={βlβ=-90°+k·360°，k∈Z}
      • ⑤终边在x轴上
        • S={βlβ=k·180°，k∈Z}
          • ①③的并集
      • ⑥终边在y轴上
        • S={βlβ=90°+k·180°，k∈Z}
          • ②④的并集
      • ⑦终边在坐标轴上
        • S={βlβ=k·90°，k∈Z}
          • ⑤⑥的并集
    • 终边在特殊位置的角的集合
      • ①终边在第一、三象限角平分线上
        • S={βlβ=45°+k·180°，k∈Z}
      • ②终边在第二、四象限角平分线上
        • S={βlβ=-45°+k·180°，k∈Z}
      • • 终边在四个象限角平分线上
          • S={βlβ=-45°+k·90°，k∈Z}
  • 弧度制
    • 1弧度的角
      • 我们规定，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角
        • 弧度单位用符号rad表示
        • 读作“弧度”
      • • 用弧度表示角时，“弧度”或“rad”通常省略不写
      • • 我们把半径为1的圆叫做单位圆
      • • 都是表示度数，但弧度和角度不能同时使用
    • 弧度数
      • 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么
      • • α的正负
          • 逆时针旋转为正
          • 顺时针旋转为负
    • 角度与弧度的换算
      • 360°=2πrad
        • 180°=πrad
          • • 角度化弧度
          • • 弧度化角度
    • 特殊角的度数与弧度数的对应表
  • 相关公式
    • 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α（0＜α＜2π）
      • 弧长公式
        • l=αR
      • 扇形面积公式
      • • 注意α的单位是“弧度”
• 三角函数的概念
  • 三角函数的概念
    • • 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）
      • ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数
        • 记作sinα
        • y=sinα
      • ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数
        • 记作cosα
        • x=cosα
      • ③把点P的纵坐标与横坐标的比值y/x叫做α的正切函数
        • 记作tanα
    • 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
      • 正弦函数
        • y=sinx,x∈R
      • 余弦函数
        • y=cosx,x∈R
      • 正切函数
        • y=tanx,
  • 定义域及各象限的符号
    • 三角函数的定义域
    • 三角函数值在各象限的符号
      • • 一全正
          • 在第一象限内，sinα,cosα,tanα全部为正数
        • 二正弦
          • 在第二象限内，只有sinα为正数
        • 三正切
          • 在第三象限内，只有tanα为正数
        • 四余弦
          • 在第四象限内，只有cosα为正数
  • 公式一
    • 终边相同的角的同一三角函数的值相等
    • • sin(α+k·2π)=sinα
      • cos(α+k·2π)=cosα
      • tan(α+k·2π)=tanα
      • k∈Z
    • • 利用公式一可将负角，大于或等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名三角函数
      • “负化正，大化小”
  • 同角三角函数的基本关系
    • 基本关系
      • 平方关系
        • sin²α+cos²α=1
      • 商数关系
    • 变形公式
      • ①
        • sin²α=1-cos²α
        • cos²α=1-sin²α
        • • “±”号由角α终边的位置决定
      • ②
        • sinα=tanα·cosα
    • 其他关系
      • (sinα+cosα)²=1+2sinαcosα
      • (sinα-cosα)²=1-2sinαcosα
      • (sinα+cosα)²+(sinα-cosα)²=2
• 诱导公式
  • 诱导公式
    • ①
      • sin(α+k·2π)=sinα
      • cos(α+k·2π)=cosα
      • tan(α+k·2π)=tanα
      • 将角转化为0~2π的角求值
      • k∈Z
    • ②
      • sin(π+α)=-sinα
      • cos(π+α)=-cosα
      • tan(π+α)=tanα
      • 将0~2π的角转化为0~π的角求值
    • ③
      • sin(-α)=-sinα
      • cos(-α)=cosα
      • tan(-α)=-tanα
      • 将负角转化为正角求值
    • ④
      • sin(π-α)=sinα
      • cos(π-α)=-cosα
      • tan(π-α)=-tanα
      • 将π/2~π的角转化为0~π/2的角求值
    • ⑤
    • ⑥
    • 实现正弦与余弦的相互转化
    • • 负角化正角，大角化小脚，小角化锐角，锐角再求值
  • 记忆口诀
    • 奇变偶不变，符号看象限
    • • ①奇变偶不变
        • 诱导公式左边的角可统一写成
          • 当k为奇数时，公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变
          • 当k为偶数时，公式等号右边的三角函数名称与左边一样
      • ②符号看象限
        • 把α当成锐角，看
          • 根据它为第几象限角得出原函数值得符号，从而判断公式右边的三角函数之前的符号